Sharni aylantirish. Matematikani yoqtirmaydiganlar uchun

Tasavvur qiling-a, "oddiy" ikki o'lchovli sfera S 2 o'zidan o'tishi mumkin bo'lgan elastik materialdan qilingan. Oddiy uch o'lchovli fazoda $$\mathbb(R)^3$$ uzilishlarsiz va uzilishlarsiz, lekin mumkin bo'lgan o'z-o'zidan kesishish bilan (ya'ni, suvga cho'mish sinfida) sharni ichkariga aylantirish mumkinmi?

2000 yilda Smale XXI asrda hal qilinishi kerak bo'lgan 18 ta muammo ro'yxatini tuzdi. Ushbu ro'yxat Gilbert muammolari ruhida tuzilgan va keyingi Mingyillik muammolari kabi Rieman gipotezasi, P va NP sinflarining tengligi masalasi, Navier-Stoks tenglamalarini echish muammosi va Puankareni o'z ichiga oladi. faraz endi Perelman tomonidan isbotlangan. Smeyl o'z ro'yxatini Xalqaro matematika ittifoqining o'sha paytdagi prezidenti Arnoldning iltimosiga binoan tuzdi, u bu ro'yxat g'oyasini Hilbertning muammolar ro'yxatidan olgan.

Va nihoyat, savol: tekislikda aylanani "aylantirish" mumkinmi, ya'ni yuqoridagi kabi doimiy suvga cho'mish oilasini topish mumkinmi?

Izohlar

Qiziq. Quyidagi gap xayolimga keladi. Keling, stereografik proyeksiya ko'rinishidagi sharni - cheksiz tekislikni tasavvur qilaylik. Keyin sharni ichkariga burish xuddi boshqa yo'nalishdagi samolyotning "katlanması" kabi ko'rinadi, ya'ni. boshqa yo'nalish bilan. Qayerdadir fikrlashda teshik bor, to'g'rimi?

Gap shundaki, stereografik proyeksiya sferada tekislikdagi hech narsaga mos kelmaydigan nuqtani tanlashni nazarda tutadi va bu o'yin qoidalarini o'zgartiradi, chunki shartlarga ko'ra, sharni buzib bo'lmaydi va aniq nuqtani teshib bo'lmaydi.

Xo'sh, printsipial jihatdan, men cheksiz uzoq nuqtaga ega zaif nuqta borligiga shubha qildim. Men faqat mustaqil fikrni bilmoqchi edim;).

Misha, simlar nazariyasida K3 sirtlari bor yoki yo'qligini eshitishni xohlayman va agar shunday bo'lsa, ular u erda qanday paydo bo'ladi?

Ha, ba'zida shunday qilishadi. Kompaktlashtirish kontekstida. K3 golonomiya guruhiga ega $$SU(2)\subset SU(2)\times SU(2)$$ va shuning uchun supersimmetriyalarning yarmini saqlaydi. Fenomenologik jihatdan bunday modellar juda qiziq emas, lekin odamlar hali ham ularni ko'rib chiqadilar.

Men sharni burmalarsiz aylantiraman, kinodan ham osonroq. Barmog'ingiz bilan sharning sirtining bir qismini ichkariga yopishtirish kerak. Sferaning bu ichki qismini 180 gradusga aylantiring, bunda teshik burmalarsiz yopiladi. Doira bo'lgan sharning meridianlari kattaroq boshning ichida kichikroq bosh bilan "sakkizta" ga aylanadi. Keyinchalik, ichki deyarli to'pni tashqariga chiqmaguncha shishiring. Tabiiyki, uning ko'rinishi teskari bo'ladi. Qolgan narsa katta qismi bo'lgan va endi shishgan qismga nisbatan kichikroq bo'lib, 180 daraja burilish uchun. Siqilgan teshik ochiladi, biz chuqurchani to'g'rilaymiz va maqsadga erishiladi!

Bu erda nuqta cheksizlikka, cheksizlik esa nuqtaga aylanadi. Yoki, "olamning bir xilligi": ichkarida nima, tashqarida nima.
Shuning uchun paradigma paydo bo'ladi - mikrokosmosni makrokosmos yordamida o'rganish mumkin va aksincha.
Savol =]h/2;2/h[ radius chegarasida. Bu erda h o'lchov aniqligining metrik chegarasi sifatida ishlatiladi, ya'ni bir xil epsilon ikkiga bo'linadi.
Shuningdek, bunday sohaning jismoniy mavjudligi turli holatlar uchun isbotlanishi yoki rad etilishi mumkin.
Yoki men xato qilyapmanmi?

3D kosmosda uni immersion sinfida, ya'ni mumkin bo'lgan o'z-o'zidan kesishmalar bilan, lekin burmalarsiz ichkariga aylantirish mumkin. Boshqacha qilib aytganda, har bir deformatsiya momentida sharning tasviri silliq, ya'ni differentsial bo'lib qolishi kerak.

Sfera eversiyasi umuman mantiqiy paradoks emas, bu teorema, faqat juda ziddiyatli. Aniqroq aytganda:

Bunday sho'ng'inlar oilasining o'ziga xos misolini keltirish juda qiyin, garchi ko'plab rasmlar va filmlar mavjud. Boshqa tomondan, bunday oila borligini isbotlash ancha oson va aynan Smeyl shunday qilgan.

Hikoya

Ushbu paradoks 1958 yilda Smeyl tomonidan kashf etilgan. Afsonaga ko'ra, Smeyl bu teoremani nashr qilmoqchi bo'lganida, u tasdiqning noto'g'ri ekanligi haqida javob oldi, chunki bunday "teskari o'zgartirish" jarayonida Gauss xaritalash darajasi saqlanib qolishi kerak. [ ] Darhaqiqat, Gauss xaritalash darajasi saqlanishi kerak, xususan, bu aylana tekislikda "aylanmasligi" mumkinligini ko'rsatadi, lekin Gauss xaritalarining darajalari y. $f$ va da $-f$ V $(\backslash mathbb\; R)^3$ ikkalasi ham 1 ga teng. Bundan tashqari, har qanday joylashtirish darajasi $S\; ^\; 2\; \backslash \; to\; (\backslash \; mathbb\; R)\; ^\; 3$ 1 ga teng.

Variatsiyalar va umumlashtirishlar

"Sferani teskari aylantirish" maqolasiga sharh yozing

Adabiyot

• Kichkina Stiven Ikki sharning immersionlarining tasnifi. Trans. amer. Matematika. soc. 90 1958 281-290.
• Frensis, J. Moskva: Mir, 1991. 6-bob. Sferani ichkariga aylantirish.

Eslatmalar

Sfera vertiyasini tavsiflovchi parcha

- Yana, polkovnik, - dedi general, - ammo men odamlarning yarmini o'rmonda qoldira olmayman. Sizdan iltimos qilaman, sizdan iltimos qilaman, - takrorladi u, - pozitsiyani egallab, hujumga tayyorgarlik ko'ring.
"Va men sizdan o'z ishingizga aralashmaslikni so'rayman", deb javob qildi polkovnik hayajonlanib. - Agar siz otliq bo'lganingizda ...
- Men otliq emasman, polkovnik, lekin men rus generaliman, agar bilmasangiz...
- Juda yaxshi tanilgan, Janobi Oliylari, - deb baqirdi polkovnik birdan otga tegib, qizil-binafsha rangga aylandi. - Zanjirlarga qo'shilishni xohlaysizmi, va siz bu lavozimning qadrsizligini ko'rasiz. Men sizning rohatingiz uchun polkimni yo'q qilishni xohlamayman.
- Siz unutyapsiz, polkovnik. Men o'zimning zavqimni ko'rmayapman va aytilishiga yo'l qo'ymayman.
General polkovnikning mardlik turniriga taklifini qabul qilib, ko‘ksini rostlab, qovog‘ini chimirib, u bilan zanjir tarafga otlandi, go‘yo ularning barcha kelishmovchiligi o‘sha yerda, zanjirda, o‘q ostida hal bo‘ladigandek. Ular zanjirga yetib kelishdi, ularning ustidan bir nechta o‘q uchib o‘tdi va ular jimgina to‘xtashdi. Zanjirda ko'rinadigan hech narsa yo'q edi, chunki ular ilgari turgan joydan ham otliqlarning butalar va jarlar orqali harakat qilishlari mumkin emasligi va frantsuzlar chap qanotni chetlab o'tishayotgani aniq edi. Jangga hozirlanayotgan ikki xo‘roz bir-biriga qarab, qo‘rqoqlik alomatlarini behuda kutib turganda, general va polkovnik qattiq va jiddiy qarashdi. Ikkalasi ham sinovdan o'tdi. Aytadigan hech narsa bo'lmagani uchun, biri ham, ikkinchisi ham o'q ostidan birinchi bo'lib chiqdi, deb ikkinchisiga asos berishni xohlamagani uchun, ular o'sha erda uzoq vaqt turib, o'zaro jasoratni boshdan kechirdilar, agar o'sha paytda o'rmonda, deyarli ularning orqasida, qurollarning shovqini va bo'g'iq, birlashuvchi faryod eshitilsa. Frantsuzlar o'rmonda bo'lgan askarlarga o'tin bilan hujum qilishdi. Gussarlar endi piyodalar bilan chekinishlari mumkin emas edi. Ular chekinishdan chapga frantsuz chizig'i bilan kesilgan. Endi, er qanchalik noqulay bo'lsa ham, ularning yo'lini olish uchun hujum qilish kerak edi.
Rostov xizmat qilgan, endigina otlariga chiqishga muvaffaq bo'lgan eskadron dushmanga qarshi to'xtatildi. Yana, Enskiy ko'prigida bo'lgani kabi, eskadron va dushman o'rtasida hech kim yo'q edi va ular o'rtasida ularni ajratib turuvchi xuddi shunday dahshatli noaniqlik va qo'rquv chizig'i, xuddi tirikni o'likdan ajratib turadigan chiziq edi. Hamma odamlar bu chiziqni his qildilar va ular chiziqdan o'tadilarmi yoki yo'qmi, qanday qilib chegaradan o'tishadi degan savol ularni tashvishga solardi.

Buyuk matematik Devid Xilbert aytganidek, matematik nazariyani siz birinchi uchratgan odamga taqdim qilish mumkin bo'lgandagina mukammal deb hisoblash mumkin. Hilbertning izdoshlari butunlay umidsizlikka tushib, ushbu retsept bo'yicha yashashga harakat qilmoqdalar. Matematika borgan sari ixtisoslashgan bo‘lib, endi bilimdon matematik ba’zan o‘zi hal qiladigan masalalarning mohiyatini tushuntirish uchun hamkasblari uchun ham ko‘p mehnat qilishga majbur bo‘ladi. Biroq, vaqti-vaqti bilan ushbu fanning etakchi va ko'rinishidan tushunarsiz bo'lgan sohalari bo'yicha tadqiqotlar oddiy odam uchun qiziqarli bo'lgan va shu bilan birga ortiqcha soddalashtirishsiz tushuntirilishi mumkin bo'lgan kashfiyotga olib keladi. Buning yorqin misoli Stiven Smeylning 1959 yilda nashr etilgan sferaning muntazam xaritalari deb ataladigan teoremasidir.

O'sha paytda Smale ishlagan soha zamonaviy matematikaning eng mavhum bo'limlaridan biri bo'lgan differentsial topologiya edi. Ajablanarlisi shundaki, shunga qaramay, Smeyl teoremasining eng hayratlanarli oqibatlaridan biri uchun vizual tushuntirishni topish mumkin edi. Ya'ni, siz sharni qanday qilib ichkariga aylantirishni ko'rsatishingiz mumkin.

Odatiy ma'noda, bu, albatta, mumkin emas: sharni yirtib tashlash kerak edi. Ammo differentsial topologiyada - aqliy jihatdan, albatta - sirtni o'z-o'zidan sudrab borishga ruxsat beriladi - bu fandagi "o'yin qoidalari". Ammo keyin oddiy yechim darhol ko'zingizni tortadi.

Qarama-qarshi tomonlarni bir-biridan o'tguncha markazga qarab siqish kerak (I). Ichki, bo'yalgan sirt (II) ikki qarama-qarshi chetidan chiqadi. Keling, tashqi yuzaning (II) qolgan qismidan hosil bo'lgan halqa butunlay yo'qolguncha ichki yuzani "tortib olish" jarayonini davom ettiraylik. Afsuski, bu jarayonda halqa mahkamlanishi kerak bo'lgan qattiq pastadir (III) hosil qiladi. Natijada chandiq (IV) paydo bo'ladi va bu differensial topologlarni qoniqtirmaydi, chunki ular faqat burchaklari va burmalari bo'lmagan "silliq yuzalar" deb ataladi.

Shunday qilib, vazifa sharni ichkariga burishdir, shunda ringletdan xalos bo'lganda, sizda chandiq qolmaydi. Va bu erda sezgi yana muammoni hal qilib bo'lmasligini ko'rsatadi. Smeyl birinchi marta yechim borligini isbotlay olishini e'lon qilganida, hech kim unga ishonmadi. Ammo sezgi noto'g'ri edi: Smeyl isbotida bitta mantiqiy xato yo'q edi. Matematiklar nazariy jihatdan isbotni bosqichma-bosqich kuzatib borish va sharni ichkariga aylantiruvchi deformatsiyaning aniq tavsifini topish mumkinligiga ishonch hosil qilishdi. Ammo bu shunchalik qiyin ediki, umidsiz bo'lib tuyuldi. Smeyl kashfiyotidan keyin bir muncha vaqt o'tgach, sharni chandiqsiz ichkariga aylantirish printsipial jihatdan mumkinligi ma'lum edi, ammo buni qanday qilish haqida hech kim zarracha tasavvurga ega emas edi.

Ammo, oxir-oqibat, matematiklar bu vazifani engishdi. Qanday qilib - rasmlarga qarab tushunasiz. Ular qiziqarli.

Garchi Smeylning isboti faqat chizmalardan iborat bo'lmasa ham. Qizig'i shundaki, uning ishida ular umuman yo'q - uning mavhum tahliliy apparatida yashirin ravishda mavjud bo'lgan raqamlar juda murakkab. Eng ixtirochi rassom ularni tasvirlay olmagan bo'lardi - matematiklarning tasavvurlari hayratlanarli. Ammo, ehtimol, bundan ham hayratlanarlisi, ularning eng murakkab g'oyalarni chizmalarga murojaat qilmasdan bir-biriga etkazish qobiliyatidir. Sferaning burilish tarixi buning yorqin dalilidir. U fransuz topologi Rene Tomas tufayli keng jamoatchilikka ma'lum bo'ldi, u u haqida hamkasbi Bernard Morindan va u o'z navbatida ushbu "teskari" ixtirochi amerikalik Arnold Shapirodan bilib oldi. Bernard Morinning ko'r ekanligini hisobga olsak, bu ayniqsa qiziq.

Ushbu rasmlar differensial topologiya talablarini buzmasdan qanday qilib sharni ichkariga aylantirish mumkinligini ko'rsatadi. Birinchidan, kulrang sharning (A) qarama-qarshi tomonlarini bir-biridan surish orqali birlashtirishingiz kerak. Keyin bo'yalgan sirt har ikki tomonda paydo bo'ladi (B). Keyin ikkita "oyoq" (O) ustidagi egarga o'xshash sirtni olish uchun bo'yalgan qismlardan birini (C) cho'zing. Bu ikki oyoq soat miliga teskari buralib, E yuzasi olinadi.Bu yana (P) lentalar yordamida "bo'limda" ko'rsatiladi, ular "chandiqli shar"da bo'lgani kabi o'n xildagi kesmalarni tasvirlaydi. darajalari.

Bundan tashqari, har bir bosqichda olingan sirtlarni tasvirlashning ma'nosi yo'q - ular juda murakkab. Ammo, agar xohlasangiz, barcha 10 darajadagi lentalarni ko'rib chiqishingiz va chizishni aqliy ravishda tugatishingiz mumkin. Shunga qaramay, biz bitta bosqichni (H2) ko'rsatishga qaror qildik - natijada qanday raqamlar paydo bo'lishini tasavvur qilishingiz mumkin. G sirti P sirtining egarning 90 ° ga siqilishi va aylantirilishidan keyin paydo bo'ladi.

Yana bir necha qadam. Ya'ni: I va J bosqichlari orasida bir xil shakldagi ikkita oyoq bir-biridan o'tadi. J qadamdagi har bir lenta shaklidagi sirt qismi bir-biriga qaragan ikkita kulrang tomonga ega. J va K bosqichlari orasida ichki qatlam kengayadi, tashqi esa qisqaradi; sirt K olinadi - aynan J bilan bir xil, faqat ranglar teskari.

Keyin barcha qadamlar teskari tartibda ketadi. I, H, C, va hokazo rasmlarni ko'rib, ular haqida tasavvurga ega bo'lishingiz mumkin. Faqat har bir rasmdagi lentalarning ranglarini almashtirishingiz kerak. Ushbu ikkinchi qator rasmlarning oxirini taqdim etamiz. L yuzasi F yuzasiga, L2 dan E ga va boshqalarga mos keladi.

Rangli shar (sirt P) kulrang sharga (A sirt) mos keladi. Shunday qilib, deformatsiya tugadi va chandiq yo'q. Bu hiylaning imkoniyatini birinchi bo'lib S. Smale isbotlagan. Va deformatsiyaning barcha ketma-ket bosqichlari A. Shapiro tomonidan ixtiro qilingan ...

P.S. Britaniyalik olimlar yana nima haqida gapirishadi: sferani tashqariga aylantirish mexanizmi ba'zan, aytaylik, qandaydir iqtidorli dasturchi tomonidan yaratilgan PDF dasturidan ko'ra falsafiyroq emas.