피라미드. 피라미드의 공식 및 속성
여기서는 볼륨 개념과 관련된 예를 살펴보겠습니다. 이러한 문제를 해결하려면 피라미드 부피 공식을 알아야 합니다.
에스
h - 피라미드의 높이
베이스는 어떤 다각형이라도 될 수 있습니다. 그러나 통합 상태 시험의 대부분의 문제에서 조건은 일반적으로 일반 피라미드에 관한 것입니다. 그 속성 중 하나를 상기시켜 드리겠습니다.
일반 피라미드의 꼭대기는 밑면의 중앙에 투영됩니다.
정삼각형, 사각뿔, 육각형 피라미드의 투영을 살펴보세요(TOP VIEW):
피라미드의 부피를 찾는 것과 관련된 문제가 논의된 블로그에서 할 수 있습니다.작업을 고려해 봅시다:
27087. 밑변이 1이고 높이가 3의 근과 같은 정삼각형 피라미드의 부피를 구하십시오.
에스– 피라미드 바닥의 면적
시간– 피라미드의 높이
피라미드 밑면의 면적을 구해 봅시다. 이것은 정삼각형입니다. 공식을 사용해 봅시다 - 삼각형의 면적은 인접한 변의 곱과 그 사이의 각도 사인의 절반과 같습니다. 즉, 다음을 의미합니다.
답: 0.25
27088. 밑변이 2이고 부피가 3의 루트인 정삼각형 피라미드의 높이를 구하십시오.
피라미드의 높이 및 밑면의 특성과 같은 개념은 부피 공식과 관련됩니다.
에스– 피라미드 바닥의 면적
시간– 피라미드의 높이
우리는 부피 자체를 알고 밑변인 삼각형의 변을 알고 있기 때문에 밑변의 넓이를 찾을 수 있습니다. 표시된 값을 알면 높이를 쉽게 찾을 수 있습니다.
밑면의 면적을 찾으려면 공식을 사용합니다. 삼각형의 면적은 인접한 변의 곱과 그 사이의 각도 사인의 절반과 같습니다. 즉, 다음을 의미합니다.
따라서 이 값을 부피 공식에 대입하면 피라미드의 높이를 계산할 수 있습니다.
높이는 3입니다.
답: 3
27109. 정사각형 피라미드에서 높이는 6이고 측면 가장자리는 10입니다. 부피를 찾으십시오.
피라미드의 부피는 다음 공식으로 계산됩니다.
에스– 피라미드 바닥의 면적
시간– 피라미드의 높이
우리는 높이를 알고 있습니다. 기지의 면적을 찾아야합니다. 일반 피라미드의 상단이 밑면 중앙에 투영된다는 점을 상기시켜 드리겠습니다. 정사각형 피라미드의 밑면은 정사각형입니다. 우리는 대각선을 찾을 수 있습니다. 직각삼각형(파란색으로 강조표시)을 생각해 보세요.
정사각형의 중심과 점 B를 연결하는 선분은 정사각형 대각선의 절반에 해당하는 다리입니다. 피타고라스 정리를 사용하여 이 다리를 계산할 수 있습니다.
이는 BD = 16을 의미합니다. 사변형 면적 공식을 사용하여 정사각형의 면적을 계산해 보겠습니다.
따라서:
따라서 피라미드의 부피는 다음과 같습니다.
답: 256
27178. 정사각형 피라미드에서 높이는 12이고 부피는 200입니다. 이 피라미드의 측면 가장자리를 구하십시오.
피라미드의 높이와 부피가 알려져 있으므로 밑면이 되는 정사각형의 면적을 알 수 있습니다. 정사각형의 면적을 알면 대각선을 찾을 수 있습니다. 다음으로 피타고라스 정리를 사용하여 직각 삼각형을 고려하여 측면 가장자리를 계산합니다.
정사각형(피라미드의 밑면)의 면적을 구해 봅시다:
정사각형의 대각선을 계산해 봅시다. 면적이 50이므로 변은 피타고라스 정리에 따라 50의 루트와 같습니다.
점 O는 대각선 BD를 반으로 나눕니다. 이는 직각 삼각형 OB = 5의 다리를 의미합니다.
따라서 피라미드의 측면 가장자리가 무엇인지 계산할 수 있습니다.
답: 13
245353. 그림에 표시된 피라미드의 부피를 구하십시오. 밑면은 다각형이며 인접한 측면은 수직이고 측면 가장자리 중 하나는 밑면 평면에 수직이며 3과 같습니다.
여러 번 말했듯이 피라미드의 부피는 다음 공식으로 계산됩니다.
에스– 피라미드 바닥의 면적
시간– 피라미드의 높이
밑면에 수직인 측면 가장자리는 3과 같습니다. 이는 피라미드의 높이가 3임을 의미합니다. 피라미드의 밑면은 다음과 같은 면적을 갖는 다각형입니다.
따라서:
답: 27
27086. 피라미드의 밑면은 변 3과 4가 있는 직사각형입니다. 부피는 16입니다. 이 피라미드의 높이를 구하십시오.
정의. 측면 가장자리- 이것은 하나의 각도가 피라미드의 상단에 있고 반대쪽이 밑면 (다각형)의 측면과 일치하는 삼각형입니다.
정의. 옆갈비- 측면의 공통 측면입니다. 피라미드에는 다각형의 각도만큼 많은 모서리가 있습니다.
정의. 피라미드 높이- 이것은 피라미드의 꼭대기에서 바닥까지 수직으로 내려간 것입니다.
정의. 아포템- 이것은 피라미드의 측면에 수직이며 피라미드 상단에서 밑면 측면으로 낮아졌습니다.
정의. 대각선 섹션- 이것은 피라미드의 꼭대기와 밑면의 대각선을 통과하는 평면에 의한 피라미드의 단면입니다.
정의. 올바른 피라미드밑면이 정다각형이고 높이가 밑면의 중심으로 내려오는 피라미드이다.
피라미드의 부피와 표면적
공식. 피라미드의 부피기본 면적과 높이를 통해:
피라미드의 속성
모든 측면 모서리가 동일하면 피라미드 밑면 주위에 원을 그릴 수 있으며 밑면의 중심은 원의 중심과 일치합니다. 또한 위에서 내린 수선은 밑면(원)의 중심을 통과합니다.
모든 측면 가장자리가 동일하면 동일한 각도로 바닥 평면에 기울어집니다.
측면 모서리는 밑면과 동일한 각도를 형성하거나 피라미드 밑면 주위에 원이 설명될 수 있는 경우 동일합니다.
측면이 밑면에 대해 같은 각도로 기울어지면 피라미드의 밑면에 원이 새겨지고 피라미드의 상단이 중심에 투영됩니다.
측면이 베이스 평면에 대해 동일한 각도로 기울어져 있으면 측면의 변위점이 동일합니다.
일반 피라미드의 속성
1. 피라미드의 꼭대기는 밑면의 모든 모서리에서 등거리에 있습니다.
2. 모든 측면 모서리가 동일합니다.
3. 모든 측면 리브는 베이스와 동일한 각도로 기울어져 있습니다.
4. 모든 측면의 변심은 동일합니다.
5. 모든 측면의 면적은 동일합니다.
6. 모든 면은 동일한 2면체(평면) 각도를 갖습니다.
7. 피라미드 주위에 구를 묘사할 수 있습니다. 외접 구의 중심은 모서리의 중앙을 통과하는 수직선의 교차점이 됩니다.
8. 구를 피라미드에 맞출 수 있습니다. 내접된 구의 중심은 모서리와 밑면 사이의 각도에서 나오는 이등분선의 교차점이 됩니다.
9. 내접 구의 중심이 외접 구의 중심과 일치하면 꼭지점의 평면 각도의 합은 π와 같거나 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 한 각도는 π/n과 같습니다. 여기서 n은 숫자입니다. 피라미드 바닥의 각도.
피라미드와 구의 연결
피라미드의 밑면에 원을 묘사할 수 있는 다면체가 있을 때(필요충분조건) 구는 피라미드 주위에 묘사될 수 있습니다. 구의 중심은 피라미드 측면 가장자리의 중간점을 수직으로 통과하는 평면의 교차점이 됩니다.
삼각형이나 정뿔형 피라미드 주위의 구를 묘사하는 것은 항상 가능합니다.
피라미드의 내부 2면각의 이등분선 평면이 한 지점에서 교차하는 경우(필요 및 충분 조건) 구는 피라미드에 내접할 수 있습니다. 이 점이 구의 중심이 됩니다.
원뿔과 피라미드의 연결
꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면에 내접되어 있으면 원뿔이 피라미드에 내접한다고 합니다.
피라미드의 변심점이 서로 같으면 원뿔이 피라미드에 새겨질 수 있습니다.
꼭지점이 일치하고 원뿔의 밑면이 피라미드의 밑면 주위에 외접하는 경우 원뿔이 피라미드 주위에 외접한다고 합니다.
피라미드의 모든 측면 모서리가 서로 같으면 피라미드 주위에 원뿔을 설명할 수 있습니다.
피라미드와 원통의 관계
피라미드의 꼭대기가 원통의 한 밑면에 있고 피라미드의 밑면이 원통의 다른 밑면에 새겨져 있는 경우 피라미드를 원통에 내접했다고 합니다.
원이 피라미드의 밑면 주위에 설명될 수 있다면 원통은 피라미드 주위에 설명될 수 있습니다.
사면체에는 4개의 면과 4개의 꼭지점, 6개의 모서리가 있으며, 두 모서리는 공통 꼭지점을 가지지 않지만 서로 닿지 않습니다.
각 꼭지점은 다음을 형성하는 세 개의 면과 모서리로 구성됩니다. 삼각형 각도.
정사면체의 꼭지점과 반대편 면의 중심을 연결하는 선분을 다음과 같이 부릅니다. 사면체의 중앙값(GM).
바이미디어접촉하지 않는 반대쪽 가장자리의 중간점을 연결하는 세그먼트(KL)라고 합니다.
사면체의 모든 양중선과 중앙값은 한 점(S)에서 교차합니다. 이 경우 양중값은 반으로 나누어 위에서부터 3:1의 비율로 중앙값을 나눈다.
정의. 예각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반보다 긴 피라미드.
정의. 둔각 피라미드-변심이 밑변 길이의 절반 미만인 피라미드.
정의. 정사면체- 네 면이 모두 정삼각형인 사면체. 정다각형 5개 중 하나입니다. 정사면체에서는 모든 2면체 각도(면 사이)와 3면체 각도(꼭지점)가 동일합니다.
정의. 직사각형 사면체꼭지점의 세 모서리 사이에 직각이 있는(모서리가 수직임) 사면체라고 합니다. 세 개의 얼굴이 형성됨 직사각형 삼각형 각도면은 직각 삼각형이고 밑면은 임의의 삼각형입니다. 모든 면의 변심은 변심이 있는 밑변의 절반과 같습니다.
정의. 등면체 사면체옆면이 서로 같고 밑면이 정삼각형인 정사면체라 한다. 이러한 사면체는 이등변삼각형인 면을 가지고 있습니다.
정의. 직교 사면체위에서 반대면까지 내려간 높이(수직)가 모두 한점에서 교차하는 것을 사면체라 한다.
정의. 스타 피라미드밑면이 별인 다면체라고 불린다.
밑면이 정삼각형이고 나머지 면이 이등변삼각형으로 이루어진 다면체를 다면체라고 한다. 삼각뿔이러한 피라미드는 사면체라고도합니다.
일반 피라미드에는 구성 요소에서 파생되는 많은 속성이 있습니다.
- 밑면의 모든 변은 정삼각형으로 표현되기 때문에 서로 동일합니다.
- 피라미드의 모든 모서리도 서로 동일합니다.
- 왜냐하면 각 면은 모서리가 같고 밑면이 동일한 이등변삼각형을 형성합니다. 그러면 각 면의 면적이 동일하다고 말할 수 있습니다.
- 밑면의 모든 2면각은 동일합니다.
베이스 스캔 영역과 측면 스캔 영역의 합으로 계산됩니다. 측면과 밑면 중 하나의 면적을 계산하여 찾을 수도 있습니다. 삼각형 피라미드의 부피에 대한 공식은 삼각형의 특성으로부터 파생됩니다.
기본 면적은 다음 공식으로 계산됩니다. 
삼각뿔의 부피를 계산하는 예를 생각해 봅시다.
삼각형 피라미드를 생각해 봅시다. 밑면의 옆면은 a = 2 cm, 높이는 h = 2√3입니다. 주어진 다면체의 부피를 구하세요.
먼저, 기지의 면적을 구해 봅시다. 이를 위해 알려진 데이터를 위 공식으로 대체해 보겠습니다. 
이제 찾은 값을 사용하여 삼각뿔의 부피를 계산합니다. 
단축 공식을 사용하여 삼각뿔의 면적을 계산할 수도 있습니다. 밑면의 면적과 높이를 합한 공식은 밑면적과 피라미드 높이의 곱의 1/3로 읽혀집니다.
이 공식을 사용할 때는 계산과 감소를 엄격하게 따르는 것이 중요합니다. 작은 실수 하나가 잘못된 결과를 초래할 수 있습니다. 일반적으로 정삼각뿔의 부피를 구하는 것은 매우 간단합니다.
피라미드는 밑면에 다각형이 있는 다면체입니다. 모든 면은 차례로 하나의 꼭지점에 수렴하는 삼각형을 형성합니다. 피라미드는 삼각형, 사각형 등입니다. 당신 앞에 어떤 피라미드가 있는지 확인하려면 밑면의 각도 수를 세는 것으로 충분합니다. "피라미드의 높이"에 대한 정의는 학교 커리큘럼의 기하학 문제에서 자주 발견됩니다. 이번 글에서는 이를 찾는 다양한 방법을 살펴보겠습니다.
피라미드의 일부
각 피라미드는 다음 요소로 구성됩니다.
- 세 개의 모서리가 있고 정점에서 수렴되는 측면;
- 변심은 정점에서 내려오는 높이를 나타냅니다.
- 피라미드의 꼭대기는 측면 갈비뼈를 연결하는 지점이지만 바닥면에 있지 않습니다.
- 밑면은 정점이 놓이지 않는 다각형입니다.
- 피라미드의 높이는 피라미드의 꼭대기와 교차하고 밑면과 직각을 이루는 부분입니다.
부피를 알고 있는 경우 피라미드의 높이를 구하는 방법
공식 V = (S*h)/3(공식에서 V는 부피, S는 밑면의 면적, h는 피라미드의 높이)를 통해 h = (3*V)/ 에스. 자료를 통합하려면 즉시 문제를 해결해 봅시다. 삼각형 밑면은 50 cm 2 이고 부피는 125 cm 3 입니다. 삼각뿔의 높이는 알려지지 않았는데, 이것이 우리가 찾아야 할 것입니다. 여기에서는 모든 것이 간단합니다. 데이터를 공식에 삽입합니다. h = (3*125)/50 = 7.5cm를 얻습니다.
대각선의 길이와 모서리의 길이를 알고 있는 경우 피라미드의 높이를 찾는 방법
우리가 기억하는 것처럼 피라미드의 높이는 밑면과 직각을 이룹니다. 이는 대각선의 높이, 가장자리 및 절반이 함께 형성된다는 것을 의미합니다. 물론 많은 사람들이 피타고라스 정리를 기억합니다. 2차원을 알면 세 번째 수량을 찾는 것이 어렵지 않습니다. 잘 알려진 정리 a² = b² + c²를 떠올려 보겠습니다. 여기서 a는 빗변이고 우리의 경우 피라미드의 가장자리입니다. b - 첫 번째 다리 또는 대각선의 절반 및 c - 각각 두 번째 다리 또는 피라미드 높이. 이 공식에서 c² = a² - b²입니다.
이제 문제는 일반 피라미드에서 대각선의 길이가 30cm일 때 대각선이 20cm이므로 높이를 구해야 한다는 것입니다. 우리는 c² = 30² - 20² = 900-400 = 500을 해결합니다. 따라서 c = √ 500 = 약 22.4입니다.
잘린 피라미드의 높이를 찾는 방법
밑면과 평행한 단면을 가진 다각형입니다. 잘린 피라미드의 높이는 두 밑면을 연결하는 부분입니다. 두 밑면의 대각선 길이와 피라미드의 가장자리를 알면 일반 피라미드의 높이를 찾을 수 있습니다. 큰 밑변의 대각선을 d1, 작은 밑변의 대각선을 d2, 변의 길이를 l로 합니다. 높이를 찾으려면 다이어그램의 반대쪽 두 지점에서 베이스까지 높이를 낮출 수 있습니다. 두 개의 직각 삼각형이 있다는 것을 알 수 있으며 남은 것은 다리 길이를 구하는 것뿐입니다. 이렇게 하려면 더 큰 대각선에서 더 작은 것을 빼고 2로 나눕니다. 따라서 우리는 한쪽 다리를 찾습니다: a = (d1-d2)/2. 그런 다음 피타고라스의 정리에 따르면 우리가 해야 할 일은 피라미드의 높이인 두 번째 다리를 찾는 것뿐입니다.
이제 실제로이 모든 것을 살펴 보겠습니다. 우리 앞에는 과제가 있습니다. 잘린 피라미드는 밑면에 정사각형이 있고 큰 밑면의 대각선 길이는 10cm, 작은 피라미드는 6cm, 모서리의 길이는 4cm이므로 높이를 구해야 합니다. 먼저 한쪽 다리를 찾습니다: a = (10-6)/2 = 2cm 한쪽 다리는 2cm, 빗변은 4cm입니다. 두 번째 다리 또는 높이는 16- 4 = 12, 즉 h = √12 = 약 3.5cm입니다.
공간에 있는 기하학적 도형의 주요 특징은 부피입니다. 이 기사에서는 밑면에 삼각형이 있는 피라미드가 무엇인지 살펴보고 삼각형 피라미드의 부피를 찾는 방법도 보여줍니다.
이것은 무엇입니까 - 삼각형 피라미드?
누구나 고대 이집트 피라미드에 대해 들어봤지만 삼각형이 아닌 정사각형입니다. 삼각뿔을 얻는 방법을 설명하겠습니다.
임의의 삼각형을 선택하고 모든 정점을 이 삼각형 평면 외부에 있는 단일 점과 연결해 보겠습니다. 결과 그림을 삼각형 피라미드라고 합니다. 아래 그림에 나와 있습니다.
보시다시피 문제의 그림은 일반적으로 서로 다른 4개의 삼각형으로 구성됩니다. 각 삼각형은 피라미드의 측면이나 면입니다. 이 피라미드는 흔히 사면체, 즉 사면체의 입체도형이라고 불린다.
피라미드에는 측면 외에도 모서리(6개)와 꼭지점(4개)도 있습니다.
삼각형 베이스가 있는
임의의 삼각형과 공간상의 한 점을 이용하여 구한 도형은 일반적으로 불규칙한 경사각뿔이 될 것이다. 이제 원래 삼각형의 변이 동일하고 공간의 한 점이 삼각형 평면으로부터 거리 h만큼 기하학적 중심 바로 위에 위치한다고 상상해 보십시오. 이러한 초기 데이터를 사용하여 구성된 피라미드는 정확합니다.
분명히 정삼각형 피라미드의 모서리, 변 및 꼭지점의 수는 임의의 삼각형으로 만들어진 피라미드의 수와 동일합니다.
그러나 올바른 그림에는 몇 가지 독특한 특징이 있습니다.
- 정점에서 그려진 높이는 기하학적 중심(중앙값의 교차점)에서 밑면과 정확히 교차합니다.
- 이러한 피라미드의 측면은 이등변 또는 정변인 세 개의 동일한 삼각형으로 구성됩니다.
정삼각형 피라미드는 순전히 이론적인 기하학적 대상이 아닙니다. 자연의 일부 구조는 그 모양을 가지고 있습니다. 예를 들어 탄소 원자가 공유 결합으로 4개의 동일한 원자에 연결된 다이아몬드 결정 격자 또는 피라미드의 정점이 수소 원자로 형성되는 메탄 분자가 있습니다.
삼각뿔
다음 표현식을 사용하면 밑면에 임의의 n각형이 있는 모든 피라미드의 부피를 결정할 수 있습니다.
여기서 기호 S o는 밑면의 면적을 나타내고, h는 피라미드 상단에서 표시된 밑면까지 그려진 그림의 높이입니다.
임의의 삼각형의 면적은 변 a 길이와 변심 h a의 곱의 절반과 같기 때문에 삼각뿔의 부피 공식은 다음 형식으로 작성할 수 있습니다.
V = 1/6 × a × h a × h
일반형의 경우 높이를 결정하는 것이 쉬운 일은 아닙니다. 이를 해결하는 가장 쉬운 방법은 일반 방정식으로 표현되는 점(꼭지점)과 평면(삼각형 밑면) 사이의 거리 공식을 사용하는 것입니다.
올바른 경우 특정 모양이 있습니다. (정삼각형의) 밑변 면적은 다음과 같습니다.
이를 V의 일반 표현식으로 대체하면 다음과 같은 결과를 얻습니다.
V = √3/12 × a 2 × h
특별한 경우는 사면체의 모든 변이 동일한 정삼각형으로 판명되는 상황입니다. 이 경우, 그 부피는 모서리 a의 매개변수에 대한 지식을 바탕으로만 결정될 수 있습니다. 해당 표현식은 다음과 같습니다.
잘린 피라미드
꼭지점이 포함된 윗부분을 정삼각뿔에서 잘라내면 잘린 모양이 됩니다. 원본과 달리 정삼각형 밑면 2개와 이등변사다리꼴 3개로 구성됩니다.
아래 사진은 종이로 만든 잘린 삼각형 피라미드의 모습을 보여줍니다.
잘린 삼각뿔의 부피를 결정하려면 세 가지 선형 특성, 즉 밑면의 각 측면과 그림의 높이(상부 밑면 사이의 거리와 동일)를 알아야 합니다. 해당 볼륨 공식은 다음과 같이 작성됩니다.
V = √3/12 × h × (A 2 + a 2 + A × a)
여기서 h는 그림의 높이이고, A와 a는 각각 큰(아래쪽) 정삼각형과 작은(위쪽) 정삼각형의 변의 길이입니다.
문제의 해결
기사의 정보를 독자에게 더 명확하게 만들기 위해 작성된 공식 중 일부를 사용하는 방법을 명확한 예와 함께 보여 드리겠습니다.
삼각뿔의 부피를 15 cm 3 라고 하자. 해당 수치가 맞는 것으로 알려졌습니다. 피라미드의 높이가 4cm라는 것을 알고 있다면 측면 가장자리의 변심점 ab를 찾아야 합니다.
그림의 부피와 높이를 알고 있으므로 적절한 공식을 사용하여 밑면의 길이를 계산할 수 있습니다. 우리는:
V = √3/12 × a 2 × h =>
a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 cm
a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 cm
그림의 변심의 계산된 길이는 높이보다 큰 것으로 밝혀졌으며 이는 모든 유형의 피라미드에 해당됩니다.
세계적으로 유명한 의사 레오 보케리아: 적에게 아침 식사를 제공하세요!
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피라미드의 공식 및 속성