구를 돌리는 중입니다. 수학을 좋아하지 않는 사람들을 위해

"일반적인" 2차원 구를 상상해 보세요. 에스 2는 스스로 통과할 수 있는 탄성이 있는 재질로 되어 있다. 일반적인 3차원 공간 $$\mathbb(R)^3$$에서 틈과 틈 없이 구를 뒤집을 수 있지만 자기교차가 가능한 경우(즉, 몰입 클래스에서)가 가능합니까?

2000년에 Smale은 21세기에 해결되어야 할 18가지 과제 목록을 작성했습니다. 이 목록은 힐베르트 문제의 정신으로 작성되었으며, 후기 밀레니엄 문제와 마찬가지로 리만 가설, P 클래스와 NP 클래스의 동등성 문제, 나비에-스토크스 방정식 풀기 문제 및 푸앵카레 방정식을 포함합니다. 이제 Perelman이 추측을 증명했습니다. Smale은 당시 국제수학연맹(International Mathematical Union) 회장이었던 Arnold의 요청에 따라 자신의 목록을 작성했는데, Arnold는 Hilbert의 문제 목록에서 이 목록에 대한 아이디어를 따왔을 가능성이 높습니다.

그리고 마지막으로 질문: 평면에서 원을 "회전"하는 것이 가능합니까? 즉 위와 같이 연속적인 몰입 계열을 찾는 것이 가능합니까?

코멘트

궁금한. 다음과 같은 일이 떠오릅니다. 입체 투영 형태의 구, 즉 무한대가 있는 평면을 상상해 봅시다. 그런 다음 구를 뒤집어서 다른 방향으로 평면을 "접는" 것처럼 보입니다. 다른 방향으로. 어딘가 추론에 구멍이 있는 거죠, 그렇죠?

글쎄, 사실 입체 투영은 평면의 어떤 것과도 일치하지 않는 구의 점 선택을 의미하며 이는 게임의 규칙을 변경합니다. 왜냐하면 조건에 따라 구는 깨질 수 없으며 정확히 그 점에 구멍을 뚫을 수는 없습니다.

뭐, 원칙적으로는 한없이 먼 지점에 약점이 있지 않을까 의심했습니다. 나는 단지 독립적인 의견을 알고 싶었습니다.)

미샤, 끈 이론에 K3 표면이 있는지 듣고 싶습니다. 그렇다면 K3 표면이 거기에 정확히 어떻게 나타나는지 알고 싶습니다.

네, 가끔 그렇습니다. 압축의 맥락에서. K3에는 홀로노미 그룹 $$SU(2)\subset SU(2)\times SU(2)$$가 있으므로 초대칭의 절반이 보존됩니다. 현상학적으로 이러한 모델은 별로 흥미롭지 않지만 사람들은 여전히 이를 고려합니다.

영화보다 더 쉽게 꼬임 없이 구를 돌립니다. 손가락으로 구 표면의 일부를 내부에 붙일 필요가 있습니다. 구의 내부 부분을 180도 회전하면 구멍이 꼬임 없이 닫힙니다. 원이었던 구의 자오선은 더 큰 머리 안에 작은 머리가 있는 "8"로 바뀔 것입니다. 다음으로, 내부의 거의 공이 새어 나올 때까지 팽창시킵니다. 당연히 그의 모습은 반전될 것이다. 남는 것은 컸던 부분이 이제는 부풀어오른 부분에 비해 작아져서 180도 회전한 부분이다. 조여진 구멍이 열리고, 움푹 들어간 곳을 바로잡아 목표를 달성합니다!

여기서 점이 무한대가 되고, 무한대가 점이 된다는 것이 밝혀졌습니다. 또는 "우주의 동일성": 내부에는 무엇이 있고 외부에는 무엇이 있습니까?
따라서 패러다임이 발생합니다. 대우주의 도움으로 소우주를 연구 할 수 있으며 그 반대의 경우도 마찬가지입니다.
질문은 반경 제한 =]h/2;2/h[에 있습니다. 여기서 h는 측정 정확도의 미터법 한계, 즉 동일한 엡실론을 2로 나눈 값으로 사용됩니다.
또한, 이러한 구체의 물리적 존재는 다양한 경우에 증명되거나 반증될 수 있습니다.
아니면 내가 틀렸나요?

3D 공간에서는 몰입형 클래스에서 뒤집힐 수 있습니다. 즉, 자체 교차가 가능하지만 꼬임이 없이 뒤집힐 수 있습니다. 즉, 변형되는 각 순간에 구의 이미지는 매끄럽게 유지되어야 합니다. 즉, 미분 가능해야 합니다.

구의 반전은 전혀 논리적인 역설이 아니며, 정리일 뿐이며 매우 직관에 반하는 정리일 뿐입니다. 좀 더 정확하게:

많은 삽화와 영상이 있지만 이러한 다이빙 계열의 구체적인 예를 제시하는 것은 다소 어렵습니다. 반면에 그러한 가족이 존재한다는 것을 증명하는 것이 훨씬 더 쉽고 이것이 바로 Smale이 한 일입니다.

이야기

이 역설은 1958년 Smale에 의해 발견되었습니다. 전설에 따르면, Smale이 이 정리를 출판하려고 했을 때, 그는 그러한 "역전" 과정에서 가우스 매핑의 정도가 보존되어야 하기 때문에 그 주장이 명백히 틀렸다는 응답을 받았습니다. [ ] 실제로 가우스 매핑의 정도는 보존되어야 하며, 특히 이는 원이 평면에서 "변형"될 수 없지만 가우스 매핑의 정도는 y임을 보여줍니다. $에프$ 그리고 에 $-에프$ V $(\mathbb R)^3$ 둘 다 1과 같습니다. 또한 임베딩 정도는 $S^2\to (\mathbb R)^3$ 1과 같습니다.

변형 및 일반화

"구 반전" 기사에 대한 리뷰 작성

문학

작은 스티븐 2구체 침수의 분류.트랜스. 아머. 수학. 사회. 90 1958 281-290.
프랜시스, J. 모스크바: 미르(Mir), 1991. 6장. 구를 뒤집기.

노트

구의 반전을 특징으로 하는 발췌

“다시 말하지만, 대령님.” 장군이 말했습니다. “그러나 나는 사람들의 절반을 숲에 남겨둘 수 없습니다. 간청합니다, 간청합니다.”라고 그는 반복했습니다. “위치를 잡고 공격을 준비하십시오.
“그리고 당신 자신의 일에 간섭하지 마시길 바랍니다.” 대령이 신이 나서 대답했다. - 당신이 기병이었다면...
- 저는 기병은 아니지만, 대령님. 저는 러시아 장군입니다. 모르신다면...
“아주 잘 알려진 대령님, 각하.” 대령이 갑자기 비명을 지르며 말에 손을 대고 얼굴이 붉어졌습니다. - 당신이 체인에 합류하고 싶다면 이 자리가 쓸모없다는 것을 알게 될 것입니다. 나는 당신의 즐거움을 위해 내 연대를 파괴하고 싶지 않습니다.
“잊고 계시군요, 대령님. 나는 나의 즐거움을 관찰하지 않으며 그것이 말하는 것을 허용하지 않을 것입니다.
장군은 용기 토너먼트에 대한 대령의 초대를 받아들이고 가슴을 곧게 펴고 눈살을 찌푸리며 마치 그들의 모든 불일치가 그곳, 사슬, 총알 아래에서 결정되는 것처럼 사슬 방향으로 그와 함께 탔습니다. 그들은 사슬에 도착했고, 총알 몇 발이 그들 위로 날아갔고, 그들은 조용히 멈췄습니다. 이전에 서 있던 곳에서도 기병대가 덤불과 계곡을 통과하여 작전하는 것이 불가능하고 프랑스 군이 좌익을 우회하고 있다는 것이 분명했기 때문에 체인에는 아무것도 볼 수 없었습니다. 장군과 대령은 두 수탉이 전투를 준비하고 서로를 바라보며 비겁한 징조를 기다리면서 엄숙하고 의미심장한 모습을 보였습니다. 둘 다 테스트를 통과했습니다. 할 말이 없고, 어느 쪽도 상대방에게 자신이 총알 밑에서 가장 먼저 나왔다고 말할 이유를 주고 싶지 않았기 때문에, 그들은 오랫동안 그 자리에 서서 서로 용기를 느꼈을 것이고, 그 당시 숲에서 거의 뒤에서 총 소리와 숨막히는 합쳐지는 외침이 들렸다면. 프랑스군은 장작을 가지고 숲에 있던 군인들을 공격했습니다. 후사르는 더 이상 보병과 함께 후퇴할 수 없었다. 그들은 프랑스 전선에 의해 왼쪽 후퇴에서 차단되었습니다. 이제 아무리 지형이 불편해도 길을 찾기 위해서는 공격이 필요했다.
방금 말을 탔던 로스토프가 복무했던 비행대는 적과 맞서는 것을 멈췄습니다. 다시 말하지만, 엔스키 다리에서와 마찬가지로 편대와 적 사이에는 아무도 없었고, 그들 사이에는 산 자와 죽은 자를 분리하는 선과 같이 똑같은 불확실성과 두려움의 끔찍한 선이 놓여 있었습니다. 모두가 이 선을 느꼈고, 과연 그 선을 넘을지, 어떻게 넘을지 걱정이 됐다.

위대한 수학자 데이비드 힐베르트는 수학 이론은 처음 만나는 사람에게 제시될 수 있어야만 완벽하다고 말할 수 있다고 말했습니다. 힐베르트의 추종자들은 이 처방에 따라 살려고 노력하면서 완전히 절망에 빠졌습니다. 수학은 점점 더 전문화되고 있으며, 이제 박식한 수학자는 자신이 푸는 문제의 본질을 동료들에게 설명하기 위해 열심히 노력해야 할 때도 있다. 그러나 때때로 이 과학의 선도적이고 이해하기 어려운 분야에 대한 연구는 일반인에게도 흥미롭고 동시에 지나치게 단순화하지 않고 설명할 수 있는 발견으로 이어집니다. 이에 대한 놀라운 예는 1959년에 출판된 소위 구의 정규 매핑에 관한 Stephen Smale의 정리입니다.

당시 Smale이 연구하고 있던 분야는 현대 수학의 가장 추상적인 분야 중 하나인 미분 위상수학이었습니다. 그럼에도 불구하고 Smale 정리의 가장 놀라운 결과 중 하나에 대한 시각적 설명을 제시하는 것이 가능했다는 것은 더욱 놀라운 일입니다. 즉, 구를 뒤집는 방법을 시연할 수 있습니다.

일반적인 의미에서 이것은 물론 불가능합니다. 구는 필연적으로 찢겨져야 합니다. 그러나 미분 토폴로지에서는 정신적으로 표면을 그 자체로 끌어오는 것이 허용됩니다. 이것이 이 과학의 "게임 규칙"입니다. 그러나 간단한 솔루션이 즉시 눈에 띕니다.

반대쪽을 서로 통과할 때까지 중앙을 향해 압착해야 합니다(I). 안쪽의 페인팅된 표면(II)은 반대쪽 두 가장자리에서 나옵니다. 외부 표면(II)의 나머지 부분에 의해 형성된 고리가 완전히 사라질 때까지 내부 표면을 "당겨내는" 과정을 계속하겠습니다. 불행하게도 이 과정에서 링은 조여야 하는 단단한 루프(III)를 형성합니다. 결과는 흉터(IV)이며 이는 미분 위상론자들을 만족시키지 못합니다. 왜냐하면 그들은 모서리나 꼬임이 없는 소위 "매끄러운 표면"만을 고려하기 때문입니다.

따라서 임무는 작은 고리를 제거할 때 흉터가 생기지 않도록 구를 뒤집는 것입니다. 그리고 여기서 직관은 문제가 해결 불가능하다는 것을 다시 한번 암시합니다. Smale이 처음으로 해결책의 존재를 증명할 수 있다고 발표했을 때 아무도 그의 말을 믿지 않았습니다. 그러나 직관은 틀렸습니다. Smale의 증명에는 단 하나의 논리적 오류도 없었습니다. 수학자들은 증명을 단계별로 따라가며 구를 뒤집는 변형에 대한 명확한 설명을 찾는 것이 이론적으로 가능하다고 확신하게 되었습니다. 하지만 너무 힘들어서 희망이 없어 보였습니다. 스말레가 발견한 후 얼마 동안 원칙적으로는 흉터 없이 구를 뒤집는 것이 가능하다는 것이 알려졌지만, 누구도 그것을 어떻게 하는지 전혀 알지 못했습니다.

그러나 결국 수학자들은 이 작업에 대처했습니다. 방법 - 사진을 보시면 이해가 되실 겁니다. 그들은 재미있다.

Smale의 증명은 그림만으로 구성되지는 않았지만. 그의 작업에는 그것들이 전혀 존재하지 않는다는 것이 궁금합니다. 그의 추상적 분석 장치에 암시적으로 포함된 수치는 너무 복잡합니다. 가장 창의적인 예술가라도 그것을 묘사할 수 없었을 것입니다. 수학자들의 상상력은 놀랍습니다. 그러나 더욱 놀라운 것은 그림에 의존하지 않고도 가장 복잡한 아이디어를 서로에게 전달하는 능력입니다. 구체의 반전 이야기는 이에 대한 분명한 증거입니다. 그녀는 동료 Bernard Morin과이 "역전"의 발명가 인 American Arnold Shapiro로부터 그녀에 대해 알게 된 프랑스 토폴로지 Rene Thomas 덕분에 일반 대중에게 알려졌습니다. Bernard Morin이 시각 장애인이라는 점을 고려하면 이는 특히 궁금합니다.

이 그림은 차동 토폴로지의 요구 사항을 위반하지 않고 구를 뒤집을 수 있는 방법을 보여줍니다. 먼저 회색 구(A)의 반대쪽 면을 서로 밀어서 모아야 합니다. 그런 다음 페인팅된 표면이 양쪽에서 나타납니다(B). 그런 다음 두 개의 "다리"(O)에 안장과 유사한 표면을 얻기 위해 칠해진 조각 중 하나(C)를 늘립니다. 이 두 다리는 시계 반대 방향으로 비틀어 표면 E를 얻습니다. 이것은 "상처가 있는 구"에서와 같이 리본을 사용하여 "단면"으로 다시 표시됩니다(P). 10개의 다른 단면을 묘사합니다. 수준.

또한 각 단계에서 얻은 표면을 묘사하는 것은 의미가 없습니다. 너무 복잡합니다. 하지만 원한다면 10개 레벨 모두에서 리본을 고려하고 마음속으로 그림을 완성할 수도 있습니다. 그럼에도 불구하고 우리는 어떤 유형의 결과 수치가 나올지 상상할 수 있도록 한 단계(H2)를 보여 주기로 결정했습니다. 표면 G는 표면 P의 안장을 90° 압축하고 회전한 후에 나타납니다.

몇 단계만 더 거치면 됩니다. 즉, I단계와 J단계 사이에는 동일한 모양의 두 다리가 서로 통과합니다. J 단계의 각 리본 모양 표면 섹션에는 서로 마주보는 두 개의 회색 면이 있습니다. J 단계와 K 단계 사이에서 내부 층은 확장되고 외부 층은 수축됩니다. 표면 K가 얻어집니다. J와 정확히 동일하며 색상만 반전됩니다.

그런 다음 모든 단계가 역순으로 진행됩니다. I, H, C 등의 사진을 보면 리본에 대한 아이디어를 얻을 수 있습니다. 각 사진의 리본 색상을 바꾸면 됩니다. 우리는 이 두 번째 줄의 그림의 끝을 제시합니다. 표면 L은 표면 F에 해당하고 L2는 E에 해당합니다.

색칠된 구(표면 P)는 회색 구(표면 A)에 해당합니다. 그러면 변형이 완료되고 흉터도 남지 않게 됩니다. 이 트릭의 가능성은 S. Smale에 의해 처음으로 입증되었습니다. 그리고 모든 연속적인 변형 단계는 A. Shapiro에 의해 발명되었습니다 ...

추신 영국 과학자들은 또 무엇에 대해 이야기합니까? 구를 뒤집는 메커니즘이 때로는 재능있는 프로그래머가 만든 PDF 프로그램보다 더 철학적이지 않다는 것입니다.