Egy gömb forgatása. Azoknak, akik nem szeretik a matekot

Képzeld el, hogy a "hétköznapi" kétdimenziós gömb S 2 elasztikus anyagból készült, amely áthatol önmagán. Lehet-e a szokásos $$\mathbb(R)^3$$ háromdimenziós térben kifelé fordítani egy gömböt törés és törés nélkül, de lehetséges önmetszéssel (azaz a merítések osztályában)?

2000-ben Smale összeállított egy listát 18 kihívásról, amelyeket szerinte a 21. században meg kellene oldani. Ez a lista a Hilbert-problémák szellemében készült, és a későbbi Millennium Problems-hez hasonlóan tartalmazza a Riemann-hipotézist, a P és NP osztályok egyenlőségének kérdését, a Navier-Stokes egyenletek megoldásának problémáját és a Poincaré-t. sejtést most Perelman igazolta. Smale Arnold, a Nemzetközi Matematikai Unió akkori elnökének kérésére állította össze a listáját, aki valószínűleg Hilbert feladatlistájából vette át ennek a listának az ötletét.

És végül a kérdés: lehetséges-e a kört a síkban „megforgatni”, vagyis az elmerülések folyamatos családját találni, mint fent?

Hozzászólások

Kíváncsi. A következő dolog jut eszembe. Képzeljünk el egy gömböt sztereografikus vetület formájában - egy síkot a végtelennel. Ekkor a gömb kifordítása pont úgy néz ki, mint a sík másik irányú „behajtása”, azaz. más orientációval. Valahol lyuk van az érvelésben, nem?

Nos, a helyzet az, hogy a sztereografikus vetítés egy olyan gömb pontjának kiválasztását jelenti, amely a síkon semminek sem felel meg, és ez megváltoztatja a játékszabályokat, mert a feltételek szerint a gömb nem törhető, ill. pontosan a pont nem szúrható ki.

Nos, elvileg sejtettem, hogy van egy gyenge pont egy végtelenül távoli ponttal. Csak egy független véleményt akartam tudni ;)

Misha, azt szeretném hallani, hogy vannak-e K3 felületek a húrelméletben, és ha igen, akkor pontosan hogyan jelennek meg ott?

Igen, néha megteszik. A tömörítés keretében. A K3 holonómiacsoportja $$SU(2)\subset SU(2)\times SU(2)$$, és ezért megőrzi a szuperszimmetriák felét. Fenomenológiailag az ilyen modellek nem túl érdekesek, de az emberek még mindig figyelembe veszik őket.

Még a filmnél is könnyebben megforgatom a gömböt törés nélkül. A gömb felületének egy részét az ujjával be kell ragasztani. Forgassa el a gömbnek ezt a belső részét 180 fokkal, miközben a lyuk törés nélkül bezáródik. A gömb meridiánjai, amelyek körök voltak, „nyolcasok” lesznek, amelyekben egy kisebb fej található egy nagyobbban. Ezután fújja fel a belső szinte golyót, amíg ki nem szivárog. Természetesen a megjelenése fordított lesz. Maradt az, ami nagy része volt, és mára kisebb lett a duzzadthoz képest, hogy 180 fokkal elforduljon. Kinyílik a behúzott lyuk, kiegyenesítjük a horpadást, és a cél teljesült!

Itt kiderül, hogy a pontból végtelen lesz, a végtelenből pedig pont. Vagy "az univerzum azonossága": mi van belül, mi van kívül.
Ezért egy paradigma adódik - a mikrokozmosz a makrokozmosz segítségével tanulmányozható és fordítva.
A kérdés a sugárhatárban van =]h/2;2/h[. Itt h a mérési pontosság metrikus határa, vagyis ugyanaz az epszilon osztva kettővel.
Ezenkívül egy ilyen gömb fizikai létezése különböző esetekben bizonyítható vagy cáfolható.
Vagy tévedek?

A 3D térben az immerziós osztályban kifordítható, azaz lehetséges önmetszéspontokkal, de csavarások nélkül. Más szóval, a gömb képének az alakváltozás minden pillanatában simanak, azaz differenciálhatónak kell maradnia.

Egy gömb kifordítása egyáltalán nem logikai paradoxon, ez egy tétel, csak egy nagyon ellentétes. Pontosabban:

Meglehetősen nehéz konkrét példát bemutatni egy ilyen búvárcsaládra, bár számos illusztráció és film létezik. Másrészt sokkal könnyebb bizonyítani, hogy létezik ilyen család, és Smale pontosan ezt tette.

Sztori

Ezt a paradoxont ​​Smale fedezte fel 1958-ban. A legenda szerint, amikor Smale megpróbálta közzétenni ezt a tételt, azt a választ kapta, hogy az állítás nyilvánvalóan téves, mivel a Gauss-leképezés mértékét meg kell őrizni az ilyen "visszafordítás" során. [ ] Valóban meg kell őrizni a Gauss-leképezés fokszámát, ez különösen azt mutatja, hogy a kört nem lehet „kiforgatni” a síkban, de a Gauss-leképezés fokait y $f$és at $-f$ V $(\backslash mathbb\; R)^3$ mindkettő egyenlő 1-gyel. Sőt, bármilyen beágyazás mértéke $S^2\backslash to\; (\backslash mathbb\; R)^3$ egyenlő 1.

Változatok és általánosítások

Írjon véleményt a "Gömb megfordítása" című cikkről

Irodalom

• Smale István A kétgömb bemerüléseinek osztályozása. Trans. amer. Math. szoc. 90 1958 281-290.
• Francis, J. Moszkva: Mir, 1991. 6. fejezet: A gömb kifordítása.

Megjegyzések

Egy gömb kiváltását jellemző részlet

– Még egyszer, ezredes – mondta a tábornok –, de az emberek felét nem hagyhatom az erdőben. Könyörgöm, kérlek – ismételte –, foglaljon állást, és készüljön fel a támadásra.
– És arra kérem, ne avatkozzon bele a saját dolgába – felelte az ezredes izgatottan. - Ha lovas lennél...
- Nem vagyok lovas, ezredes, de orosz tábornok vagyok, és ha nem tudná...
– Nagyon jól ismert, excellenciás uram – kiáltott fel hirtelen az ezredes, megérintette a lovat, és vöröses-lilára változott. - Szeretne csatlakozni a láncokhoz, és látni fogja, hogy ez a pozíció semmit sem ér. Nem akarom elpusztítani az ezredemet az ön örömére.
– Ön felejt, ezredes. Nem figyelem meg örömömet, és nem engedem, hogy elmondják.
A tábornok, elfogadva az ezredes meghívását a bátorság tornára, mellkasát kiegyenesítve és homlokát ráncolva lovagolt vele a lánc irányába, mintha minden nézeteltérésük ott, a láncban, a golyók alatt dőlne el. Megérkeztek a lánchoz, több golyó repült el felettük, és némán megálltak. A láncban nem lehetett látni semmit, hiszen már onnan is, ahol korábban álltak, látszott, hogy a lovasság nem tud átmenni a bokrokon, szakadékokon, a franciák pedig megkerülik a bal szárnyat. A tábornok és az ezredes szigorúan és jelentőségteljesen nézett, ahogy a csatára készülő két kakas egymásra nézett, és hiába várta a gyávaság jeleit. Mindketten átmentek a vizsgán. Mivel nem volt mit mondani, és sem egyik, sem a másik nem akart okot adni a másiknak, hogy azt mondja, ő az első, aki kibújt a golyók alól, sokáig ott álltak volna, kölcsönösen átélve a bátorságot, ha akkoriban az erdőben, szinte mögöttük fegyvercsörgés és tompa, összeolvadó kiáltás hallatszott. A franciák tűzifával támadták meg az erdőben tartózkodó katonákat. A huszárok már nem vonulhattak vissza a gyalogsággal. Egy francia vonal elvágta őket a visszavonulástól balra. Most, bármilyen kényelmetlen volt is a terep, támadni kellett, hogy utat törjenek maguknak.
A századot, ahol Rosztov szolgált, akinek éppen sikerült feljutnia a lovaira, megállították az ellenséggel szemben. Ismét, mint az Ensky-hídon, senki sem volt a század és az ellenség között, és közöttük, elválasztva őket, ugyanaz a szörnyű bizonytalanság és félelem határvonala húzódott, mintha elválasztotta volna az élőket a holtaktól. Minden ember érezte ezt a határt, és aggasztja őket az a kérdés, hogy átlépik-e a határt, és hogyan lépik át a határt.

A nagy matematikus, David Hilbert egyszer azt mondta, hogy egy matematikai elmélet csak akkor tekinthető tökéletesnek, ha bemutatható az első embernek, akivel találkozik. Hilbert követői teljesen kétségbe vannak esve, e recept szerint próbálnak élni. A matematika egyre inkább specializálódik, és ma már egy tanult matematikusnak néha még a kollégáiért is keményen meg kell dolgoznia, hogy elmagyarázza az általa megoldott feladatok lényegét. E tudomány vezető és érthetetlennek tűnő ágaiban végzett kutatások azonban időről időre a laikusok számára érdekes, ugyanakkor túlzott leegyszerűsítés nélkül megmagyarázható felfedezéshez vezetnek. Ennek frappáns példája Stephen Smale 1959-ben publikált tétele a gömb úgynevezett szabályos leképezéseiről.

Smale akkoriban a differenciáltopológia volt, amely a modern matematika egyik legelvontabb ága. Annál meglepőbb, hogy ennek ellenére sikerült vizuális magyarázatot találni Smale tételének egyik legszembetűnőbb következményére. Nevezetesen bemutathatja, hogyan kell kifordítani a gömböt.

A szokásos értelemben ez persze lehetetlen: a gömböt feltétlenül szét kellene szakítani. De a differenciáltopológiában megengedett - persze mentálisan - áthúzni a felszínt önmagán - ezek a "játékszabályok" ebben a tudományban. Ekkor azonban egy egyszerű megoldás azonnal megakad a szemében.

Az ellentétes oldalakat a középpont felé kell szorítani, amíg át nem haladnak egymáson (I). A belső, festett felület (II) két szemközti élből jön ki. Folytassuk ezt a belső felület „kihúzásának” folyamatát, amíg a külső felület (II) megmaradt részéből képzett gyűrű teljesen el nem tűnik. Sajnos ebben a folyamatban a gyűrű szoros hurkot képez (III), amelyet meg kell húzni. Az eredmény egy heg (IV), és ez nem elégíti ki a differenciáltopológusokat, mert ők csak az úgynevezett "sima felületeket" veszik figyelembe, amelyeken nincsenek sarkok és törések.

Tehát a feladat az, hogy a gömböt úgy fordítsa ki, hogy a gyűrűtől való megszabadulás során ne maradjon heg. És itt az intuíció ismét azt sugallja, hogy a probléma megoldhatatlan. Amikor Smale először bejelentette, hogy be tudja bizonyítani a megoldás létezését, senki sem hitt neki. De a megérzés tévedett: Smale bizonyításában egyetlen logikai hiba sem volt. A matematikusok meggyõzõdtek arról, hogy elméletileg lehetséges lépésrõl lépésre követni a bizonyítást, és pontosan leírni azt a deformációt, amely a gömböt kifordítja. De olyan nehéz volt, hogy reménytelennek tűnt. Smale felfedezése után egy ideig ismert volt, hogy elvileg lehetséges egy gömb kifordítása heg nélkül, de senkinek fogalma sem volt, hogyan kell ezt megtenni.

De végül a matematikusok megbirkóztak ezzel a feladattal. Hogyan - a képeket meglátod. Szórakoztatóak.

Bár Smale bizonyítása nem csupán rajzokból állt. Érdekes, hogy munkáiban ezek egyáltalán nem léteznek - túl bonyolultak azok az alakok, amelyeket az absztrakt elemző apparátusa implicit módon tartalmaz. A leginvenciózusabb művész nem tudta volna ábrázolni őket – a matematikusok képzelőereje elképesztő. De talán még csodálatosabb az a képességük, hogy a legbonyolultabb ötleteket rajzok igénybevétele nélkül közvetítik egymásnak. A szféra kiváltásának története ennek egyértelmű bizonyítéka. A nagyközönség számára Rene Thomas francia topológusnak köszönhetően vált ismertté, aki kollégájától, Bernard Morintól, ő pedig az amerikai Arnold Shapirotól, a „visszafordítás” feltalálójától értesült róla. Ez különösen érdekes, mivel Bernard Morin vak.

Ezek a képek bemutatják, hogyan lehet kifordítani egy gömböt a differenciáltopológia követelményeinek megsértése nélkül. Először is össze kell hoznia a szürke gömb (A) ellentétes oldalait úgy, hogy átnyomja őket egymáson. Ekkor mindkét oldalon megjelenik a festett felület (B). Ezután nyújtsa ki az egyik festett darabot (C), hogy nyereghez hasonlító felületet kapjon két „lábon” (O). Ezt a két lábat az óramutató járásával ellentétes irányba csavarva kapjuk meg az E felületet. Ezt ismét (P) „metszetben” ábrázoljuk szalagok segítségével, amelyek a „heges gömbhöz hasonlóan” tíz különböző keresztmetszetet ábrázolnak. szinteket.

Ezenkívül nincs értelme az egyes szakaszokban kapott felületeket ábrázolni - túl bonyolultak. De ha úgy tetszik, megfontolhatja a szalagokat mind a 10 szinten, és gondolatban befejezheti a rajzolást. Ennek ellenére úgy döntöttünk, hogy bemutatunk egy szakaszt (H2) - csak azért, hogy el tudja képzelni, milyen típusú figurákat eredményez. A G felület a P felület nyergének összenyomása és 90°-os elforgatása után jelenik meg.

Még néhány lépés. Mégpedig: az I. és J. szakasz között két azonos alakú láb halad át egymáson. A J lépésben minden szalag alakú felületrésznek két szürke oldala van egymással szemben. A J és K szakasz között a belső réteg kitágul, a külső pedig összehúzódik; a K felületet kapjuk - pontosan ugyanaz, mint J, csak a színek megfordulnak.

Ezután az összes lépés fordított sorrendben történik. Képet kaphatsz róluk, ha megnézed az I, H, C stb. képeket. Csak fel kell cserélned a szalagok színét az egyes képeken. A második képsor végét mutatjuk be. Az L felület az F felületnek, az L2 az E felületnek és így tovább.

A színes gömb (P felület) a szürke gömbnek (A felület) felel meg. Tehát a deformáció befejeződött, és nincs heg. Ennek a trükknek a lehetőségét először S. Smale bizonyította be. És a deformáció minden egymást követő szakaszát A. Shapiro találta ki ...

P.S. Miről beszélnek még a brit tudósok: hogy a gömb kifordításának mechanizmusa néha semmivel sem filozófiaibb, mint mondjuk egy PDF-program, amelyet valami tehetséges programozó készített.