n darajasining ildizi: asosiy ta'riflar. Ildiz n: asosiy ta'riflar Amaliyotlar tartibi haqida eslatma

Birinchi bob.

Bir atamali algebraik ifodalarni kvadratga ko'tarish.

152. Darajani aniqlash. Eslatib o'tamiz, ikkita bir xil sonning mahsuloti aa sonning ikkinchi darajasi (yoki kvadrati) deb ataladi A , uchta bir xil sonning ko'paytmasi ahh sonning uchinchi darajasi (yoki kubi) deb ataladi A ; umumiy ish n bir xil raqamlar ah... ah chaqirdi n - sonning darajasi A . Berilgan sonning kuchini topadigan harakat bir darajaga ko'tarish deb ataladi (ikkinchi, uchinchi va boshqalar). Takroriy koeffitsient daraja asosi, bir xil omillar soni esa ko'rsatkich deb ataladi.

Darajalar quyidagicha qisqartiriladi: a 2 a 3 a 4 ... va hokazo.

Biz birinchi navbatda eksponentsiyaning eng oddiy holati haqida gapiramiz, ya'ni kvadratga ko'tariladi; va keyin boshqa darajalarga ko'tarilishni ko'rib chiqamiz.

153. Kvadratga ko'tarilishda belgilar qoidasi. Nisbiy sonlarni ko'paytirish qoidasidan kelib chiqadiki:

(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;

(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9

(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2

(-a) 2 =(-a) (-a) = +a 2

Demak, har qanday nisbiy sonning kvadrati musbat sondir.

154. Ko'paytma, daraja va kasrning kvadratiga ko'tarish.

A) Masalan, bir nechta omillarning mahsulotini kvadratga olish talab qilinsin. abs . Bu talab qilinishini anglatadi abs ga ko'paytiring abs . Lekin mahsulotga ko'paytirish uchun abs , ko'paytmani ga ko'paytirishingiz mumkin A , natijani ga ko'paytiring b va nimaga ko'paytirish mumkin Bilan .

(abc) 2 = (abc) (abc) = (abc) abc = abcabc

(biz oxirgi qavslarni tashladik, chunki bu iboraning ma'nosini o'zgartirmaydi). Endi ko'paytirishning assotsiativ xususiyatidan foydalanib (1-bo'lim 34, b) omillarni quyidagicha guruhlaymiz:

(aa) (bb) (ss),

Buni quyidagicha qisqartirish mumkin: a 2 b 2 c 2 .

Ma'nosi, mahsulotni kvadrat qilish uchun har bir omilni alohida kvadratga olishingiz mumkin
(Nutqni qisqartirish uchun, bu qoida, keyingi qoida kabi, to'liq ifodalanmagan; shuningdek, qo'shilishi kerak: "va olingan natijalarni ko'paytirish." Buning qo'shilishi o'z-o'zidan ravshan ..)

Shunday qilib:

(3/4 xy) 2 = 9/16 x 2 y 2; (- 0,5mn) 2 = + 0,25m 2 n 2; va h.k.

b) Masalan, qandaydir daraja talab qilinsin. a 3 , kvadratga. Buni shunday qilish mumkin:

(a 3) 2 \u003d a 3 a 3 \u003d a 3 + 3 \u003d a 6.

Shunga o'xshash: (x 4) 2 = x 4 x 4 = x 4+4 = x 8

Ma'nosi, Ko'rsatkichni kvadrat qilish uchun ko'rsatkichni 2 ga ko'paytirish mumkin .

Shunday qilib, ushbu ikki qoidani qo'llagan holda, biz, masalan:

(- 3 3/4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3/4) 2 a 2 (x 2) 2 (y 3) 2 = 225/2 a 2 x 4 y 6

V) Faraz qilaylik, qandaydir kasrni kvadratga olish kerak a / b . Keyin, kasrni kasrga ko'paytirish qoidasini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Ma'nosi, Kasrni kvadratga olish uchun siz pay va maxrajni alohida kvadratga olishingiz mumkin.

Misol.

Ikkinchi bob.

Ko'phadni kvadratga solish.

155. Formulaning hosilasi. Formuladan foydalanish (2-bo'lim 3-bob 61-§):

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

trinomialning kvadratini olamiz a + b + c , uni binomial sifatida hisobga olgan holda (a + b) + c :

(a + b + c) 2 = [(a + b) + c] 2 = (a + b) 2 + 2(a + b)c + c 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2

Shunday qilib, binomga qo'shilish bilan a + b uchinchi a'zo Bilan balandlikdan keyin kvadratga 2 ta had qo'shildi: 1) birinchi ikki had yig'indisining uchinchi hadga qo'shilgan ko'paytmasi va 2) uchinchi hadning kvadrati. Keling, endi trinomialga murojaat qilaylik a + b + c to'rtinchi a'zo d va to'rtburchakni ko'taring a + b + c + d yig'indisini hisobga olgan holda kvadrat a + b + c bitta a'zo uchun.

(a + b + c + d) 2 = [(a + b + c) + d] 2 = (a + b + c) 2 + 2(a + b + c)d + d 2

O'rniga almashtirish (a + b + c) 2 yuqoridagi ifodani topamiz:

(a + b + c + d) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2 + 2(a + b + c)d + d 2

Yana bir bor e'tibor qilamizki, ko'tarilgan ko'phadga uning kvadratiga yangi had qo'shilishi bilan 2 ta had qo'shiladi: 1) oldingi hadlar va yangi hadlar yig'indisining qo'sh ko'paytmasi va 2) yangi hadning kvadrati. Shubhasiz, ikkita haddan iborat bu qo'shilish davom etadi, chunki ko'tarilgan polinomga qo'shimcha shartlar qo'shiladi. Ma'nosi:

Ko‘phadning kvadrati: 1-hashning kvadrati, plyus 1-hash va 2-hashning ikki marta ko‘paytmasi, plyus 2-chi hadning kvadrati, plyus birinchi ikki had va 3-hash yig‘indisining ikki marta ko‘paytmasi. had, plyus 3-chi hadning kvadrati, plyus birinchi uchta had va 4-son yig'indisining ikki barobari, ortiqcha 4-chi hadning kvadrati va hokazo. Albatta, ko‘phadning hadlari manfiy bo‘lishi ham mumkin.

156. Belgilar haqida eslatma. Plyus belgisi bilan yakuniy natija, birinchidan, ko'phadning barcha shartlarining kvadratlari va ikkinchidan, bir xil belgilar bilan atamalarni ko'paytirish natijasida hosil bo'lgan ikki barobar ko'paytiriladi.

Misol.

157. Butun sonlarning qisqartirilgan kvadrati. Ko'phadning kvadrati formulasidan foydalanib, har qanday butun sonni oddiy ko'paytirishdan farqli ravishda kvadrat qilish mumkin. Aytaylik, masalan, kvadrat talab qilinadi 86 . Keling, bu raqamni raqamlarga ajratamiz:

86 \u003d 80 + 6 \u003d 8 dekabr + 6 birlik.

Endi ikkita raqam yig'indisining kvadrati formulasidan foydalanib, biz yozishimiz mumkin:

(8 dek. + 6 birlik) 2 \u003d (8 dek.) 2 + 2 (8 dek.) (6 birlik) + (6 birlik) 2 .

Ushbu summani tezda hisoblash uchun o'nliklarning kvadrati yuzlab ekanligini hisobga olamiz (lekin minglab bo'lishi mumkin); masalan 8 dekabr. kvadrat shakli 64 yuz, chunki 80 2 = b400; o'nlab birliklarning ko'paytmasi o'nlab (lekin yuzlab bo'lishi mumkin), masalan. 3 dekabr 5 birlik \u003d 15 dekabr, 30 5 \u003d 150 dan; va birliklarning kvadrati birlikdir (lekin o'nlab bo'lishi mumkin), masalan. 9 birlik kvadrat = 81 birlik. Shuning uchun hisob-kitobni quyidagicha tartibga solish qulayroqdir:

ya'ni birinchi raqamning kvadratini yozamiz (yuz); bu raqam ostida biz birinchi raqamning qo'sh ko'paytmasini ikkinchi (o'nlab) ga yozamiz, bu ko'paytmaning oxirgi raqami yuqori raqamning oxirgi raqamidan bir o'ng tomonda joylashganligini kuzatamiz; yana oxirgi raqam bilan bir joydan o'ngga orqaga chekinib, ikkinchi raqamning kvadratini (bir) qo'yamiz; va barcha yozilgan raqamlarni bitta summaga qo'shing. Albatta, bu raqamlarni nollarning to'g'ri soni bilan to'ldirish mumkin, ya'ni shunday yozing:

lekin biz har safar (oxirgi raqam bo'yicha) o'ngga bir joy chekinib, bir-birimiz ostidagi raqamlarni to'g'ri imzolasak, bu foydasiz.

Hali ham kvadrat talab qilinsin 238 . Chunki:

238 = 2 yuz. + 3 dekabr + 8 birlik, Bu

Lekin yuzlar kvadrati o'n minglarni beradi (masalan, 5 yuz kvadrat 25 o'n minglar, chunki 500 2 = 250 000), yuzlar o'nlab ko'paytirilsa minglar (masalan, 500 30 = 15 000) va hokazo. .

Misollar.

Uchinchi bob.

y = x 2 Va y=ah 2 .

158. Funksiya grafigi y = x 2 . Keling, raqam qachon ko'tarilishini ko'rib chiqaylik X kvadrat o'zgaradi X 2 (masalan, kvadrat tomonini o'zgartirish uning maydonini qanday o'zgartirishi). Buning uchun birinchi navbatda funktsiyaning quyidagi xususiyatlariga e'tibor bering y = x 2 .

A) Har bir ma'no uchun X funktsiya har doim mumkin va har doim faqat bitta belgilangan qiymatni oladi. Masalan, qachon X = - 10 funktsiyasi bo'ladi (-10) 2 = 100 , da
X =1000 funktsiyasi bo'ladi 1000 2 =1 000 000 , va h.k.

b) Chunki (- X ) 2 = X 2 , keyin ikkita qiymat uchun X , faqat belgilarda farq qiladigan ikkita bir xil ijobiy qiymat olinadi da ; masalan, qachon X = - 2 va da X = + 2 ma'nosi da aynan bir xil bo'ladi 4 . uchun salbiy qiymatlar da hech qachon muvaffaqiyatga erishmaydi.

V) Agar x ning mutlaq qiymati cheksiz oshsa, u holda da cheksiz ortadi. Demak, agar uchun X cheksiz ortib boruvchi musbat qiymatlar qatorini beramiz: 1, 2, 3, 4... yoki cheksiz kamayuvchi salbiy qiymatlar qatori: -1, -2, -3, -4..., keyin uchun da biz bir qator cheksiz ortib borayotgan qiymatlarni olamiz: 1, 4, 9, 16, 25 ... Bular qisqacha ifodalanganda, qachon x = + ∞ va da x = - ∞ funktsiyasi da bajariladi + ∞ .

G) X da . Shunday qilib, agar qiymat x = 2 , oshiramiz, qo'yamiz, 0,1 (ya'ni o'rniga x = 2 olaylik x = 2.1 ), Bu da o'rniga 2 2 = 4 tenglashadi

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .

Ma'nosi, da ga ortadi 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . Agar bir xil qiymat bo'lsa X keling, bundan ham kichikroq o'sish beraylik, qo'ying 0,01 , keyin y ga teng bo'ladi

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .

Shunday qilib, y ga ortadi 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 , ya'ni avvalgidan kamroq oshadi. Umuman olganda, biz kichikroq fraktsiyani oshiramiz X , kichikroq raqam ortadi da . Shunday qilib, agar biz buni tasavvur qilsak X 2 dan katta barcha qiymatlardan o'tib, doimiy ravishda oshadi (2 qiymatidan kelib chiqib), keyin da 4 dan katta barcha qiymatlardan o'tib, doimiy ravishda oshib boradi.

Ushbu xususiyatlarning barchasini payqab, biz funktsiya qiymatlari jadvalini tuzamiz y = x 2 , masalan, bu kabi:

Keling, ushbu qiymatlarni chizmada nuqta sifatida tasvirlaymiz, ularning abscissalari yozma qiymatlar bo'ladi. X , va ordinatalar mos keladigan qiymatlardir da (chizilgan rasmda biz uzunlik birligi sifatida santimetrni oldik); olingan nuqtalar egri chiziq bilan belgilanadi. Bu egri chiziq parabola deb ataladi.

Keling, uning ba'zi xususiyatlarini ko'rib chiqaylik.

A) Parabola uzluksiz egri chiziqdir, chunki abtsissaning uzluksiz o'zgarishi bilan X (ham ijobiy, ham salbiy) ordinata, biz hozir ko'rganimizdek, doimiy ravishda o'zgarib turadi.

b) Butun egri chiziq o'qning bir tomonida joylashgan x -ov, aynan ordinatalarning ijobiy qiymatlari yotadigan tomonda.

V) Parabola o'qga bo'linadi da -ov ikki qismga (tarmoqlarga) bo'linadi. Nuqta HAQIDA Bu shoxlar birlashadigan joy parabolaning uchi deyiladi. Bu nuqta parabola va o'q uchun yagona umumiy nuqtadir x -ov; shuning uchun bu nuqtada parabola o'qga tegadi x -ov.

G) Ikkala shox ham cheksizdir, chunki X Va da cheksiz ko'payishi mumkin. Filiallar o'qdan ko'tariladi x -lar cheksiz yuqoriga, bir vaqtning o'zida o'qdan cheksiz uzoqlashadi y -ov o'ng va chap.

e) Eksa y -ov parabola uchun simmetriya o'qi bo'lib xizmat qiladi, shuning uchun chizmani shu o'q bo'ylab chizmaning chap yarmi o'ngga tushadigan qilib egib, ikkala shoxchaning birlashishini ko'ramiz; masalan, abscissa - 2 va ordinatasi 4 bo'lgan nuqta abscissa +2 va bir xil ordinata 4 bo'lgan nuqta bilan mos keladi.

e) Da X = 0 ordinatasi ham 0. Demak, uchun X = 0 funktsiya mumkin bo'lgan eng kichik qiymatga ega. Funktsiya eng katta qiymatga ega emas, chunki egri chiziqning ordinatalari cheksiz ortadi.

159. Shakl funksiyasining grafigiy=ah 2 . Faraz qilaylik, birinchi navbatda A ijobiy raqamdir. Masalan, ushbu 2 funktsiyani olaylik:

1) y= 1 1 / 2 x 2 ; 2) y= 1 / 3 x 2

Keling, ushbu funktsiyalarning qiymatlari jadvallarini tuzamiz, masalan, quyidagilar:

Keling, ushbu qiymatlarning barchasini chizmaga qo'yamiz va egri chizamiz. Taqqoslash uchun biz funktsiyaning yana bir grafigini xuddi shu chizmaga joylashtirdik (kesikli chiziq):

3) y=x 2

Chizmadan ko'rinib turibdiki, xuddi shu abtsissa bilan 1-egri chiziqning ordinatasi. 1 1 / 2 , marta ko'p va 2-egri chiziqning ordinatasi in 3 3-egri chiziqning ordinatasidan marta kichik. Natijada, bunday egri chiziqlarning barchasi umumiy xususiyatga ega: cheksiz uzluksiz novdalar, simmetriya o'qi va boshqalar, faqat a > 1 egri chiziqning shoxlari ko'proq ko'tariladi va qachon a< 1 ular egri chiziqdan ko'ra ko'proq egilgan y=x 2 . Bunday egri chiziqlarning barchasi parabolamlar deb ataladi.

Keling, koeffitsient deb faraz qilaylik A manfiy raqam bo'ladi. Keling, masalan, y=- 1 / 3 x 2 . Ushbu funktsiyani bu bilan solishtirish: y = + 1 / 3 x 2 bir xil qiymat uchun ekanligini unutmang X ikkala funksiya ham bir xil mutlaq qiymatga ega, lekin ishorasi qarama-qarshidir. Shuning uchun, funktsiya uchun chizmada y=- 1 / 3 x 2 funksiya bilan bir xil parabolani olamiz y= 1 / 3 x 2 faqat o'q ostida joylashgan X -ov parabola bilan simmetrikdir y= 1 / 3 x 2 . Bunday holda, funktsiyaning barcha qiymatlari manfiy, bittadan tashqari, nolga teng x = 0 ; bu oxirgi qiymat hammadan eng kattasi.

Izoh. Ikki o'zgaruvchi o'rtasidagi munosabat bo'lsa da Va X tenglik bilan ifodalanadi: y=ah 2 , Qayerda A ba'zi doimiy son, keyin biz qiymati, deb aytish mumkin da qiymat kvadratiga mutanosib X , chunki ortishi yoki kamayishi bilan X 2 marta, 3 marta va hokazo qiymat da 4 marta, 9 marta, 16 marta va hokazo ortadi yoki kamayadi. Masalan, aylananing maydoni p R 2 , Qayerda R aylananing radiusi va π doimiy raqam (taxminan 3,14 ga teng); Shunday qilib, aylana maydoni uning radiusining kvadratiga proportsional deb aytishimiz mumkin.

To'rtinchi bob.

Bir atamali algebraik ifodalarning kubga va boshqa vakolatlariga ko'tarilish.

160. Bir darajaga ko'tarishda belgilar qoidasi. Nisbiy sonlarni ko'paytirish qoidasidan shunday xulosa kelib chiqadi

(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;

(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;

(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;

(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = +l; va h.k.

Ma'nosi, manfiy sonni juft darajali darajaga ko'tarish musbat sonni, toq darajali darajaga ko'tarish esa manfiy sonni hosil qiladi.

161. Mahsulot, daraja va kasr darajasiga ko'tarilish. Darajaning va kasrning ko'paytmasini ma'lum darajaga ko'targanda, biz uni kvadratga ko'tarishda bo'lgani kabi qila olamiz (). Shunday qilib:

(abc) 3 \u003d (abc) (abc) (abc) \u003d abc abc abc \u003d (aaa) (bbb) (cc) \u003d a 3 b 3 c 3;

Beshinchi bob.

Funktsiyalarning grafik tasviri: y = x 3 va y = ax 3 .

162. Funksiya grafigi y = x 3 . Raqam ko'tarilganda ko'tarilgan sonning kubi qanday o'zgarishini ko'rib chiqamiz (masalan, kubning cheti o'zgarganda kub hajmi qanday o'zgaradi). Buning uchun avvalo funksiyaning quyidagi xususiyatlarini ko'rsatamiz y = x 3 (funktsiyaning xususiyatlarini eslatadi y = x 2 , avvalroq muhokama qilingan, ):

A) Har bir ma'no uchun X funktsiyasi y = x 3 mumkin va bitta ma'noga ega; shuning uchun (+ 5) 3 \u003d +125 va + 5 sonining kubi boshqa hech qanday raqamga teng bo'lishi mumkin emas. Xuddi shunday, (- 0,1) 3 = - 0,001 va -0,1 kubi boshqa hech qanday raqamga teng kela olmaydi.

b) Ikki qiymat bilan X , faqat belgilari, funksiyasi bilan farqlanadi x 3 bir-biridan faqat belgilar bilan farq qiladigan qiymatlarni oladi; shunday, at X = 2 funktsiyasi x 3 ga teng 8, va da X = - 2 ga teng 8 .

V) X ortishi bilan funksiya x 3 oshadi va tezroq X , va undan ham tezroq x 2 ; shunday

X = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. x 3 bo'ladi = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...

G) O'zgaruvchan sonning juda kichik o'sishi X funktsiyaning juda kichik o'sishiga to'g'ri keladi x 3 . Shunday qilib, agar qiymat X = 2 qismga oshirish 0,01 , ya'ni agar o'rniga X = 2 olaylik x = 2,01 , keyin funksiya da bo'lmaydi 2 3 (ya'ni emas 8 ), A 2,01 3 ga teng bo'ladi 8,120601 . Shunday qilib, bu funktsiya keyinroq ortadi 0,120601 . Qiymat bo'lsa X = 2 hatto kamroq oshirish, masalan, tomonidan 0,001 , Bu x 3 tenglashadi 2,001 3 ga teng bo'ladi 8,012006001 , va shuning uchun da ga oshadi 0,012006001 . Biz ko'ramiz, shuning uchun, agar o'zgaruvchan sonning o'sishi X kamroq va kamroq bo'ladi, keyin o'sish x 3 kamroq va kamroq bo'ladi.

Funktsiyaning bu xususiyatiga e'tibor bering y = x 3 Keling, uning grafigini chizamiz. Buning uchun biz avval ushbu funktsiya uchun qiymatlar jadvalini tuzamiz, masalan, quyidagilar:

163. Funksiya grafigi y \u003d bolta 3 . Keling, ushbu ikkita funktsiyani olaylik:

1) y= 1 / 2 x 3 ; 2) y = 2 x 3

Agar biz ushbu funktsiyalarni oddiyroq bilan taqqoslasak: y = x 3 , shuni ta'kidlaymizki, xuddi shu qiymat uchun X birinchi funksiya funksiyadan ikki baravar kichik, ikkinchisi esa ikki baravar katta qiymatlarni oladi y \u003d bolta 3 , aks holda bu uchta funktsiya bir-biriga o'xshashdir. Ularning grafiklari bir xil chizmada taqqoslash uchun ko'rsatilgan. Bu egri chiziqlar deyiladi 3-darajali parabolalar.

Oltinchi bob.

Ildiz chiqarishning asosiy xossalari.

164. Vazifalar.

A) Maydoni asosi 16 sm va balandligi 4 sm boʻlgan toʻrtburchakning maydoniga teng boʻlgan kvadratning tomonini toping.

Kerakli kvadratning yon tomonini harf bilan belgilash X (sm), biz quyidagi tenglamani olamiz:

x 2 =16 4, ya'ni. x 2 = 64.

Biz buni shu tarzda ko'ramiz X ikkinchi darajaga ko'tarilganda 64 ga olib keladigan raqam bor. Bunday raqam 64 ning ikkinchi ildizi deb ataladi. U + 8 yoki - 8 ga teng, chunki (+ 8) 2 \u003d 64 va (- 8) 2 \u003d 64. Salbiy raqam - 8 bizning vazifamiz uchun mos emas, chunki kvadrat tomoni oddiy arifmetik raqam bilan ifodalanishi kerak.

b) Og'irligi 1 kg 375 g (1375 g) bo'lgan qo'rg'oshin bo'lagi kub shaklida. Bu kubning qirrasi qanchalik katta, agar 1 kub ekanligi ma'lum bo'lsa. sm qo'rg'oshin og'irligi 11 gramm?

Kubning chetining uzunligi bo'lsin X sm.Shunda uning hajmi teng bo'ladi x 3 kub sm, va uning og'irligi 11 bo'ladi x 3 G.

11x 3= 1375; x 3 = 1375: 11 = 125.

Biz buni shu tarzda ko'ramiz X uchinchi darajaga ko'tarilganda bo'ladigan raqam bor 125 . Bunday raqam deyiladi uchinchi ildiz 125 dan. Bu, siz taxmin qilganingizdek, 5 ga teng, chunki 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125. Shuning uchun muammoda ko'rsatilgan kubning cheti 5 sm uzunlikka ega.

165. Ildizning ta’rifi. Raqamning ikkinchi ildizi (yoki kvadrati). A kvadrati ga teng bo'lgan son A . Shunday qilib, 49 ning kvadrat ildizi 7, shuningdek - 7, chunki 7 2 \u003d 49 va (- 7) 2 \u003d 49. Raqamning uchinchi darajali (kub) ildizi A kubi teng bo'lgan sonni chaqirdi A . Demak, -125 ning kub ildizi -5 ga teng, chunki (-5) 3 =(-5)(-5)(-5)= -125.

Umuman ildiz n orasidan th daraja A raqamni chaqirdi n-chi darajaga teng A.

Raqam n , ildizning qaysi daraja ekanligini bildiradi ildiz ko'rsatkichi.

Ildiz √ belgisi bilan belgilanadi (radikal belgisi, ya'ni ildiz belgisi). lotincha so'z radikal ildiz degan ma'noni anglatadi. Imzo√ birinchi marta 15-asrda kiritilgan.. Gorizontal chiziq ostida ular ildiz topilgan raqamni (radikal raqam) yozadilar va ildiz indeksi burchakning teshigi ustiga qo'yiladi. Shunday qilib:

27 ning kub ildizi ..... 3 √27 bilan belgilanadi;

32 ning to‘rtinchi ildizi... 3 √32 deb belgilanadi.

Masalan, kvadrat ildiz ko'rsatkichini umuman yozmaslik odatiy holdir.

2 √16 o'rniga √16 yozadilar.

Ildiz topiladigan harakat ildiz chiqarish deyiladi; u darajaga ko'tarilishning teskarisidir, chunki bu harakat yordamida darajaga ko'tarilish paytida berilgan narsa, ya'ni devorning asosi topiladi va u darajaga ko'tarilganda beriladigan narsa, ya'ni. darajaning o'zi. Shuning uchun, biz har doim ildizni bir darajaga ko'tarish orqali uni ajratib olishning to'g'riligini tekshirishimiz mumkin. Masalan, tekshirish uchun

tenglik: 3 √125 = 5, 5 ni kubga ko'tarish kifoya: 125 radikal raqamini olganimizdan so'ng, biz 125 ning kub ildizi to'g'ri chiqarilgan degan xulosaga keldik.

166. Arifmetik ildiz. Ildiz musbat sondan olingan bo'lsa va o'zi musbat son bo'lsa, u arifmetik deb ataladi. Masalan, 49 ning arifmetik kvadrat ildizi 7 ga teng, 49 ning ham kvadrat ildizi bo‘lgan 7 raqamini arifmetik deb bo‘lmaydi.

Arifmetik ildizning quyidagi ikkita xususiyatini ko'rsatamiz.

a) √49 arifmetikasini topish talab qilinsin. Bunday ildiz 7 bo'ladi, chunki 7 2 \u003d 49. Keling, o'zimizdan boshqa ijobiy raqamni topish mumkinmi, deb so'raylik. X , bu ham √49 bo'ladi. Faraz qilaylik, bunday raqam mavjud. U holda u 7 dan kichik yoki 7 dan katta bo'lishi kerak. Agar shunday deb hisoblasak x < 7, то тогда и x 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что x >7, keyin x 2 >49. Bu shuni anglatadiki, 7 dan kichik yoki 7 dan katta bo'lmagan hech qanday ijobiy son √49 ga teng bo'lolmaydi. Shunday qilib, berilgan sondan berilgan darajaning faqat bitta arifmetik ildizi bo'lishi mumkin.

Agar ildizning ijobiy ma’nosi haqida emas, balki biror narsa haqida gapirganda, boshqacha xulosaga kelgan bo‘lardik; Shunday qilib, √49 ham 7 raqamiga, ham - 7 raqamiga teng, chunki ikkalasi ham 7 2 \u003d 49 va (- 7) 2 \u003d 49.

b) Masalan, har qanday ikkita teng bo'lmagan musbat sonni oling. 49 va 56. Nimadan 49< 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125

Haqiqatan ham: 3 √64 = 4 va 3 √125 = 5 va 4< 5. Вообще kichikroq musbat raqam kichikroq arifmetik ildizga mos keladi (bir xil darajada).

167. Algebraik ildiz. Ildiz musbat sondan olinishi va uning o'zi musbat bo'lishi shart bo'lmasa, algebraik deyiladi. Shunday qilib, ifoda ostida bo'lsa n √a Albatta algebraik ildiz n th daraja, bu raqam degan ma'noni anglatadi A ham ijobiy, ham salbiy, ildizning o'zi ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin.

Biz algebraik ildizning quyidagi 4 ta xossasini ko'rsatamiz.

A) Ijobiy sonning toq ildizi musbat sondir .

Shunday qilib, 3 √8 ijobiy son bo'lishi kerak (u 2 ga teng), chunki toq darajali darajaga ko'tarilgan manfiy son manfiy sonni beradi.

b) Salbiy sonning toq ildizi manfiy sondir.

Shunday qilib, 3 √-8 manfiy son bo'lishi kerak (u -2 ga teng), chunki har qanday darajaga ko'tarilgan musbat son salbiy emas, balki ijobiy raqamni beradi.

V) Musbat sonning juft darajasining ildizi qarama-qarshi belgilarga ega va bir xil mutlaq qiymatga ega bo'lgan ikkita qiymatga ega.

Ha, √ +4 = + 2 va √ +4 = - 2 , chunki (+ 2 ) 2 = + 4 Va (- 2 ) 2 = + 4 ; xuddi shunday 4 √+81 = + 3 Va 4 √+81 = - 3 , chunki ikkala daraja (+3) 4 Va (-3) 4 bir xil songa teng. Ildizning qo'sh qiymati odatda ildizning mutlaq qiymatidan oldin ikkita belgi qo'yish orqali ko'rsatiladi; ular shunday yozadilar:

√4 = ± 2 ; √a 2 = ± a ;

G) Salbiy sonning juft ildizi har qanday musbat yoki manfiy songa teng kela olmaydi. , chunki ikkalasi ham juft darajali darajaga ko'tarilgandan so'ng, manfiy emas, balki ijobiy son bering. Masalan, √ -9 na +3, na -3 yoki boshqa raqamga teng emas.

Manfiy sonning juft ildizi xayoliy son deyiladi; nisbiy sonlar haqiqiy sonlar deb ataladi yoki yaroqli, raqamlar.

168. Mahsulotdan, darajadan va kasrdan ildizni ajratib olish.

A) Mahsulotning kvadrat ildizini olaylik abs . Agar siz mahsulotni kvadratga aylantirmoqchi bo'lsangiz, biz ko'rganimizdek (), har bir omilni alohida kvadratga olishingiz mumkin. Ildizni olish kuchga ko'tarishning teskarisi bo'lganligi sababli, mahsulotdan ildiz olish uchun uni har bir omildan alohida ajratib olish mumkinligini kutishimiz kerak, ya'ni.

√abc = √a √b √c .

Ushbu tenglikning to'g'riligini tekshirish uchun biz uning o'ng tomonini kvadratga ko'taramiz (teorema bo'yicha: mahsulotni quvvatga ko'tarish uchun ...):

(√a √b √c ) 2 = (√a ) 2 (√b ) 2 (√c ) 2

Ammo, ildizning ta'rifiga ko'ra,

(√a ) 2 = a, (√b ) 2 = b, (√c ) 2 = c

Shuning uchun

(√a √b √c ) 2 = abs .

Agar mahsulotning kvadrati √ bo'lsa a √b √c teng abs , u holda bu mahsulotning kvadrat ildiziga teng ekanligini anglatadi abc .

Shunga o'xshash:

3 √abc = 3 √a 3 √b 3 √c,

(3 √a 3 √b 3 √c ) 3 = (3 √a ) 3 (3 √b ) 3 (3 √c ) 3 = abc

Ma'nosi, mahsulotdan ildizni ajratib olish uchun uni har bir omildan alohida ajratib olish kifoya.

b) Quyidagi tengliklarning to'g'riligini tekshirish oson:

√a 4 = A 2 , chunki (a 2 ) 2 = A 4 ;

3 √x 12 = x 4 , „ (x 4 ) 3 = x 12 ; va h.k.

Ma'nosi, ko'rsatkichi ildiz darajasiga bo'linadigan darajaning ildizini olish uchun ko'rsatkichni ildiz darajasiga bo'lish mumkin.

V) Quyidagi tengliklar ham to'g'ri bo'ladi:

Ma'nosi, kasrning ildizini chiqarish uchun ayiruvchi va maxrajdan alohida foydalanish mumkin.

E'tibor bering, bu haqiqatlarda biz arifmetikaning ildizlari haqida gapiramiz deb taxmin qilinadi.

Misollar.

1) √9a 4 b 6 = √9 √a 4 √b 6 = 3A 2 b 3 ;

2) 3 √125a 6 x 9 = 3 √125 3 √a 6 3 √x 9 = 5A 2 x 3

Izoh Agar kerakli juft darajali ildiz algebraik deb hisoblansa, topilgan natija oldiga qo'sh belgisi qo'yilishi kerak ± Demak,

√9x 4 = ± 3x 2 .

169. Radikallarning eng oddiy transformatsiyalari,

A) Radikal belgisini faktoring. Agar radikal ifoda shunday omillarga ajralsa, ularning ba'zilaridan ildiz ajratib olinadigan bo'lsa, unda bunday omillar ulardan ildiz ajratib olingandan so'ng, radikal belgidan oldin yozilishi mumkin (radikal belgidan chiqarib tashlash mumkin).

1) √a 3 = √a 2 a = √a 2 √a = A √a .

2) √24a 4 x 3 = √4 6 a 4 x 2 x = 2a 2 x √6x

3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2 x 3 x = 2x 3 √2 x

b) Radikal belgisi ostida omillarni olib kelish. Ba'zan, aksincha, radikal belgisi ostida undan oldingi omillarni olib tashlash foydali bo'ladi; Buning uchun bunday omillarni ko'rsatkichi radikalning ko'rsatkichiga teng bo'lgan darajaga ko'tarish va keyin omillarni radikal belgisi ostida yozish kifoya.

Misollar.

1) A 2 √a = √(A 2 ) 2 a = √A 4 a = √a 5 .

2) 2x 3 √x = 3 √(2x ) 3 x = 3 √8x 3 x = 3 √8x 4 .

V) Denominatorlardan erkin radikal ifodasi. Buni quyidagi misollar bilan ko'rsatamiz:

1) Kasrni kvadrat ildizni maxrajdan ajratib olish uchun aylantiring. Buning uchun kasrning ikkala shartini 5 ga ko'paytiring:

2) Kasrning ikkala hadini ga ko'paytiring 2 , yoqilgan A va yana X , ya'ni 2Oh :

Izoh. Agar algebraik yig‘indidan ildizni ajratib olish talab qilinsa, uni har bir haddan alohida ajratib olish xato bo‘ladi. Masalan.√ 9 + 16 = √25 = 5 , unda qanday
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; shuning uchun qo'shish (va ayirish) ga nisbatan ildizni ajratib olish harakati taqsimlovchi xususiyatga ega emas(shuningdek, darajaga ko'tarilish, 2-bo'lim, 3-bob, 61-band, izoh).

Tabriklaymiz: bugun biz ildizlarni tahlil qilamiz - 8-sinfning eng aqlga sig'maydigan mavzularidan biri. :)

Ko'pchilik ildizlar haqida ular murakkab bo'lgani uchun (bu murakkab - bir nechta ta'riflar va yana bir nechta xususiyatlar) emas, balki ko'pchilik maktab darsliklarida ildizlar shunday yirtqichlar orqali aniqlangani uchun chalkashib ketishadi, chunki faqat darslik mualliflarining o'zlari qila oladilar. bu yozuvni tushuning. Va shunga qaramay, faqat bir shisha yaxshi viski bilan. :)

Shuning uchun, endi men ildizning eng to'g'ri va eng vakolatli ta'rifini beraman - siz haqiqatan ham eslab qolishingiz kerak bo'lgan yagona ta'rif. Va shundan keyingina men tushuntiraman: bularning barchasi nima uchun kerak va uni amalda qanday qo'llash kerak.

Ammo birinchi navbatda, bir muhim jihatni eslang, uni negadir ko'plab darslik tuzuvchilari "unutishadi":

Ildizlar juft darajali (bizning sevimli $\sqrt(a)$, shuningdek har qanday $\sqrt(a)$ va hatto $\sqrt(a)$) va toq darajali (har qanday $\sqrt(a)$) boʻlishi mumkin. , $\ sqrt(a)$ va boshqalar). Va toq daraja ildizining ta'rifi juftlikdan biroz farq qiladi.

Bu erda "biroz boshqacha" yashiringan, ehtimol, ildizlar bilan bog'liq barcha xatolar va tushunmovchiliklarning 95 foizi. Shunday qilib, keling, terminologiyani bir marta va butunlay tozalaymiz:

Ta'rif. Hatto ildiz n$a$ raqamidan istalgan salbiy bo'lmagan$b$ soni shundayki, $((b)^(n))=a$. Xuddi shu $a$ sonidan toq darajaning ildizi odatda bir xil tenglikka ega boʻlgan har qanday $b$ sondir: $((b)^(n))=a$.

Har holda, ildiz quyidagicha belgilanadi:

\(a)\]

Bunday yozuvdagi $n$ soni ildiz ko‘rsatkichi, $a$ soni esa radikal ifoda deyiladi. Xususan, $n=2$ uchun biz “sevimli” kvadrat ildizimizni olamiz (darvoqe, bu juft darajali ildiz), $n=3$ uchun esa kub ildiz (toq daraja), Bu ko'pincha muammolar va tenglamalarda ham uchraydi.

Misollar. Kvadrat ildizlarning klassik misollari:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end (tekislash)\]

Aytgancha, $\sqrt(0)=0$ va $\sqrt(1)=1$. Bu juda mantiqiy, chunki $((0)^(2))=0$ va $((1)^(2))=1$.

Kub ildizlari ham keng tarqalgan - ulardan qo'rqmang:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end (tekislash)\]

Xo'sh, bir nechta "ekzotik misollar":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end (tekislash)\]

Agar siz juft va toq daraja o'rtasidagi farq nima ekanligini tushunmasangiz, ta'rifni qayta o'qing. Bu juda muhim!

Shu bilan birga, biz ildizlarning bir noxush xususiyatini ko'rib chiqamiz, shuning uchun biz juft va toq ko'rsatkichlar uchun alohida ta'rifni kiritishimiz kerak edi.

Nima uchun bizga umuman ildiz kerak?

Ta'rifni o'qib chiqqandan so'ng, ko'plab talabalar: "Matematiklar buni o'ylab topganlarida nima chekishgan?" Va haqiqatan ham: nega bizga bu ildizlar kerak?

Bu savolga javob berish uchun keling, bir zum boshlang'ich maktabga qaytaylik. Esingizda bo'lsin: o'sha uzoq vaqtlarda, daraxtlar yashil bo'lib, chuchvara mazali bo'lganida, bizning asosiy tashvishimiz raqamlarni to'g'ri ko'paytirish edi. Xo'sh, "beshga besh - yigirma besh" ruhida nimadir bo'ldi. Axir, siz raqamlarni juftlikda emas, balki uchlik, to'rtlik va umuman butun to'plamlarda ko'paytirishingiz mumkin:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Biroq, bu masala emas. Hiyla boshqacha: matematiklar dangasa odamlardir, shuning uchun ular o'n beshning ko'payishini quyidagicha yozishlari kerak edi:

Shunday qilib, ular ilmiy darajaga ega bo'lishdi. Nega omillar sonini uzun satr o'rniga yuqori chiziq sifatida yozmaslik kerak? Bu kabi:

Bu juda qulay! Barcha hisob-kitoblar bir necha marta kamayadi, va siz ba'zi 5 183 yozish uchun daftar pergament varaqlar bir guruh sarflash mumkin emas. Bunday yozuv raqamning darajasi deb nomlandi, unda bir qancha xususiyatlar topildi, ammo baxt qisqa muddatli bo'lib chiqdi.

Darajalar "kashfiyoti" arafasida uyushtirilgan ulkan ichimlikdan so'ng, ba'zi bir ayniqsa toshbo'ronli matematik birdan so'radi: "Agar biz raqamning darajasini bilsak-u, lekin raqamning o'zini bilmasak nima bo'ladi?" Darhaqiqat, ma'lum bir $b$ soni, masalan, 5-darajaga 243 ni berishini bilsak, $b$ sonining o'zi nimaga teng ekanligini qanday taxmin qilish mumkin?

Bu muammo birinchi qarashda ko'rinadiganidan ancha global bo'lib chiqdi. Chunki "tayyor" darajalarning aksariyati uchun bunday "dastlabki" raqamlar yo'qligi ma'lum bo'ldi. O'zingiz uchun hukm qiling:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\O'ng strelka b=4\cdot 4\cdot 4\O'ng strelka b=4. \\ \end (tekislash)\]

$((b)^(3))=50$ bo'lsa-chi? Ma'lum bo'lishicha, siz ma'lum bir raqamni topishingiz kerak, bu raqam uch marta ko'paytirilsa, bizga 50 ni beradi. Lekin bu raqam nima? Bu aniq 3 dan katta, chunki 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Ya'ni. bu raqam uchdan to'rtgacha bo'lgan joyda yotadi, lekin u nimaga teng - FIG siz tushunasiz.

Aynan shuning uchun matematiklar $n$-th ildizlarini o'ylab topishgan. Shuning uchun radikal belgi $\sqrt(*)$ kiritildi. Xuddi shu raqamni belgilash uchun $b $, belgilangan quvvatga, bizga oldindan ma'lum bo'lgan qiymatni beradi

\[\sqrt[n](a)=b\O'ng strelka ((b)^(n))=a\]

Men bahslashmayman: ko'pincha bu ildizlar osongina ko'rib chiqiladi - biz yuqorida bir nechta bunday misollarni ko'rdik. Ammo shunga qaramay, ko'p hollarda, agar siz ixtiyoriy raqamni o'ylab ko'rsangiz va undan ixtiyoriy darajaning ildizini olishga harakat qilsangiz, sizni shafqatsiz bummer kutmoqda.

Nima bor! Hatto eng oddiy va eng tanish $\sqrt(2)$ ni ham odatiy shaklda - butun son yoki kasr sifatida ifodalab bo'lmaydi. Va agar siz ushbu raqamni kalkulyatorga kiritsangiz, buni ko'rasiz:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Ko'rib turganingizdek, kasrdan keyin hech qanday mantiqqa bo'ysunmaydigan raqamlarning cheksiz ketma-ketligi mavjud. Siz, albatta, boshqa raqamlar bilan tezda solishtirish uchun bu raqamni yaxlitlashingiz mumkin. Masalan:

\[\sqrt(2)=1,4142...\taxminan 1,4 \lt 1,5\]

Yoki yana bir misol:

\[\sqrt(3)=1,73205...\taxminan 1,7 \gt 1,5\]

Ammo bu yaxlitlashlarning barchasi, birinchi navbatda, juda qo'pol; ikkinchidan, siz taxminiy qiymatlar bilan ishlashingiz kerak, aks holda siz ko'p aniq bo'lmagan xatolarga duch kelishingiz mumkin (aytmoqchi, taqqoslash va yaxlitlash mahorati profil imtihonida albatta tekshiriladi).

Shuning uchun, jiddiy matematikada ildizlarsiz amalga oshirib bo'lmaydi - ular bizga qadimdan ma'lum bo'lgan kasrlar va butun sonlar kabi $\mathbb(R)$ barcha haqiqiy sonlar to'plamining bir xil teng vakillaridir.

Ildizni $\frac(p)(q)$ ko`rinishdagi kasr sifatida ifodalashning mumkin emasligi bu ildizning ratsional son emasligini bildiradi. Bunday raqamlar irratsional deb ataladi va ularni aniq ifodalash mumkin bo'lgan radikal yoki buning uchun maxsus mo'ljallangan boshqa konstruktsiyalar (logarifmlar, darajalar, chegaralar va boshqalar) bo'lmasa. Ammo bu haqda boshqa safar.

Barcha hisob-kitoblardan so'ng, irratsional sonlar hali ham javobda qoladigan bir nechta misollarni ko'rib chiqing.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\taxminan 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\taxminan -1,2599... \\ \end(align)\]

Tabiiyki, ildizning ko'rinishi bilan kasrdan keyin qaysi raqamlar kelishini taxmin qilish deyarli mumkin emas. Biroq, kalkulyatorda hisoblash mumkin, lekin hatto eng ilg'or sana kalkulyatori bizga irratsional sonning faqat birinchi bir necha raqamlarini beradi. Shuning uchun javoblarni $\sqrt(5)$ va $\sqrt(-2)$ deb yozish ancha to'g'riroq.

Ular aynan shu maqsadda ixtiro qilingan. Javoblarni yozishni osonlashtirish uchun.

Nima uchun ikkita ta'rif kerak?

Diqqatli o'quvchi, ehtimol, misollarda keltirilgan barcha kvadrat ildizlar ijobiy raqamlardan olinganligini payqagandir. Xo'sh, hech bo'lmaganda noldan. Ammo kub ildizlari mutlaqo har qanday raqamdan xotirjamlik bilan chiqariladi - hatto ijobiy, hatto salbiy.

Nima uchun bu sodir bo'lmoqda? $y=((x)^(2))$ funksiya grafigiga qarang:

Kvadrat funksiya grafigi ikkita ildiz beradi: musbat va manfiy

Keling, ushbu grafik yordamida $\sqrt(4)$ ni hisoblashga harakat qilaylik. Buning uchun grafikda $y=4$ (qizil rang bilan belgilangan) gorizontal chiziq chiziladi, u parabolani ikki nuqtada kesib o'tadi: $((x)_(1))=2$ va $((x) _(2)) =-2$. Bu juda mantiqiy, chunki

Birinchi raqam bilan hamma narsa aniq - bu ijobiy, shuning uchun u ildiz:

Ammo ikkinchi nuqta bilan nima qilish kerak? 4 ning birdaniga ikkita ildizi bormi? Axir, agar −2 sonini kvadratga aylantirsak, biz ham 4 ni olamiz. Nima uchun u holda $\sqrt(4)=-2$ yozmaslik kerak? Va nega o'qituvchilar bunday yozuvlarga sizni yeyishni xohlayotgandek qarashadi? :)

Muammo shundaki, agar qo'shimcha shartlar qo'yilmasa, to'rtta ikkita kvadrat ildizga ega bo'ladi - ijobiy va salbiy. Va har qanday ijobiy raqam ham ulardan ikkitasiga ega bo'ladi. Ammo manfiy sonlar umuman ildizga ega bo'lmaydi - buni bir xil grafikdan ko'rish mumkin, chunki parabola hech qachon o'qdan pastga tushmaydi. y, ya'ni. salbiy qiymatlarni qabul qilmaydi.

Xuddi shunday muammo teng ko'rsatkichli barcha ildizlar uchun yuzaga keladi:

1. To'g'ri aytganda, har bir musbat sonning $n$ ko'rsatkichi teng bo'lgan ikkita ildizi bo'ladi;
2. Salbiy raqamlardan hatto $n$ bo'lgan ildiz umuman chiqarilmaydi.

Shuning uchun $n$ juft ildizining ta'rifi javobning manfiy bo'lmagan son bo'lishi kerakligini aniq belgilaydi. Shunday qilib, biz noaniqlikdan xalos bo'lamiz.

Lekin g'alati $n$ uchun bunday muammo yo'q. Buni ko‘rish uchun $y=((x)^(3))$ funksiya grafigini ko‘rib chiqamiz:

Kub parabola har qanday qiymatni oladi, shuning uchun kub ildizi istalgan raqamdan olinishi mumkin

Ushbu grafikdan ikkita xulosa chiqarish mumkin:

1. Kub parabolaning shoxlari odatdagidan farqli o'laroq, ikkala yo'nalishda ham - yuqoriga ham, pastga ham cheksizlikka boradi. Shuning uchun, qaysi balandlikda biz gorizontal chiziq chizamiz, bu chiziq, albatta, bizning grafik bilan kesishadi. Shuning uchun kub ildizi har doim, mutlaqo istalgan raqamdan olinishi mumkin;
2. Bundan tashqari, bunday kesishma har doim o'ziga xos bo'ladi, shuning uchun siz qaysi raqamni "to'g'ri" ildizni ko'rib chiqishingiz va qaysi biriga gol kiritishingiz haqida o'ylashingiz shart emas. Shuning uchun toq daraja uchun ildizlarning ta'rifi juftlikka qaraganda oddiyroqdir (salbiy bo'lmaganlik sharti yo'q).

Ko‘pchilik darsliklarda bu oddiy narsalar tushuntirilmagani achinarli. Buning o'rniga, bizning miyamiz har xil arifmetik ildizlar va ularning xususiyatlari bilan ko'tarila boshlaydi.

Ha, men bahslashmayman: arifmetik ildiz nima - siz ham bilishingiz kerak. Va men bu haqda alohida darsda batafsil gaplashaman. Bugun biz bu haqda ham gaplashamiz, chunki usiz $n$-inchi ko'plikning ildizlari haqidagi barcha fikrlar to'liq bo'lmaydi.

Lekin birinchi navbatda siz yuqorida bergan ta'rifni aniq tushunishingiz kerak. Aks holda, atamalarning ko'pligi tufayli sizning boshingizda shunday tartibsizlik boshlanadiki, oxirida siz hech narsani tushunmaysiz.

Va faqat juft va toq sonlar orasidagi farqni tushunishingiz kerak. Shuning uchun, biz yana bir bor ildizlar haqida bilishingiz kerak bo'lgan hamma narsani to'playmiz:

1. Juft ildiz faqat manfiy bo'lmagan sondan mavjud va o'zi hamisha manfiy bo'lmagan sondir. Salbiy sonlar uchun bunday ildiz aniqlanmagan.
2. Ammo g'alati darajaning ildizi har qanday sondan mavjud bo'lib, o'zi ham har qanday raqam bo'lishi mumkin: musbat sonlar uchun u musbat, manfiy sonlar uchun esa, shapka ko'rsatganidek, manfiy.

Bu qiyinmi? Yo'q, qiyin emas. Tushunarli? Ha, bu aniq! Shuning uchun, endi biz hisob-kitoblar bilan bir oz mashq qilamiz.

Asosiy xususiyatlar va cheklovlar

Ildizlar juda ko'p g'alati xususiyatlar va cheklovlarga ega - bu alohida dars bo'ladi. Shuning uchun, endi biz faqat teng ko'rsatkichli ildizlarga tegishli bo'lgan eng muhim "chip" ni ko'rib chiqamiz. Ushbu xususiyatni formula shaklida yozamiz:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\chap| x\right|\]

Boshqacha qilib aytganda, agar biz raqamni juft darajaga ko'tarsak va undan bir xil darajadagi ildizni chiqarsak, biz asl sonni emas, balki uning modulini olamiz. Bu isbotlash oson bo'lgan oddiy teorema (salbiy bo'lmagan $x$ ni alohida ko'rib chiqish kifoya, keyin esa salbiylarni alohida ko'rib chiqish kifoya). O'qituvchilar bu haqda doimo gapiradilar, bu har bir maktab darsligida berilgan. Ammo irratsional tenglamalarni (ya'ni, radikal belgisini o'z ichiga olgan tenglamalar) yechish haqida gap ketganda, o'quvchilar birgalikda bu formulani unutishadi.

Muammoni batafsil tushunish uchun keling, barcha formulalarni bir daqiqaga unutib, oldinda ikkita raqamni sanashga harakat qilaylik:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=?\]

Bular juda oddiy misollar. Birinchi misol ko'pchilik tomonidan hal qilinadi, lekin ikkinchisida ko'pchilik yopishadi. Bunday axlatni muammosiz hal qilish uchun har doim protsedurani ko'rib chiqing:

1. Birinchidan, raqam to'rtinchi darajaga ko'tariladi. Xo'sh, bu qandaydir oson. Yangi raqam olinadi, uni hatto ko'paytirish jadvalida ham topish mumkin;
2. Va endi bu yangi raqamdan to'rtinchi darajali ildizni ajratib olish kerak. Bular. ildizlar va darajalarning "kamayishi" yo'q - bu ketma-ket harakatlar.

Keling, birinchi ifoda bilan shug'ullanamiz: $\sqrt(((3)^(4)))$. Shubhasiz, siz avval ildiz ostidagi ifodani hisoblashingiz kerak:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Keyin 81 raqamining to'rtinchi ildizini chiqaramiz:

Endi ikkinchi ifoda bilan ham xuddi shunday qilamiz. Birinchidan, biz −3 sonini to'rtinchi darajaga ko'taramiz, buning uchun uni o'z-o'zidan 4 marta ko'paytirishimiz kerak:

\[((\left(-3 \o'ng))^(4))=\left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \left(-3 \o'ng)\cdot \ chap (-3 \o'ng)=81\]

Biz ijobiy raqamni oldik, chunki ishdagi minuslarning umumiy soni 4 ta bo'lib, ularning barchasi bir-birini bekor qiladi (oxir-oqibat, minus bilan minus ortiqcha beradi). Keyin yana ildizni chiqarib oling:

Aslida, bu qatorni yozib bo'lmaydi, chunki javob bir xil bo'lishi aql bovar qilmaydi. Bular. bir xil teng quvvatning teng ildizi minuslarni "yoqadi" va bu ma'noda natija odatdagi moduldan farq qilmaydi:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \o'ng))^(4)))=\chap| -3 \o'ng|=3. \\ \end (tekislash)\]

Bu hisob-kitoblar juft daraja ildizining ta'rifi bilan yaxshi mos keladi: natija har doim manfiy emas, radikal belgi ham har doim manfiy bo'lmagan sondir. Aks holda, ildiz aniqlanmaydi.

Operatsiyalar tartibi haqida eslatma

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ belgisi birinchi navbatda $a$ raqamini kvadratga aylantiramiz, so'ngra olingan qiymatning kvadrat ildizini olamiz. Shuning uchun, manfiy bo'lmagan son har doim ildiz belgisi ostida o'tirishiga ishonch hosil qilishimiz mumkin, chunki baribir $((a)^(2))\ge 0$;
2. Lekin $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ yozuvi, aksincha, biz avval ma'lum $a$ sonidan ildizni ajratib olamiz va shundan keyingina natijani kvadratga olamiz. Shuning uchun $a$ soni hech qanday holatda salbiy bo'lishi mumkin emas - bu ta'rifga kiritilgan majburiy talab.

Shunday qilib, hech qanday holatda ildizlar va darajalarni o'ylamasdan qisqartirmaslik kerak va shu bilan asl iborani "soddalashtirish" kerak. Chunki agar ildiz ostida manfiy son bo‘lsa va uning ko‘rsatkichi juft bo‘lsa, ko‘p muammolarga duch kelamiz.

Biroq, bu muammolarning barchasi faqat hatto ko'rsatkichlar uchun ham tegishli.

Ildiz belgisi ostidan minus belgisini olib tashlash

Tabiiyki, toq ko'rsatkichli ildizlarning ham o'ziga xos xususiyati bor, ular, qoida tariqasida, juftlar uchun mavjud emas. Aynan:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Muxtasar qilib aytganda, g'alati darajadagi ildizlarning belgisi ostidan minusni chiqarib olishingiz mumkin. Bu barcha minuslarni "tashlash" imkonini beruvchi juda foydali xususiyat:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \o'ng)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(tuzalash)\]

Ushbu oddiy xususiyat ko'plab hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Endi tashvishlanishingizga hojat yo'q: agar salbiy ibora ildiz ostiga tushsa va ildiz darajasi teng bo'lib chiqsa nima bo'ladi? Ildizlardan tashqaridagi barcha minuslarni "tashlab qo'yish" kifoya qiladi, shundan so'ng ular bir-biriga ko'paytirilishi, bo'linishi va umuman olganda ko'plab shubhali ishlarni bajarishi mumkin, bu "klassik" ildizlar holatida bizni xatoga olib kelishi kafolatlanadi. .

Va bu erda sahnaga yana bir ta'rif kiradi - ko'pchilik maktablar irratsional iboralarni o'rganishni boshlaydilar. Va busiz bizning fikrimiz to'liq bo'lmaydi. Tanishing!

arifmetik ildiz

Bir zum faraz qilaylik, ildiz belgisi ostida faqat musbat raqamlar yoki o'ta og'ir holatlarda nol bo'lishi mumkin. Keling, juft / toq ko'rsatkichlar bo'yicha ball to'playmiz, yuqorida keltirilgan barcha ta'riflar bo'yicha ball to'playmiz - biz faqat manfiy bo'lmagan raqamlar bilan ishlaymiz. Keyin nima?

Va keyin biz arifmetik ildizni olamiz - u bizning "standart" ta'riflarimiz bilan qisman kesishadi, lekin baribir ulardan farq qiladi.

Ta'rif. $a$ manfiy boʻlmagan sonning $n$-chi darajali arifmetik ildizi manfiy boʻlmagan $b$ son boʻlib, $((b)^(n))=a$ boʻladi.

Ko'rib turganingizdek, bizni endi parite qiziqtirmaydi. Buning o'rniga yangi cheklov paydo bo'ldi: radikal ifoda endi har doim salbiy emas va ildizning o'zi ham salbiy emas.

Arifmetik ildiz odatdagidan qanday farq qilishini yaxshiroq tushunish uchun bizga allaqachon tanish bo'lgan kvadrat va kub parabola grafiklarini ko'rib chiqing:

Ildiz qidirish maydoni - manfiy bo'lmagan raqamlar

Ko'rib turganingizdek, bundan buyon bizni faqat birinchi koordinata choragida joylashgan grafik qismlari qiziqtiradi - bu erda $x$ va $y$ koordinatalari ijobiy (yoki hech bo'lmaganda nolga teng). Salbiy raqamni ildiz otish huquqiga egamiz yoki yo'qligini tushunish uchun endi indikatorga qarashingiz shart emas. Chunki manfiy raqamlar endi printsipial jihatdan hisobga olinmaydi.

Siz shunday deb so'rashingiz mumkin: "Xo'sh, nega bizga kastratsiya qilingan ta'rif kerak?" Yoki: "Nega biz yuqorida keltirilgan standart ta'rifga erisha olmaymiz?"

Xo'sh, men faqat bitta xususiyatni beraman, shuning uchun yangi ta'rif mos keladi. Masalan, eksponentsiya qoidasi:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Iltimos, diqqat qiling: biz radikal ifodani istalgan kuchga ko'tarishimiz va shu bilan birga ildiz ko'rsatkichini bir xil kuchga ko'paytirishimiz mumkin - natijada bir xil raqam bo'ladi! Mana bir nechta misollar:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(hizala)\]

Xo'sh, buning nimasi yomon? Nega biz buni oldin qila olmadik? Mana nima uchun. Oddiy iborani ko'rib chiqaylik: $\sqrt(-2)$ - bu bizning klassik ma'nomizda juda normal, ammo arifmetik ildiz nuqtai nazaridan mutlaqo qabul qilib bo'lmaydigan raqam. Keling, uni aylantirishga harakat qilaylik:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2))))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \o'ng))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Ko'rib turganingizdek, birinchi holatda, biz radikal ostidan minusni chiqardik (bizda barcha huquqlar bor, chunki indikator g'alati), ikkinchisida biz yuqoridagi formuladan foydalandik. Bular. matematika nuqtai nazaridan, hamma narsa qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi.

WTF?! Qanday qilib bir xil raqam ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin? Bo'lishi mumkin emas. Shunchaki, musbat sonlar va nol uchun ajoyib ishlaydigan ko'rsatkich formulasi manfiy sonlar holatida to'liq bid'at bera boshlaydi.

Mana, bunday noaniqlikdan xalos bo'lish uchun ular arifmetik ildizlarni o'ylab topishdi. Ularga alohida katta dars bag'ishlangan bo'lib, unda biz ularning barcha xususiyatlarini batafsil ko'rib chiqamiz. Endi biz ular haqida to'xtalmaymiz - baribir dars juda uzun bo'lib chiqdi.

Algebraik ildiz: ko'proq bilishni istaganlar uchun

Men uzoq vaqt o'yladim: bu mavzuni alohida paragrafda qilish yoki qilmaslik. Oxir-oqibat, men bu erdan ketishga qaror qildim. Ushbu material ildizlarni yaxshiroq tushunishni istaganlar uchun mo'ljallangan - endi o'rtacha "maktab" darajasida emas, balki Olimpiadaga yaqin darajada.

Shunday qilib: sondan $n$-chi daraja ildizining "klassik" ta'rifi va unga bog'liq bo'lgan juft va toq ko'rsatkichlarga bo'linishidan tashqari, paritetga bog'liq bo'lmagan ko'proq "kattalar" ta'rifi mavjud. umuman boshqa nozikliklar. Bu algebraik ildiz deyiladi.

Ta'rif. Har qanday $a$ ning $n$-inchi algebraik ildizi $((b)^(n))=a$ boʻladigan barcha $b$ sonlar toʻplamidir. Bunday ildizlar uchun aniq belgi yo'q, shuning uchun tepaga chiziqcha qo'ying:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \o'ng. \o'ng\) \]

Dars boshida berilgan standart ta’rifdan tub farqi shundaki, algebraik ildiz aniq son emas, balki to‘plamdir. Va biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimiz sababli, bu to'plam faqat uchta turdagi:

1. Bo'sh to'plam. Manfiy sondan juft darajali algebraik ildizni topish talab qilinganda yuzaga keladi;
2. Bitta elementdan tashkil topgan to'plam. Toq kuchlarning barcha ildizlari, shuningdek, noldan boshlab juft darajalarning ildizlari bu toifaga kiradi;
3. Nihoyat, to'plam ikkita raqamni o'z ichiga olishi mumkin - biz ko'rgan $((x)_(1))$ va $((x)_(2))=-((x)_(1))$ kvadratik funksiya diagrammasi. Shunga ko'ra, bunday tekislash faqat musbat sondan juft darajaning ildizini olishda mumkin.

Oxirgi holat batafsilroq ko'rib chiqishga loyiqdir. Farqni tushunish uchun bir nechta misollarni sanab o'tamiz.

Misol. Ifodalarni hisoblash:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Yechim. Birinchi ifoda oddiy:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \o'ng\)\]

Bu to'plamning bir qismi bo'lgan ikkita raqam. Chunki ularning har birining kvadrati to'rtlikni beradi.

\[\overline(\sqrt(-27))=\chap\( -3 \o'ng\)\]

Bu erda biz faqat bitta raqamdan iborat to'plamni ko'ramiz. Bu juda mantiqiy, chunki ildizning ko'rsatkichi g'alati.

Nihoyat, oxirgi ifoda:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Bizda bo'sh to'plam bor. Chunki to'rtinchi (ya'ni, hatto!) Kuchga ko'tarilganda bizga manfiy -16 sonini beradigan bitta haqiqiy son yo'q.

Yakuniy eslatma. E'tibor bering: biz haqiqiy raqamlar bilan ishlayotganimizni hamma joyda ta'kidlaganim yo'q. Chunki murakkab raqamlar ham bor - u erda $\sqrt(-16)$ va boshqa ko'plab g'alati narsalarni hisoblash mumkin.

Biroq, matematikaning zamonaviy maktab o'quv dasturida murakkab sonlar deyarli topilmaydi. Ular ko‘pchilik darsliklardan olib tashlangan, chunki bizning mutasaddilar mavzuni “tushunish juda qiyin” deb hisoblaydi.

Ana xolos. Keyingi darsda biz ildizlarning barcha asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqamiz va nihoyat irratsional ifodalarni qanday soddalashtirishni o'rganamiz. :)

Misollar:

\(\sqrt(16)=2\), chunki \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\), chunki \(((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

n-darajali ildizni qanday hisoblash mumkin?

\(n\)-chi ildizni hisoblash uchun siz o'zingizga savol berishingiz kerak: \(n\)-chi daraja ildiz ostida qaysi raqamni beradi?

Masalan. \(n\)-chi ildizni hisoblang: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0,00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

a) \(4\)-chi darajaga qaysi son \(16\) ni beradi? Shubhasiz, \(2\). Shunung uchun:

b) \(3\)-chi darajaga qaysi son \(-64\) ni beradi?

\(\sqrt(-64)=-4\)

c) \(5\)-chi darajaga qaysi son \(0,00001\) ni beradi?

\(\sqrt(0,00001)=0,1\)

d) \(3\)-darajali qaysi son \(8000\) ni beradi?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) \(4\)-chi darajaga qaysi son \(\frac(1)(81)\) beradi?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

Biz \(n\)-darajali ildizga ega bo'lgan eng oddiy misollarni ko'rib chiqdik. \(n\)-darajali ildizlar bilan murakkabroq muammolarni hal qilish uchun ularni bilish juda muhimdir.

Misol. Hisoblash:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\)		Ayni paytda ildizlarning hech birini hisoblab bo'lmaydi. Shuning uchun ildizning \(n\)-chi darajali xossalarini qo'llaymiz va ifodani o'zgartiramiz. \(\frac(\sqrt(-64))(\sqrt(2))\)\(=\)\(\sqrt(\frac(-64)(2))\) \(=\)\(\sqrt(-32)\) chunki \(\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))\)\(=\)\(\sqrt[n](\frac(a)(b))\)
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\)		Birinchi haddagi omillarni shunday joylashtiramizki, kvadrat ildiz va \(n\)-darajali ildiz yonma-yon bo'lsin. Bu xususiyatlarni qo'llashni osonlashtiradi. \(n\)-chi ildizlarning aksariyat xossalari faqat bir xil darajadagi ildizlar bilan ishlaydi. Va biz 5-darajali ildizni hisoblaymiz.
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\)		\(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) xususiyatini qo'llang va qavsni kengaytiring
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\)		\(\sqrt(81)\) va \(\sqrt(-27)\) ni hisoblang
\(=9\cdot(-3)+5=-27+5=-22\)

n-chi ildiz va kvadrat ildiz o'zaro bog'liqmi?

Har qanday holatda, har qanday darajadagi har qanday ildiz siz uchun g'ayrioddiy shaklda yozilgan bo'lsa-da, shunchaki raqamdir.

n-chi ildizning yagonaligi

Toq \(n\) boʻlgan \(n\)-chi ildiz istalgan sondan, hatto manfiy raqamlardan ham olinishi mumkin (boshidagi misollarga qarang). Ammo, agar \(n\) juft boʻlsa (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), unda bunday ildiz faqat quyidagi hollarda chiqariladi. \( a ≥ 0\) (Aytgancha, kvadrat ildiz bir xil). Buning sababi, ildizni ajratib olish eksponentsiyaga qarama-qarshidir.

Va teng kuchga ko'tarish hatto salbiy raqamni ham ijobiy qiladi. Darhaqiqat, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Shuning uchun biz juft daraja ildizi ostida manfiy sonni ololmaymiz. Bu shuni anglatadiki, biz bunday ildizni manfiy raqamdan chiqara olmaymiz.

Toq kuchda bunday cheklovlar yo'q - toq darajaga ko'tarilgan manfiy raqam manfiy bo'lib qoladi: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) ) \ cdot(-2)=-32\). Shuning uchun, g'alati darajaning ildizi ostida siz salbiy raqamni olishingiz mumkin. Bu shuni anglatadiki, uni manfiy raqamdan chiqarish ham mumkin.