정도 n의 루트: 기본 정의. 루트 n: 기본 정의 작업 순서에 대한 참고 사항

첫 장.

일항 대수식의 제곱으로 올립니다.

152. 학위 결정.두 개의 동일한 숫자의 곱을 기억하십시오. 아아 숫자의 두 번째 거듭제곱(또는 제곱)이라고 합니다. ㅏ , 세 개의 동일한 숫자의 곱 아 숫자의 세 번째 거듭제곱(또는 세제곱)이라고 합니다. ㅏ ; 일반 작업 N 같은 숫자 아 아 ~라고 불리는 N -번째 정도의 수 ㅏ . 주어진 숫자의 거듭제곱을 구하는 동작을 거듭제곱(두 번째, 세 번째 등)이라고 합니다. 반복되는 인수를 차수의 밑이라고 하고 동일한 인수의 수를 지수라고 합니다.

학위는 다음과 같이 약어로 표시됩니다. 2시 3시 4 ... 등.

우리는 먼저 지수화의 가장 간단한 경우에 대해 이야기할 것입니다. 정사각형으로 상승; 그런 다음 다른 등급으로의 승영을 고려할 것입니다.

153. 사각형으로 올릴 때 기호의 규칙.상대 수의 곱셈 규칙에서 다음을 따릅니다.

(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;

(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9

(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2

(-a) 2 =(-a) (-a) = +a 2

따라서 상대수의 제곱은 양수입니다.

154. 제품의 제곱, 정도 및 분수로 올립니다.

ㅏ)예를 들어 여러 요소의 곱을 제곱해야 합니다. 복근 . 이것은 필요하다는 것을 의미합니다 복근 곱하다 복근 . 그러나 제품을 곱하려면 복근 , 피승수에 다음을 곱할 수 있습니다. ㅏ , 결과에 곱하기 비 그리고 곱할 수 있는 것은 와 함께 .

(abc) 2 = (abc) (abc) = (abc) abc = abcabc

(표현의 의미를 변경하지 않기 때문에 마지막 괄호를 생략했습니다). 이제 곱셈의 연관 속성(섹션 1 § 34, b)을 사용하여 다음과 같이 요소를 그룹화합니다.

(aa) (bb) (ss),

a 2 b 2 c 2 로 축약할 수 있습니다.

수단, 제품을 제곱하려면 각 요소를 개별적으로 제곱할 수 있습니다.
(말을 짧게 하기 위해 이 규칙은 다음 규칙과 같이 완전히 표현되지 않습니다. "그리고 얻은 결과를 곱하십시오."를 추가해야 합니다. 이것의 추가는 자명합니다 ..)

따라서:

(3/4xy) 2 = 9/16x2y 2 ; (-0.5mn) 2 = + 0.25m2n2; 등등.

비)예를 들어 어느 정도의 학위가 필요합니다. ㅏ 3 , 제곱합니다. 이것은 다음과 같이 할 수 있습니다:

(a 3) 2 \u003d a 3 a 3 \u003d a 3 + 3 \u003d a 6.

이와 같이: (x 4) 2 = x 4 x 4 = x 4+4 = x 8

수단, 지수를 제곱하려면 지수에 2를 곱하면 됩니다. .

따라서 이 두 가지 규칙을 적용하면 예를 들어 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

(-3 3/4a x 2y 3) 2 = (- 3 3/4) 2a 2(x 2) 2(y 3) 2 = 225/2a 2 x 4y 6

V)일부 분수를 제곱해야 한다고 가정합니다. ㅏ / 비 . 그런 다음 분수에 분수를 곱하는 규칙을 적용하면 다음을 얻습니다.

수단, 분수를 제곱하려면 분자와 분모를 별도로 제곱하면 됩니다.

예.

2장.

다항식을 제곱합니다.

155. 공식 유도.공식 사용(섹션 2 챕터 3 § 61):

(a + b) 2 = 2 + 2ab + b 2 ,

우리는 삼항식을 제곱할 수 있습니다 + b + c , 이항으로 간주 (a + b) + c :

(a + b + c) 2 = [(a + b) + c] 2 = (a + b) 2 + 2(a + b)c + c 2 = 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2

따라서 이항식을 더하면 a + b 세 번째 멤버 와 함께 상승 후 2개의 항이 제곱에 추가되었습니다. 1) 처음 두 항의 합을 세 번째 항으로 곱한 값과 2) 세 번째 항의 제곱입니다. 이제 삼항식에 적용해 봅시다. + b + c 네 번째 멤버 디 그리고 사각형을 올립니다 + b + c + 디 제곱, 합계 구하기 + b + c 한 회원을 위해.

(a + b + c + d) 2 = [(a + b + c) + d] 2 = (a + b + c) 2 + 2(a + b + c)d + d 2

대신 대체 (a + b + c) 2 위에서 얻은 표현을 찾습니다.

(a + b + c + d) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2 + 2(a + b + c)d + d 2

제곱의 승격 다항식에 새 항을 추가하면 1) 이전 항과 새 항의 합의 이중 곱과 2) 새 항의 제곱이 추가됩니다. 분명히, 이 두 항의 추가는 더 많은 항이 승격 다항식에 추가됨에 따라 계속될 것입니다. 수단:

다항식의 제곱은 첫 번째 항의 제곱에 첫 번째 항과 두 번째 항의 곱 두 배 더하기 두 번째 항의 제곱에 처음 두 항과 세 번째 항의 합 곱의 두 배를 더한 값입니다. 항, 더하기 세 번째 항의 제곱, 더하기 처음 세 항과 네 번째 항의 합계 곱의 두 배, 더하기 네 번째 항의 제곱 등 물론 다항식의 항은 음수일 수도 있습니다.

156. 표지판에 대한 참고 사항.더하기 기호가 있는 최종 결과는 첫 번째로 다항식의 모든 항의 제곱이고 두 번째로 동일한 부호를 가진 항을 곱하여 나온 두 배의 곱입니다.

예.

157. 정수의 약식 제곱. 다항식의 제곱 공식을 사용하면 일반적인 곱셈과는 다른 방식으로 임의의 정수를 제곱하는 것이 가능합니다. 예를 들어, 제곱이 필요하다고 가정합니다. 86 . 이 숫자를 숫자로 나누겠습니다.

86 \u003d 80 + 6 \u003d 12월 8일 + 6 단위.

이제 두 수의 합의 제곱 공식을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

(8 dec. + 6 단위) 2 \u003d (8 dec.) 2 + 2 (8 dec.) (6 단위) + (6 단위) 2 .

이 합계를 빠르게 계산하기 위해 십의 제곱이 수백이라는 점을 고려하십시오(그러나 수천이 있을 수 있음). 예를 들어 12월 8일. 제곱 형태 64백, 왜냐하면 80 2 = b400; 단위로 10의 곱은 10입니다(그러나 수백이 있을 수 있음). 12월 3일 5대 \u003d 12월 15일, 30 5 \u003d 150 이후; 그리고 단위의 제곱은 단위입니다(하지만 10이 있을 수 있습니다). 9대 제곱 = 81 단위. 따라서 다음과 같이 계산을 정리하는 것이 더 편리합니다.

즉, 첫 번째 숫자의 제곱(백)을 먼저 씁니다. 이 숫자 아래에 첫 번째 숫자의 두 번째 곱(10)을 쓰면서 이 제품의 마지막 숫자가 상위 숫자의 마지막 숫자 오른쪽에 있는 한 자리임을 관찰합니다. 또한 마지막 숫자로 다시 오른쪽으로 한 단계 뒤로 이동하여 두 번째 숫자의 제곱 (1)을 넣습니다. 쓰여진 모든 숫자를 하나의 합계에 더합니다. 물론 이 숫자를 적절한 수의 0으로 채울 수 있습니다. 즉, 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

그러나 이것은 우리가 서로의 숫자에 올바르게 서명하고 매번 (마지막 숫자로) 오른쪽으로 한 칸씩 후퇴하는 경우에는 쓸모가 없습니다.

여전히 제곱해야합니다 238 . 왜냐하면:

238 = 2백. + 12월 3일 + 8대, 저것

그러나 100의 제곱은 수만을 제공하고(예: 500 2 = 250,000이므로 500의 제곱은 25 수만입니다), 100을 곱하면 수천이 됩니다(예: 500 30 = 15,000).

예.

3장.

y = x 2 그리고 y=아 2 .

158. 함수 그래프 y = x 2 . 숫자가 어떻게 증가하는지 봅시다. 엑스 사각형 변경 엑스 2 (예: 사각형의 측면을 변경하면 영역이 변경되는 방식). 이렇게 하려면 먼저 함수의 다음 기능에 주의하십시오. y = x 2 .

ㅏ)모든 의미를 위해 엑스 함수는 항상 가능하며 항상 하나의 정의된 값만 수신합니다. 예를 들어, 언제 엑스 = - 10 기능은 (-10) 2 = 100 , 에
엑스 =1000 기능은 1000 2 =1 000 000 , 등등.

비)왜냐하면 (- 엑스 ) 2 = 엑스 2 , 그런 다음 두 값에 대해 엑스 , 부호 만 다르면 두 개의 동일한 양수 값을 얻습니다. ~에 ; 예를 들어, 언제 엑스 = - 2 그리고 에서 엑스 = + 2 의미 ~에 똑같을거야 4 . 음수 값 ~에결코 성공하지 못합니다.

V) x의 절대값이 무한히 증가하면 ~에 무한히 증가합니다. 그래서 만약에 엑스 무한히 증가하는 일련의 양수 값: 1, 2, 3, 4... 또는 일련의 무한히 감소하는 음수 값: -1, -2, -3, -4..., 그런 다음 ~에 무한히 증가하는 일련의 값을 얻습니다. 1, 4, 9, 16, 25 ... 이들은 다음과 같이 간단히 표현됩니다. 엑스 = + ∞ 그리고 에서 엑스 = - ∞ 기능 ~에 끝났어 + ∞ .

G) 엑스 ~에 . 따라서 값이 엑스 = 2 , 증가하자, 넣어, 0,1 (즉 대신 엑스 = 2 해 보자 엑스 = 2.1 ), 저것 ~에 대신에 2 2 = 4 동등해진다

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .

수단, ~에 증가할 것이다 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . 값이 같으면 엑스 증분을 더 작게 합시다. 0,01 , 그러면 y는

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .

따라서 y는 다음과 같이 증가합니다. 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 즉, 이전보다 덜 증가합니다. 일반적으로 우리가 증가시키는 작은 부분 엑스 , 작은 숫자가 증가합니다 ~에 . 따라서 상상해보자면 엑스 2보다 큰 모든 값을 통과하면서 지속적으로 증가합니다 (값 2에서 가정). ~에 또한 4보다 큰 모든 값을 통과하면서 지속적으로 증가합니다.

이러한 모든 속성을 알아차리면 함수 값 표를 만들 것입니다. y = x 2 , 예를 들면 다음과 같습니다.

이제 도면에서 이러한 값을 점으로 묘사하고 가로 좌표는 서면 값이 될 것입니다. 엑스 , 좌표는 해당 값입니다. ~에 (그림에서 길이 단위로 센티미터를 사용했습니다); 얻은 점은 곡선으로 윤곽이 그려집니다. 이 곡선을 포물선이라고 합니다.

몇 가지 속성을 고려해 봅시다.

ㅏ)포물선은 가로 좌표가 연속적으로 변경되므로 연속 곡선입니다. 엑스 (양의 방향과 음의 방향 모두에서) 지금 본 것처럼 세로 좌표도 계속해서 변경됩니다.

비)전체 곡선이 축의 같은 쪽에 있습니다. 엑스 -ov, 세로 좌표의 양수 값이있는쪽에 정확히 있습니다.

V)포물선은 축으로 세분화됩니다. ~에 -ov를 두 부분(가지)으로 나눕니다. 점 에 대한 이 가지들이 모이는 곳을 포물선의 정점이라고 합니다. 이 점은 포물선과 축에 공통되는 유일한 점입니다. 엑스 -ov; 이 시점에서 포물선은 축에 닿습니다. 엑스 -ov.

G)두 가지 모두 무한대입니다. 엑스 그리고 ~에 무한히 증가할 수 있습니다. 가지가 축에서 솟아오른다 엑스 -s 무기한 위로, 축에서 무기한으로 동시에 이동 와이 -오른쪽과 왼쪽.

이자형)중심선 와이 -ov는 포물선의 대칭축 역할을 하므로 이 축을 따라 그림을 구부려 그림의 왼쪽 절반이 오른쪽에 오도록 하면 두 분기가 결합되는 것을 볼 수 있습니다. 예를 들어, 가로 좌표가 -2이고 세로 좌표가 4인 점은 가로 좌표가 +2이고 동일한 세로 좌표가 4인 점과 일치합니다.

이자형)~에 엑스 = 0 좌표도 0입니다. 따라서 엑스 = 0 함수는 가능한 가장 작은 값을 가집니다. 곡선의 세로 좌표가 무한히 증가하기 때문에 함수는 가장 큰 값을 갖지 않습니다.

159. 형식의 함수 그래프y=아 2 . 먼저 가정 ㅏ 양수입니다. 예를 들어 다음 두 함수를 살펴보겠습니다.

1) y= 1 1 / 2 엑스 2 ; 2) y= 1 / 3 엑스 2

예를 들어 다음과 같이 이러한 기능의 값 표를 만들어 봅시다.

이 모든 값을 도면에 입력하고 곡선을 그립니다. 비교를 위해 동일한 그림(점선)에 함수의 다른 그래프를 배치했습니다.

3) y=엑스 2

그림에서 동일한 가로 좌표를 사용하여 첫 번째 곡선의 세로 좌표를 볼 수 있습니다. 1 1 / 2 , 배 이상, 두 번째 곡선의 세로 좌표 3 세 번째 곡선의 세로 좌표보다 작은 시간. 결과적으로 이러한 모든 곡선은 무한 연속 분기, 대칭축 등 일반적인 특성을 갖습니다. a > 1 곡선의 가지가 더 높아지고 ㅏ< 1 그들은 곡선보다 더 구부러져 있습니다 y=엑스 2 . 이러한 모든 곡선을 포물선이라고 합니다.

이제 계수가 ㅏ 음수가 됩니다. 예를 들어, y=- 1 / 3 엑스 2 . 이 함수와 이 함수를 비교하면 다음과 같습니다. 와이 = + 1 / 3 엑스 2 동일한 값에 대해 엑스 두 함수 모두 절대값은 같지만 부호는 반대입니다. 따라서 기능에 대한 도면에서 y=- 1 / 3 엑스 2 함수와 동일한 포물선을 얻습니다. y= 1 / 3 엑스 2 차축 아래에만 위치 엑스 -ov는 포물선과 대칭입니다. y= 1 / 3 엑스 2 . 이 경우 함수의 모든 값은 하나를 제외하고 0과 같습니다. x = 0 ; 이 마지막 값이 가장 큰 값입니다.

논평. 두 변수 사이의 관계가 ~에 그리고 엑스 평등으로 표현됩니다. y=아 2 , 어디 ㅏ 어떤 상수, 그러면 우리는 값이 ~에 값의 제곱에 비례 엑스 , 증가 또는 감소로 인해 엑스 2배, 3배 등 가치 ~에 4배, 9배, 16배 등으로 증가하거나 감소합니다. 예를 들어 원의 면적은 π R 2 , 어디 아르 자형는 원의 반지름이고 π 상수(약 3.14와 같음) 따라서 원의 면적은 반지름의 제곱에 비례한다고 말할 수 있습니다.

4장.

입방체 및 일항 대수 표현의 다른 거듭제곱에 대한 고양.

160. 어느 정도 올릴 때의 기호 규칙.상대 숫자에 대한 곱셈 규칙에서 다음을 따릅니다.

(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;

(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;

(-1) 5 = (-1) (-1) (-l) (-1) (-1) = -l;

(-1) 6 = (-1) (-1) (-l) (-1) (-1) (-1) = +l;등등.

수단, 짝수 지수로 음수를 거듭제곱하면 양수가 생성되고 홀수 지수로 거듭제곱하면 음수가 생성됩니다.

161. 제품, 정도 및 분수의 정도에 대한 상승.도와 분수의 곱을 어느 정도 올리면 제곱()으로 올릴 때와 동일하게 할 수 있습니다. 그래서:

(abc) 3 \u003d (abc) (abc) (abc) \u003d abc abc abc \u003d (aaa) (bbb) (cc) \u003d a 3 b 3 c 3;

5장.

기능의 그래픽 표현: y = x 3 및 y = 도끼 3 .

162. 함수 그래프 y = x 3 . 숭고한 숫자의 세제곱이 숫자를 올릴 때 어떻게 변하는지(예를 들어, 세제곱의 가장자리가 변할 때 세제곱의 부피가 어떻게 변하는지) 생각해 봅시다. 이를 위해 먼저 함수의 다음 기능을 나타냅니다. y = x 3 (함수의 속성을 연상시키는 y = × 2 , 앞에서 논의한 ):

ㅏ)모든 의미를 위해 엑스 기능 y = x 3 가능하며 단일 의미를 갖습니다. 따라서 (+ 5) 3 \u003d +125이고 숫자 + 5의 큐브는 다른 숫자와 같을 수 없습니다. 마찬가지로 (- 0.1) 3 = - 0.001이고 -0.1의 세제곱은 다른 숫자와 같을 수 없습니다.

비)두 가지 값으로 엑스 , 기호 만 다른 기능 x 3 기호에서만 서로 다른 값을받습니다. 그래서, ~에서 엑스 = 2 기능 x 3 동일하다 8, 그리고 에서 엑스 = - 2 그것은 같다 8 .

V) x가 증가함에 따라 함수 x 3 증가하고 보다 빠르게 엑스 , 그리고 심지어 더 빠른 × 2 ; 그래서

엑스 = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. x 3 의지 = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...

G)변수 번호의 아주 작은 증분 엑스 함수의 아주 작은 증분에 해당합니다. x 3 . 따라서 값이 엑스 = 2 분수로 증가 0,01 , 즉 대신 엑스 = 2 해 보자 엑스 = 2,01 , 다음 함수 ~에 ~하지 않을 것이다 2 3 (즉, 아니다 8 ), ㅏ 2,01 3 , 이는 8,120601 . 따라서 이 함수는 0,120601 . 값이 엑스 = 2 예를 들어, 0,001 , 저것 x 3 동등해진다 2,001 3 , 이는 8,012006001 , 따라서, ~에 만 증가합니다 0,012006001 . 따라서 우리는 변수 숫자의 증가가 엑스 점점 작아지면 증분 x 3 점점 줄어들 것입니다.

함수의 이 속성에 주목 y = x 3 그래프를 그려봅시다. 이를 위해 먼저 이 함수에 대한 값 테이블을 컴파일합니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

163. 함수 그래프 y \u003d 도끼 3 . 이 두 가지 기능을 살펴보겠습니다.

1) y= 1 / 2 x 3 ; 2) y = 2×3

이 기능을 더 간단한 기능과 비교하면 다음과 같습니다. y = x 3 , 우리는 동일한 값에 대해 엑스 첫 번째 함수는 두 배 작은 값을 받고 두 번째 함수는 두 배 큰 값을 받습니다. y \u003d 도끼 3 , 그렇지 않으면 이 세 가지 기능은 서로 유사합니다. 그들의 그래프는 동일한 그림에서 비교를 위해 표시됩니다. 이러한 곡선을 3차 포물선.

6장.

뿌리 추출의 기본 속성.

164. 작업.

ㅏ)밑변이 16cm이고 높이가 4cm인 직사각형의 면적과 면적이 같은 정사각형의 변을 찾으십시오.

원하는 사각형의 변을 문자로 표시 엑스 (cm), 우리는 다음 방정식을 얻습니다.

× 2 =16 4, 즉 × 2 = 64.

우리는 이런 식으로 엑스 두 번째로 제곱하면 64가되는 숫자가 있습니다. 이러한 숫자를 64의 두 번째 루트라고합니다. (+ 8) 2 \u003d 64 및 (-이기 때문에 + 8 또는 - 8과 같습니다. 8) 2 \u003d 64. 음수-8은 사각형의 측면을 일반 산술 숫자로 표현해야하기 때문에 우리 작업에 적합하지 않습니다.

비)무게가 1kg 375g(1375g)인 리드 조각은 입방체 모양입니다. 1 큐브로 알려진 경우 이 큐브의 가장자리는 얼마나 큽니까? cm 납의 무게는 11g입니까?

입방체의 가장자리 길이를 엑스 센티미터 그러면 그 부피는 x 3 입방체 cm이고 무게는 11입니다. x 3 G.

11x 3= 1375; x 3 = 1375: 11 = 125.

우리는 이런 식으로 엑스 3제곱하면 다음과 같은 숫자가 있습니다. 125 . 그런 번호라고 합니다 세 번째 루트 125 중 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125이므로 추측할 수 있듯이 5와 같습니다. 따라서 문제에서 언급된 큐브의 가장자리의 길이는 5cm입니다.

165. 뿌리의 정의.숫자의 두 번째 근(또는 제곱) ㅏ 제곱이 다음과 같은 숫자 ㅏ . 따라서 49의 제곱근은 7이고 7 2 \u003d 49 및 (- 7) 2 \u003d 49이므로 -7입니다. 숫자의 3도(입방) 근 ㅏ 입방체와 같은 숫자라고합니다. ㅏ . 따라서 -125의 세제곱근은 -5입니다. 왜냐하면 (-5) 3 =(-5)(-5)(-5)= -125이기 때문입니다.

일반적으로 루트 N중에서 4번째 ㅏ라는 번호를 불렀다 N-차도는 다음과 같습니다. ㅏ.

숫자 N , 뿌리가 어느 정도인지를 의미합니다. 루트 표시기.

근은 부호 √(근원의 부호, 즉 근의 부호)로 표시됩니다. 라틴어 어근루트를 의미합니다. 징후√ 15세기에 처음 소개되었습니다.. 수평선 아래에 근이 발견된 숫자(근수)를 쓰고 각의 구멍 위에 근 인덱스를 배치합니다. 그래서:

27의 세제곱근은 ..... 3 √27로 표시됩니다.

32의 네 번째 근은... 3 √32로 표시됩니다.

예를 들어 제곱근 지수를 전혀 쓰지 않는 것이 관례입니다.

2 √16 대신 √16이라고 씁니다.

루트를 찾는 작업을 루트 추출이라고 합니다. 이것은 어느 정도 들어올리기의 반대입니다. 왜냐하면 이 행동에 의해 어느 정도 들어올릴 때 주어지는 것, 즉 벽의 기초가 발견되고 어느 정도 들어올릴 때 주어지는 것, 즉 학위 자체. 따라서 우리는 항상 루트를 어느 정도 올려서 추출의 정확성을 확인할 수 있습니다. 예를 들어 확인하려면

평등: 3 √125 = 5, 5를 세제곱으로 올리는 것으로 충분합니다. 근호 125를 받았으므로 125의 세제곱근이 올바르게 추출되었다는 결론을 내립니다.

166. 산술 루트.근은 양수에서 추출되고 그 자체가 양수인 경우 산술이라고 합니다. 예를 들어 49의 산술 제곱근은 7이고 49의 제곱근이기도 한 숫자 7은 산술이라고 할 수 없습니다.

산술 루트의 다음 두 가지 속성을 나타냅니다.

a) 산술 √49를 구해야 합니다. 이러한 근은 7 2 \u003d 49이므로 7이 됩니다. 다른 양수를 찾을 수 있는지 자문해 봅시다. 엑스 , 이는 또한 √49가 됩니다. 그러한 숫자가 존재한다고 가정해 봅시다. 그러면 7보다 작거나 7보다 커야 합니다. 엑스 < 7, то тогда и × 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что 엑스 >7, 그러면 × 2 >49. 즉, 7보다 작거나 7보다 크지 않은 양수는 √49와 같을 수 없습니다. 따라서 주어진 숫자에서 주어진 정도의 산술근은 하나만 있을 수 있습니다.

어근의 긍정적인 의미가 아니라 무언가에 대해 이야기한다면 다른 결론에 도달하게 될 것입니다. 따라서 √49는 7 2 \u003d 49 및 (-7) 2 \u003d 49이므로 숫자 7과 숫자 -7 모두와 같습니다.

비)예를 들어 두 개의 다른 양수를 사용하십시오. 49와 56. 무엇으로부터 49< 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125

사실: 3 √64 = 4와 3 √125 = 5와 4< 5. Вообще 더 작은 양수는 더 작은 산술근에 해당합니다. (동일한 정도).

167. 대수근.양수에서 추출할 필요가 없고 그 자체가 양수일 필요가 없는 경우 근을 대수라고 합니다. 따라서 식 아래에 있는 경우 N √ㅏ 물론 대수적 루트 N th 학위, 이것은 숫자를 의미합니다 ㅏ 양수와 음수 모두 가능하며 루트 자체는 양수와 음수가 모두 될 수 있습니다.

대수근의 다음 4가지 속성을 나타냅니다.

ㅏ) 양수의 홀수 근은 양수입니다. .

그래서, 3 √8 지수가 홀수인 거듭제곱은 음수가 되기 때문에 음수는 양수(2와 같음)여야 합니다.

비) 음수의 홀수 근은 음수입니다.

그래서, 3 √-8 음수여야 합니다(-2와 같음). 양수를 임의로 거듭제곱하면 음수가 아니라 양수가 되기 때문입니다.

V) 양수의 짝수 근은 부호가 반대이고 절댓값이 같은 두 개의 값을 가집니다.

예, √ +4 = + 2 그리고 √ +4 = - 2 , 왜냐하면 (+ 2 ) 2 = + 4 그리고 (- 2 ) 2 = + 4 ; 비슷한 4 √+81 = + 3 그리고 4 √+81 = - 3 , 두 학위 모두 (+3) 4 그리고 (-3) 4 같은 숫자와 같습니다. 근의 이중 값은 일반적으로 근의 절대 값 앞에 두 개의 기호를 배치하여 표시됩니다. 그들은 다음과 같이 씁니다.

√4 = ± 2 ; √ㅏ 2 = ± ㅏ ;

G) 음수의 짝수 근은 양수 또는 음수와 같을 수 없습니다. , 둘 다 짝수 지수로 거듭제곱한 후 음수가 아닌 양수를 제공하기 때문입니다. 예를 들어, √ -9 +3, -3 또는 다른 숫자와 같지 않습니다.

음수의 짝수근을 허수라고 합니다. 상대수를 실수라고 부르거나 유효한, 숫자.

168. 제품, 정도 및 분수에서 뿌리를 추출합니다.

ㅏ)제품의 제곱근을 취합시다. 복근 . 제품을 제곱하려면 ()에서 본 것처럼 각 요소를 개별적으로 제곱할 수 있습니다. 근 추출은 거듭제곱의 역이므로 곱에서 근을 추출하려면 각 요인에서 개별적으로 추출할 수 있습니다. 즉,

√알파벳 = √ㅏ √비 √씨 .

이 평등의 정확성을 확인하기 위해 우리는 오른쪽을 정사각형으로 올립니다 (정리에 따르면 : 제품을 거듭제곱으로 올리려면 ...).

(√ㅏ √비 √씨 ) 2 = (√ㅏ ) 2 (√비 ) 2 (√씨 ) 2

그러나 루트의 정의에 따르면,

(√ㅏ ) 2 = ㅏ, (√비 ) 2 = 비, (√씨 ) 2 = 씨

따라서

(√ㅏ √비 √씨 ) 2 = 복근 .

제품의 제곱이면 √ ㅏ √비 √씨 같음 복근 , 그러면 이것은 제품이 의 제곱근과 같다는 것을 의미합니다. 알파벳 .

이와 같이:

3 √알파벳 = 3 √ㅏ 3 √비 3 √씨 ,

(3 √ㅏ 3 √비 3 √씨 ) 3 = (3 √ㅏ ) 3 (3 √비 ) 3 (3 √씨 ) 3 = 알파벳

수단, 제품에서 뿌리를 추출하려면 각 요소에서 개별적으로 추출하면 충분합니다.

비)다음 등식이 참인지 쉽게 확인할 수 있습니다.

√ㅏ 4 = ㅏ 2 , 왜냐하면 (a 2 ) 2 = ㅏ 4 ;

3 √엑스 12 = 엑스 4 , „ (엑스 4 ) 3 = 엑스 12 ; 등등.

수단, 지수가 근의 지수로 나누어지는 거듭제곱의 근을 취하려면 지수를 근의 지수로 나눌 수 있습니다.

V)다음 평등도 참입니다.

수단, 분수의 근을 추출하려면 분자와 분모를 별도로 사용할 수 있습니다.

이러한 진리에서 우리는 산술의 근에 대해 이야기하고 있다고 가정합니다.

예.

1) √9a 4 비 6 = √9 √ㅏ 4 √비 6 = 3ㅏ 2 비 3 ;

2) 3 √125a 6 엑스 9 = 3 √125 3 √ㅏ 6 3 √엑스 9 = 5ㅏ 2 엑스 3

비고 원하는 짝수 근이 대수적이라고 가정하면 찾은 결과 앞에 이중 부호가 있어야 합니다. ± 그래서,

√9배 4 = ± 3엑스 2 .

169. 라디칼의 가장 단순한 변환,

ㅏ) 근호의 부호를 제외합니다.근을 추출할 수 있을 정도로 급진적 표현을 인수로 분해하면 그러한 인수는 이들에서 근을 추출한 후 근호 앞에 쓸 수 있습니다(근호에서 빼도 됨).

1) √ㅏ 3 = √ㅏ 2 ㅏ = √ㅏ 2 √ㅏ = ㅏ √ㅏ .

2) √24a 4 엑스 3 = √4 6 4 엑스 2 엑스 = 2a 2x √6배

3) 3 √16배 4 = 3 √8 2배 3 엑스 = 2배 3 √2 엑스

비) 급진적 인 기호 아래 요인을 가져옵니다.때로는 반대로 근호의 부호 아래에 선행 인수를 빼는 것이 유용합니다. 이렇게 하려면 지수가 근호의 지수와 같은 거듭제곱으로 이러한 인수를 올리고 근호 기호 아래에 인수를 쓰는 것으로 충분합니다.

예.

1) ㅏ 2 √ㅏ = √(ㅏ 2 ) 2 ㅏ = √ㅏ 4 ㅏ = √ㅏ 5 .

2) 2배 3 √엑스 = 3 √(2배 ) 3 엑스 = 3 √8배 3 엑스 = 3 √8배 4 .

V) 분모에서 자유 라디칼 표현.다음 예를 통해 이를 보여드리겠습니다.

1) 분모에서 제곱근을 추출할 수 있도록 분수를 변환합니다. 이렇게 하려면 분수의 두 항에 5를 곱합니다.

2) 분수의 두 항에 다음을 곱합니다. 2 , 에 ㅏ 그리고 엑스 , 즉 2오 :

논평. 대수 합에서 근을 추출해야 하는 경우 각 항에서 별도로 추출하는 것은 실수입니다. 예√ 9 + 16 = √25 = 5 , 반면
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; 따라서 덧셈(및 뺄셈)과 관련하여 근을 추출하는 동작 분배 재산이 없습니다(또한 어느 정도 상승, 섹션 2 챕터 3 § 61, 비고).

축하합니다: 오늘 우리는 8학년의 가장 놀라운 주제 중 하나인 어근을 분석할 것입니다. :)

많은 사람들이 어근이 복잡하기 때문이 아니라(복잡함 - 몇 가지 정의와 몇 가지 속성이 더 있음), 대부분의 학교 교과서에서 어근은 교과서의 저자만 할 수 있는 야생을 통해 정의되기 때문에 어근에 대해 혼란스러워합니다. 이 낙서를 이해하십시오. 그런 다음에도 좋은 위스키 한 병만 있으면 됩니다. :)

따라서 이제 나는 가장 정확하고 가장 유능한 루트 정의를 제공 할 것입니다. 실제로 기억해야 할 유일한 것입니다. 그런 다음에야 설명하겠습니다. 이 모든 것이 필요한 이유와 실제로 적용하는 방법입니다.

그러나 먼저 많은 교과서 편집자가 어떤 이유로 "잊어 버린"중요한 점을 기억하십시오.

근은 짝수 차수(우리가 선호하는 $\sqrt(a)$, 모든 $\sqrt(a)$ 및 심지어 $\sqrt(a)$) 및 홀수 차수(모든 $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ 등). 그리고 홀수 차수의 근의 정의는 짝수 차수와 약간 다릅니다.

여기이 망할 "약간 다른"에는 뿌리와 관련된 모든 오류와 오해의 95 %가 숨겨져 있습니다. 따라서 용어를 한 번에 정리해 보겠습니다.

정의. 짝수 루트 N숫자 $a$에서 임의 음수가 아닌$((b)^(n))=a$가 되는 숫자 $b$. 그리고 같은 숫자 $a$에서 홀수 차수의 근은 일반적으로 $((b)^(n))=a$와 같은 등식이 성립하는 임의의 숫자 $b$입니다.

어쨌든 루트는 다음과 같이 표시됩니다.

\(ㅏ)\]

이러한 표기법에서 숫자 $n$을 루트 지수라고 하고 숫자 $a$를 근호식이라고 합니다. 특히, $n=2$에 대해 우리는 "좋아하는" 제곱근을 얻습니다(그런데 이것은 짝수 정도의 근입니다). $n=3$에 대해 우리는 세제곱근(홀수 정도)을 얻습니다. 이는 문제와 방정식에서도 종종 발견됩니다.

예. 제곱근의 전형적인 예:

\[\begin(정렬) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \종료(정렬)\]

그런데 $\sqrt(0)=0$이고 $\sqrt(1)=1$입니다. 이것은 $((0)^(2))=0$ 및 $((1)^(2))=1$이므로 상당히 논리적입니다.

입방근도 일반적입니다. 두려워하지 마십시오.

\[\begin(정렬) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \종료(정렬)\]

음, 몇 가지 "이국적인 예":

\[\begin(정렬) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \종료(정렬)\]

짝수와 홀수의 차이가 무엇인지 이해하지 못하면 정의를 다시 읽으십시오. 매우 중요합니다!

그동안 우리는 짝수 지수와 홀수 지수에 대한 별도의 정의를 도입해야 했기 때문에 근의 한 가지 불쾌한 특징을 고려할 것입니다.

왜 뿌리가 필요합니까?

정의를 읽은 후 많은 학생들이 "수학자들이 이것을 생각해냈을 때 무엇을 피웠습니까?"라고 물을 것입니다. 그리고 정말로: 왜 우리는 이 모든 뿌리가 필요한가요?

이 질문에 답하기 위해 잠시 초등학교로 돌아가 보자. 기억하세요: 나무가 더 푸르고 만두가 더 맛있던 먼 옛날에 우리의 주요 관심사는 숫자를 올바르게 곱하는 것이었습니다. 글쎄, "5 x 5 - 25"의 정신으로 된 것, 그게 다야. 그러나 결국 쌍이 아닌 숫자를 곱할 수 있지만 세 쌍, 네 쌍, 일반적으로 전체 세트로 곱할 수 있습니다.

\[\시작(정렬) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \끝(정렬)\]

그러나 이것은 요점이 아닙니다. 트릭은 다릅니다. 수학자들은 게으른 사람들이므로 다음과 같이 10 5의 곱셈을 적어야 했습니다.

그래서 그들은 학위를 내놓았습니다. 요인의 수를 긴 문자열 대신 위첨자로 쓰지 않는 이유는 무엇입니까? 이 같은:

매우 편리합니다! 모든 계산은 여러 번 줄어들고 일부를 기록하기 위해 많은 양피지 시트를 사용할 수 없습니다. 5 183 . 그러한 항목을 숫자의 정도라고 불렀고 많은 속성이 발견되었지만 행복은 수명이 짧은 것으로 판명되었습니다.

학위의 "발견"에 대해 조직 된 장대 한 술 후에 특히 술에 취한 일부 수학자가 갑자기 "숫자의 정도는 알지만 숫자 자체는 모른다면 어떨까요? "라고 물었습니다. 실제로, 예를 들어 특정 숫자 $b$가 243의 5제곱을 제공한다는 것을 알고 있다면 숫자 $b$ 자체가 무엇인지 어떻게 추측할 수 있습니까?

이 문제는 언뜻보기보다 훨씬 더 세계적인 것으로 판명되었습니다. 대부분의 "기성품" 학위에는 그러한 "초기" 숫자가 없다는 것이 밝혀졌기 때문입니다. 스스로 판단하십시오.

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\오른쪽 화살표 b=3\cdot 3\cdot 3\오른쪽 화살표 b=3; \\ & ((b)^(3))=64\오른쪽 화살표 b=4\cdot 4\cdot 4\오른쪽 화살표 b=4. \\ \종료(정렬)\]

$((b)^(3))=50$이면 어떻게 되나요? 세 번 곱하면 50이되는 특정 숫자를 찾아야한다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나이 숫자는 무엇입니까? 3 3 = 27이므로 분명히 3보다 큽니다.< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. 즉 이 숫자는 3에서 4 사이의 어딘가에 있지만 그것이 무엇인지는 이해할 것입니다.

이것이 바로 수학자들이 $n$번째 근을 생각해 낸 이유입니다. 이것이 급진적 아이콘 $\sqrt(*)$가 도입된 이유입니다. 동일한 숫자 $b$를 나타내기 위해 지정된 거듭제곱으로 이전에 알려진 값을 제공합니다.

\[\sqrt[n](a)=b\오른쪽 화살표 ((b)^(n))=a\]

나는 논쟁하지 않습니다 : 종종 이러한 뿌리는 쉽게 고려됩니다-우리는 위에서 몇 가지 그러한 예를 보았습니다. 그러나 여전히 대부분의 경우 임의의 숫자를 생각한 다음 그 숫자에서 임의의 차수의 근을 추출하려고 하면 잔인한 문제에 직면하게 됩니다.

어떤이! 가장 단순하고 친숙한 $\sqrt(2)$조차도 일반적인 형식인 정수나 분수로 표현할 수 없습니다. 이 숫자를 계산기에 입력하면 다음과 같이 표시됩니다.

\[\sqrt(2)=1.414213562...\]

보시다시피 소수점 뒤에는 논리를 따르지 않는 끝없는 숫자 시퀀스가 ​​있습니다. 물론 이 숫자를 반올림하여 다른 숫자와 빠르게 비교할 수 있습니다. 예를 들어:

\[\sqrt(2)=1.4142...\약 1.4 \lt 1.5\]

또는 여기 또 다른 예가 있습니다.

\[\sqrt(3)=1.73205...\약 1.7 \gt 1.5\]

그러나 이러한 모든 반올림은 첫째로 다소 거칠다. 둘째, 대략적인 값으로 작업할 수 있어야 합니다. 그렇지 않으면 명백하지 않은 오류를 많이 잡을 수 있습니다(그런데 비교 및 ​​반올림 기술은 반드시 프로필 시험에서 확인해야 합니다).

따라서 진지한 수학에서는 뿌리 없이는 할 수 없습니다. 그들은 우리가 오랫동안 알고 있던 분수 및 정수와 같은 모든 실수 $\mathbb(R)$ 집합의 동일한 대표자입니다.

근을 $\frac(p)(q)$ 형식의 분수로 나타낼 수 없다는 것은 이 근이 유리수가 아님을 의미합니다. 이러한 숫자를 무리수라고 하며 근호 또는 이를 위해 특별히 설계된 다른 구성(로그, 각도, 극한 등)을 사용하지 않고는 정확하게 표현할 수 없습니다. 그러나 그것에 대해서는 다른 시간에 더 자세히 설명합니다.

모든 계산 후에도 비합리적인 숫자가 여전히 답에 남아 있는 몇 가지 예를 고려하십시오.

\[\begin(정렬) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\approx 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32 ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

당연히 근의 모양으로 소수점 뒤에 어떤 숫자가 올지 추측하는 것은 거의 불가능합니다. 그러나 계산기로 계산하는 것은 가능하지만 가장 진보된 날짜 계산기라도 무리수의 처음 몇 자릿수만 제공합니다. 따라서 답을 $\sqrt(5)$ 및 $\sqrt(-2)$로 쓰는 것이 훨씬 더 정확합니다.

그것이 그들이 발명 한 것입니다. 답변을 쉽게 작성할 수 있도록 합니다.

두 가지 정의가 필요한 이유는 무엇입니까?

주의 깊은 독자는 아마도 예제에 제공된 모든 제곱근이 양수에서 가져온 것임을 이미 알아차렸을 것입니다. 글쎄, 적어도 0부터. 그러나 세제곱근은 양수, 음수 등 절대적으로 모든 수에서 침착하게 추출됩니다.

왜 이런 일이 발생합니까? 함수 $y=((x)^(2))$의 그래프를 살펴보십시오.

이차 함수의 그래프는 양수와 음수의 두 근을 제공합니다.

이 그래프를 사용하여 $\sqrt(4)$를 계산해 봅시다. 이를 위해 수평선 $y=4$(빨간색으로 표시)가 그래프에 그려지고 두 지점에서 포물선과 교차합니다. $((x)_(1))=2$ 및 $((x) _(2)) =-2$. 이것은 매우 논리적입니다.

첫 번째 숫자로 모든 것이 명확합니다. 양수이므로 루트입니다.

그러나 두 번째 요점은 무엇입니까? 4는 한 번에 두 개의 근을 가집니까? 결국, 숫자 -2를 제곱하면 4도 얻게 됩니다. 그렇다면 $\sqrt(4)=-2$라고 쓰지 않겠습니까? 그리고 선생님들은 왜 그런 기록들을 보고 먹고 싶은 듯이 보시나요? :)

문제는 추가 조건이 부과되지 않으면 4는 양수와 음수라는 두 개의 제곱근을 갖게된다는 것입니다. 그리고 모든 양수에는 두 개가 있습니다. 그러나 음수에는 근이 전혀 없습니다. 포물선이 절대 축 아래로 떨어지지 않기 때문에 동일한 그래프에서 볼 수 있습니다. 와이, 즉. 음수 값을 취하지 않습니다.

지수가 짝수인 모든 근에 대해 유사한 문제가 발생합니다.

1. 엄밀히 말하면, 각각의 양수는 지수 $n$이 짝수인 두 근을 갖습니다.
2. 음수에서 $n$까지 있는 루트는 전혀 추출되지 않습니다.

그렇기 때문에 짝수 루트 $n$의 정의에서 답이 음수가 아닌 숫자여야 한다고 구체적으로 규정하는 이유입니다. 이것이 우리가 모호성을 제거하는 방법입니다.

그러나 홀수 $n$에는 그런 문제가 없습니다. 이를 확인하기 위해 함수 $y=((x)^(3))$의 그래프를 살펴보겠습니다.

3차 포물선은 모든 값을 가지므로 세제곱근은 모든 숫자에서 가져올 수 있습니다.

이 그래프에서 두 가지 결론을 도출할 수 있습니다.

1. 입방체 포물선의 가지는 일반적인 포물선과 달리 위아래로 양방향으로 무한대로 이동합니다. 따라서 수평선을 그리는 높이에 관계없이 이 선은 확실히 그래프와 교차합니다. 따라서 세제곱근은 절대적으로 모든 숫자에서 항상 취할 수 있습니다.
2. 또한 이러한 교차점은 항상 고유하므로 어떤 숫자를 "올바른" 루트로 간주할지, 어떤 숫자를 득점할지 생각할 필요가 없습니다. 이것이 바로 홀수 차수에 대한 근의 정의가 짝수 차수보다 더 간단한 이유입니다(음수가 아닌 요건이 없습니다).

이런 간단한 것들이 대부분의 교과서에 설명되어 있지 않은 것이 안타깝습니다. 대신, 우리의 두뇌는 모든 종류의 산술적 뿌리와 그 속성으로 치솟기 시작합니다.

예, 저는 논쟁하지 않습니다. 산술 루트 란 무엇입니까? 또한 알아야합니다. 이에 대해서는 별도의 강의에서 자세히 설명하겠습니다. 오늘 우리는 그것에 대해서도 이야기할 것입니다. 왜냐하면 그것 없이는 $n$번째 다중성의 근에 대한 모든 성찰이 불완전할 것이기 때문입니다.

그러나 먼저 위에서 설명한 정의를 명확하게 이해해야 합니다. 그렇지 않으면 풍부한 용어로 인해 머리에서 그러한 혼란이 시작되어 결국 아무것도 이해하지 못할 것입니다.

그리고 당신이 이해해야 할 것은 짝수와 홀수의 차이입니다. 따라서 다시 한 번 뿌리에 대해 알아야 할 모든 것을 수집합니다.

1. 짝수 근은 음이 아닌 숫자에서만 존재하며 그 자체는 항상 음이 아닌 숫자입니다. 음수의 경우 이러한 근은 정의되지 않습니다.
2. 그러나 홀수 차수의 근은 임의의 숫자에서 존재하며 그 자체로 임의의 숫자가 될 수 있습니다. 양수의 경우 양수이고 음수의 경우 캡 힌트에서 알 수 있듯이 음수입니다.

그거 어렵 니? 아니요, 어렵지 않습니다. 알았습니다? 예, 분명합니다! 따라서 이제 계산을 조금 연습하겠습니다.

기본 속성 및 제한 사항

뿌리에는 많은 이상한 속성과 제한이 있습니다. 이것은 별도의 수업이 될 것입니다. 따라서 이제 지수가 짝수인 근에만 적용되는 가장 중요한 "칩"만 고려할 것입니다. 이 속성을 수식 형식으로 작성합니다.

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\오른쪽|\]

즉, 숫자를 짝수승으로 올린 다음 여기서 같은 정도의 근을 추출하면 원래 숫자가 아니라 모듈러스를 얻게 됩니다. 이것은 증명하기 쉬운 간단한 정리입니다(음이 아닌 $x$를 별도로 고려한 다음 음수를 별도로 고려하면 충분합니다). 교사는 그것에 대해 끊임없이 이야기하며 모든 학교 교과서에 나와 있습니다. 그러나 비합리 방정식(즉, 근호의 부호를 포함하는 방정식)을 푸는 순간 학생들은 이 공식을 함께 잊어버립니다.

문제를 자세히 이해하기 위해 잠시 동안 모든 공식을 잊고 두 개의 숫자를 세어 봅시다.

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\쿼드 \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

이것은 매우 간단한 예입니다. 첫 번째 예는 대부분의 사람들이 해결하지만 두 번째 예에서는 많은 사람들이 고수합니다. 이러한 문제를 문제 없이 해결하려면 항상 다음 절차를 고려하십시오.

1. 먼저 숫자를 4제곱으로 올립니다. 음, 좀 쉽습니다. 구구단에서도 찾을 수 있는 새 숫자를 얻을 수 있습니다.
2. 이제 이 새 숫자에서 4도 근을 추출해야 합니다. 저것들. 근과 정도의 "축소"는 없습니다. 이는 순차적 작업입니다.

첫 번째 표현식 $\sqrt(((3)^(4)))$를 다루겠습니다. 분명히 먼저 루트 아래에서 식을 계산해야 합니다.

\[((3)^(4))=3\c도트 3\c도트 3\c도트 3=81\]

그런 다음 숫자 81의 네 번째 근을 추출합니다.

이제 두 번째 표현식에 대해 동일한 작업을 수행해 보겠습니다. 먼저 숫자 -3을 4제곱으로 올립니다. 이를 위해 자체적으로 4번 곱해야 합니다.

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ 왼쪽(-3 \오른쪽)=81\]

제품의 총 마이너스 수는 4 개이고 모두 서로 상쇄되기 때문에 양수를 얻었습니다 (결국 마이너스에 마이너스가 플러스를줍니다). 그런 다음 루트를 다시 추출하십시오.

원칙적으로 답이 같을 것이라는 것은 생각할 필요가 없기 때문에 이 줄은 쓸 수 없습니다. 저것들. 동일한 짝수의 짝수 근은 마이너스를 "태우고"이 의미에서 결과는 일반적인 모듈과 구별 할 수 없습니다.

\[\begin(정렬) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\right|=3; \\ & \sqrt(((\왼쪽(-3 \오른쪽))^(4)))=\왼쪽| -3 \right|=3. \\ \종료(정렬)\]

이러한 계산은 짝수 근의 정의와 잘 일치합니다. 결과는 항상 음수가 아니며 근호도 항상 음수가 아닌 숫자입니다. 그렇지 않으면 루트가 정의되지 않습니다.

작업 순서에 대한 참고 사항

1. $\sqrt(((a)^(2)))$ 표기법은 먼저 숫자 $a$를 제곱한 다음 결과 값의 제곱근을 취함을 의미합니다. 따라서 $((a)^(2))\ge 0$이기 때문에 음수가 아닌 숫자는 항상 루트 기호 아래에 있음을 확신할 수 있습니다.
2. 그러나 $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ 표기법은 반대로 특정 숫자 $a$에서 근을 추출한 다음 결과를 제곱한다는 것을 의미합니다. 따라서 숫자 $a$는 어떤 경우에도 음수가 될 수 없습니다. 이는 정의에 포함된 필수 요구 사항입니다.

따라서 어떤 경우에도 무심코 뿌리와 정도를 줄여 원래 표현을 "단순화"해서는 안됩니다. 루트 아래에 음수가 있고 지수가 짝수이면 많은 문제가 발생하기 때문입니다.

그러나 이러한 모든 문제는 짝수 지표에만 관련됩니다.

루트 기호 아래에서 빼기 기호 제거

당연히 지수가 홀수인 근도 고유한 특징을 가지고 있으며 원칙적으로 짝수인 경우에는 존재하지 않습니다. 즉:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

요컨대 홀수 근의 부호 아래에서 마이너스를 빼낼 수 있습니다. 이것은 모든 마이너스를 "버릴" 수 있는 매우 유용한 속성입니다.

\[\begin(정렬) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \끝(정렬)\]

이 간단한 속성은 많은 계산을 크게 단순화합니다. 이제 걱정할 필요가 없습니다. 부정적인 표현이 루트 아래에 있고 루트의 정도가 짝수로 판명되면 어떻게 될까요? 뿌리 외부의 모든 마이너스를 "버리는"것으로 충분합니다. 그 후에 그들은 서로 곱하고 나눌 수 있으며 일반적으로 "고전적인"뿌리의 경우 우리를 오류로 이끄는 의심스러운 많은 일을 할 수 있습니다 .

그리고 여기에 또 다른 정의가 등장합니다. 대부분의 학교에서 비합리적인 표현에 대한 연구를 시작하는 바로 그 정의입니다. 그리고 그것 없이는 우리의 추론이 불완전할 것입니다. 만나다!

산술 루트

양수 또는 극단적인 경우 0만 루트 기호 아래에 있을 수 있다고 잠시 가정해 보겠습니다. 짝수 / 홀수 지표에 대해 점수를 매기고 위에 제공된 모든 정의에 대해 점수를 매기십시오. 음수가 아닌 숫자로만 작업합니다. 그럼?

그런 다음 산술 루트를 얻습니다. "표준"정의와 부분적으로 교차하지만 여전히 다릅니다.

정의. 음이 아닌 수 $a$의 $n$차 근은 $((b)^(n))=a$가 되는 음이 아닌 수 $b$이다.

보시다시피, 우리는 더 이상 패리티에 관심이 없습니다. 대신에 새로운 제한이 나타났습니다. 급진적 표현은 이제 항상 음수가 아니며 어근 자체도 음수가 아닙니다.

산술 근이 일반적인 근과 어떻게 다른지 더 잘 이해하려면 이미 우리에게 친숙한 정사각형 및 입방체 포물선의 그래프를 살펴보십시오.

루트 검색 영역 - 음수가 아닌 숫자

보시다시피 지금부터는 좌표 $x$ 및 $y$가 양수(또는 적어도 0)인 첫 번째 좌표 분기에 있는 그래프 조각에만 관심이 있습니다. 음수를 루팅할 권리가 있는지 여부를 이해하기 위해 더 이상 지표를 볼 필요가 없습니다. 음수는 더 이상 원칙적으로 고려되지 않기 때문입니다.

"음, 왜 그런 거세 정의가 필요한가요?" 또는: "왜 우리는 위에 주어진 표준 정의로는 만족할 수 없습니까?"

글쎄, 나는 새로운 정의가 적절하게 되기 때문에 하나의 속성만 제공할 것입니다. 예를 들어 지수화 규칙은 다음과 같습니다.

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

참고: 급진적 표현을 임의의 거듭제곱으로 올릴 수 있고 동시에 루트 지수에 동일한 거듭제곱을 곱할 수 있습니다. 그러면 결과는 같은 숫자가 됩니다! 여기 몇 가지 예가 있어요.

\[\begin(정렬) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \끝(정렬)\]

글쎄, 그게 뭐가 잘못된거야? 왜 전에는 할 수 없었습니까? 이유는 다음과 같습니다. 간단한 표현을 생각해 보십시오. $\sqrt(-2)$는 우리의 고전적인 의미에서 매우 정상적인 숫자이지만 산술 근의 관점에서는 절대적으로 허용되지 않습니다. 변환해 봅시다:

$\begin(정렬) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(정렬)$

보시다시피, 첫 번째 경우에는 급진적 아래에서 빼기(지표가 홀수이기 때문에 모든 권한이 있습니다)에서 빼내고 두 번째 경우에는 위의 공식을 사용했습니다. 저것들. 수학의 관점에서 모든 것은 규칙에 따라 이루어집니다.

뭐야?! 어떻게 같은 숫자가 양수와 음수가 될 수 있습니까? 안 돼요. 양수와 0에 잘 작동하는 지수 공식이 음수의 경우 완전한 이단을 제공하기 시작한다는 것입니다.

여기에서 이러한 모호함을 없애기 위해 산술근을 생각해 냈습니다. 그들에 대한 별도의 큰 수업이 제공되며 여기서 모든 속성을 자세히 고려합니다. 이제 우리는 그들에 대해 생각하지 않을 것입니다. 어쨌든 수업이 너무 긴 것으로 판명되었습니다.

대수적 루트: 더 알고 싶은 사람들을 위해

나는 오랫동안 생각했습니다. 이 주제를 별도의 단락으로 만들지 말지. 결국 나는 이곳을 떠나기로 결정했다. 이 자료는 더 이상 평균적인 "학교" 수준이 아니라 올림피아드에 가까운 수준에서 뿌리를 더 잘 이해하려는 사람들을 위한 것입니다.

따라서: 숫자에서 $n$ 번째 도의 루트에 대한 "고전적인" 정의와 짝수 및 홀수 지표로의 관련 분할 외에도 패리티 및 홀수 지표에 의존하지 않는 보다 "성인" 정의가 있습니다. 전혀 다른 미묘함. 이를 대수근이라고 합니다.

정의. 모든 $a$의 대수적 $n$번째 근은 $((b)^(n))=a$가 되는 모든 숫자 $b$의 집합입니다. 그러한 뿌리에 대해 잘 정립된 명칭이 없으므로 위에 대시를 붙입니다.

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \right. \right\) \]

수업 초반에 주어진 표준 정의와의 근본적인 차이점은 대수근이 특정 숫자가 아니라 집합이라는 것입니다. 그리고 우리는 실수로 작업하고 있기 때문에 이 집합에는 세 가지 유형만 있습니다.

1. 빈 세트. 음수에서 짝수 차수의 대수근을 찾아야 할 때 발생합니다.
2. 단일 요소로 구성된 집합입니다. 홀수 거듭제곱의 모든 근과 0에서 짝수 거듭제곱의 근이 이 범주에 속합니다.
3. 마지막으로 세트에는 두 개의 숫자가 포함될 수 있습니다. $((x)_(1))$ 및 $((x)_(2))=-((x)_(1))$ 차트 이차 함수. 따라서 이러한 정렬은 양수에서 짝수근을 추출해야만 가능하다.

마지막 사례는 더 자세히 고려할 가치가 있습니다. 차이점을 이해하기 위해 몇 가지 예를 들어 봅시다.

예. 표현식 계산:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

해결책. 첫 번째 표현은 간단합니다.

\[\overline(\sqrt(4))=\왼쪽\( 2;-2 \오른쪽\)\]

세트의 일부인 두 개의 숫자입니다. 각각의 제곱은 4를 제공하기 때문입니다.

\[\overline(\sqrt(-27))=\왼쪽\( -3 \오른쪽\)\]

여기서 우리는 하나의 숫자로만 구성된 집합을 봅니다. 근의 지수가 홀수이기 때문에 이것은 매우 논리적입니다.

마지막으로 마지막 표현:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

빈 세트가 있습니다. 네 번째(즉, 짝수!) 거듭제곱으로 올릴 때 음수 -16이 되는 실수는 하나도 없기 때문입니다.

최종 메모. 참고: 우리가 실수로 작업하고 있다는 사실을 모든 곳에서 언급한 것은 우연이 아닙니다. 복소수도 있기 때문에 $\sqrt(-16)$ 및 기타 많은 이상한 것들을 계산하는 것이 가능합니다.

그러나 현대 학교 수학 커리큘럼에서 복소수는 거의 발견되지 않습니다. 우리 관리들이 주제를 "이해하기 너무 어렵다"고 생각하기 때문에 대부분의 교과서에서 생략되었습니다.

그게 다야. 다음 강의에서는 근의 모든 주요 속성을 살펴보고 마지막으로 무리수 표현을 단순화하는 방법을 배웁니다. :)

예:

\(\sqrt(16)=2\) 왜냐하면 \(2^4=16\)이기 때문입니다.
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) 이므로 \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

n도의 근을 계산하는 방법은 무엇입니까?

\(n\)번째 루트를 계산하려면 다음과 같은 질문을 스스로에게 해야 합니다.

예를 들어. \(n\)번째 루트를 계산합니다: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0.00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

a) \(4\)승에 \(16\)이 되는 수는? 분명히 \(2\)입니다. 그 이유는 다음과 같습니다.

b) \(3\)승에 \(-64\)가 되는 수는?

\(\sqrt(-64)=-4\)

c) \(0.00001\)이 되는 수의 \(5\)승은 무엇입니까?

\(\sqrt(0.00001)=0.1\)

d) \(3\)번째 차수가 \(8000\)이 되는 수는?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) \(\frac(1)(81)\)은 \(4\)승으로 얼마입니까?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

우리는 \(n\)번째 근을 가진 가장 간단한 예를 고려했습니다. \(n\)차 근을 사용하여 더 복잡한 문제를 해결하려면 근을 아는 것이 중요합니다.

예. 계산하다:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\)		현재로서는 근을 계산할 수 없습니다. 따라서 루트 \(n\)차의 속성을 적용하고 식을 변환합니다. \(\frac(\sqrt(-64))(\sqrt(2))\)\(=\)\(\sqrt(\frac(-64)(2))\) \(=\)\(\sqrt(-32)\) 왜냐하면 \(\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))\)\(=\)\(\sqrt[n](\frac(a)(b))\)
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\)		제곱근과 \(n\)차 근이 나란히 있도록 첫 번째 항의 인수를 재정렬해 봅시다. 이렇게 하면 속성을 더 쉽게 적용할 수 있습니다. \(n\)번째 근의 대부분의 속성은 같은 차수의 근에서만 작동합니다. 그리고 우리는 5도의 근을 계산합니다.
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\)		\(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) 속성을 적용하고 대괄호를 확장합니다.
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\)		\(\sqrt(81)\) 및 \(\sqrt(-27)\) 계산
\(=9\cdot(-3)+5=-27+5=-22\)

n제곱근과 제곱근은 관련이 있습니까?

어쨌든 어떤 정도의 근은 당신에게 특이한 형식으로 작성되었지만 숫자에 불과합니다.

n번째 근의 특이점

홀수 \(n\)을 갖는 \(n\)번째 근은 어떤 숫자에서도 취할 수 있습니다. 그러나 \(n\)이 짝수(\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…)인 경우 이러한 근은 다음과 같은 경우에만 추출됩니다. \( a ≥ 0\) (단, 제곱근은 같습니다). 이는 근 추출이 지수화의 반대이기 때문입니다.

짝수의 거듭제곱으로 올리면 음수도 양수가 됩니다. 실제로 \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\)입니다. 따라서 짝수 근 아래에서 음수를 얻을 수 없습니다. 이는 음수에서 그러한 근을 추출할 수 없음을 의미합니다.

홀수의 거듭제곱에는 그러한 제한이 없습니다. 음수의 홀수 거듭제곱은 음수로 유지됩니다: \(((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2 ) \ cdot(-2)=-32\). 따라서 홀수 근 아래에서 음수를 얻을 수 있습니다. 이는 음수에서도 추출이 가능하다는 것을 의미합니다.