n fok gyöke: alapdefiníciók. n gyökér: alapdefiníciók Megjegyzés a műveletek sorrendjéhez

fejezet első.

Egytagú algebrai kifejezések négyzetére emelés.

152. Fokozat meghatározása. Emlékezzünk vissza, hogy két azonos szám szorzata aa egy szám második hatványának (vagy négyzetének) nevezzük A , három azonos szám szorzata ahh egy szám harmadik hatványának (vagy kockájának) nevezzük A ; általános munka n ugyanazok a számok AH ah hívott n -a szám fokozata A . Azt a műveletet, amellyel egy adott szám hatványát megtaláljuk, hatványra emelésnek (második, harmadik stb.) nevezzük. Az ismétlődő tényezőt a fokszám bázisának, az azonos tényezők számát pedig kitevőnek nevezzük.

A fokozatok rövidítése a következő: a 2 a 3 a 4 ... stb.

Először a hatványozás legegyszerűbb esetéről fogunk beszélni, nevezetesen négyzetre emelkedik; és akkor a felmagasztosulást más fokozatokba fogjuk tekinteni.

153. A jelek szabálya négyzetté emeléskor. A relatív számok szorzásának szabályából az következik, hogy:

(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;

(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9

(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2

(-a) 2 = (-a) (-a) = +a 2

Ezért bármely relatív szám négyzete pozitív szám.

154. Emelés a szorzat, fok és tört négyzetébe.

A) Legyen szükség például több tényező szorzatának négyzetére. abs . Ez azt jelenti, hogy kötelező abs szorozva abs . De szorozni a szorzattal abs , megszorozhatja a szorzót ezzel A , szorozd meg az eredményt b és mit lehet szorozni Val vel .

(abc) 2 = (abc) (abc) = (abc) abc = abcabc

(az utolsó zárójelet elhagytuk, mivel ez nem változtat a kifejezés jelentésén). Most a szorzás asszociatív tulajdonságát használva (1. § 34. b) pont) a következőképpen csoportosítjuk a tényezőket:

(aa) (bb) (ss),

amelyet így rövidíthetünk: a 2 b 2 c 2 .

Eszközök, a szorzat négyzetezéséhez minden tényezőt külön-külön négyzetezhet
(A beszéd lerövidítése érdekében ez a szabály, mint a következő, nincs teljesen kifejezve; hozzá kell tenni még: „és megszorozzuk a kapott eredményeket.” Ennek a kiegészítése magától értetődő ..)

És így:

(3/4 xy) 2 = 9/16 x 2 y 2; (- 0,5 perc) 2 = + 0,25 m 2 n 2; stb.

b) Legyen szükség például valamilyen végzettségre. a 3 , négyzetre. Ezt így lehet megtenni:

(a 3) 2 = a 3 a 3 = a 3 + 3 = a 6.

Mint ez: (x 4) 2 = x 4 x 4 = x 4+4 = x 8

Eszközök, A kitevő négyzetre emeléséhez megszorozhatja a kitevőt 2-vel .

Így ezt a két szabályt alkalmazva például a következőket kapjuk:

(- 3 3/4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3/4) 2 a 2 (x 2) 2 (y 3) 2 = 225/2 a 2 x 4 év 6

V) Tegyük fel, hogy négyzetre kell emelni valamilyen tört a / b . Ezután a tört törttel való szorzásának szabályát alkalmazva a következőt kapjuk:

Eszközök, Tört négyzetre emeléséhez külön négyzetre állíthatja a számlálót és a nevezőt.

Példa.

Második fejezet.

Polinom négyzetre emelése.

155. Képlet levezetése. A képlet használatával (2. szakasz, 3. fejezet, 61. §):

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

négyzetesíthetjük a trinomit a + b + c , binomiálisnak tekintve (a + b) + c :

(a + b + c) 2 = [(a + b) + c] 2 = (a + b) 2 + 2(a + b)c + c 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2

Így a binomiális hozzáadásával a + b harmadik tagja Val vel emelés után 2 tagot adtunk a négyzethez: 1) az első két tag összegének kétszeres szorzatát a harmadik taggal és 2) a harmadik tag négyzetét. Alkalmazzuk most a trinomiálist a + b + c egy negyedik tag d és emeljük fel a négyszöget a + b + c + d négyzetre emelve az összeget a + b + c egy tag számára.

(a + b + c + d) 2 = [(a + b + c) + d] 2 = (a + b + c) 2 + 2(a + b + c)d + d 2

Helyettesítés (a + b + c) 2 megtaláljuk a fenti kifejezést:

(a + b + c + d) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2 + 2(a + b + c)d + d 2

Ismét észrevesszük, hogy ha a négyzetében lévő exaltált polinomhoz egy új tagot adunk, akkor 2 tag hozzáadódik: 1) az előző tagok és az új tag összegének kettős szorzata és 2) az új tag négyzete. Nyilvánvaló, hogy ez a két tag összeadása folytatódni fog, amint további tagok adódnak az exaltált polinomhoz. Eszközök:

A polinom négyzete: az 1. tag négyzete, plusz az 1. és a 2. tag szorzatának kétszerese, plusz a 2. tag négyzete, plusz az első két tag és a 3. tag összegének kétszerese. tag, plusz a 3. tag négyzete, plusz az első három tag és a 4. tag összegének kétszerese, plusz a 4. tag négyzete stb. Természetesen a polinom tagjai negatívak is lehetnek.

156. Megjegyzés a jelekről. A végeredmény pluszjellel egyrészt a polinom összes tagjának négyzete lesz, másrészt pedig azok a duplázott szorzatok, amelyek az azonos előjelű tagok szorzatából származnak.

Példa.

157. Egész számok négyzetre emelése. A polinom négyzetének képletével bármely egész szám négyzetre emelhető másként is, mint a közönséges szorzással. Tegyük fel például, hogy négyzetre kell állítani 86 . Bontsuk ezt a számot számjegyekre:

86 \u003d 80 + 6 \u003d 8 dec. + 6 egység.

Most a két szám összegének négyzetének képletével felírhatjuk:

(8 dec. + 6 egység) 2 \u003d (8 dec.) 2 + 2 (8 dec.) (6 egység) + (6 egység) 2 .

Ennek az összegnek a gyors kiszámításához vegyük figyelembe, hogy a tízek négyzete százak (de lehetnek ezrek); például. 8 dec. négyzet alakú forma 64 száz, mert 80 2 = b400; a tízesek egységnyi szorzata tízesek (de lehetnek százak), pl. 3 dec. 5 egység \u003d december 15., mivel 30 5 \u003d 150; az egységek négyzete pedig egységek (de lehetnek tízesek), pl. 9 egység négyzet = 81 egység. Ezért kényelmesebb a számítást a következőképpen rendezni:

azaz először az első számjegy négyzetét írjuk (száz); e szám alá írjuk az első számjegy kettős szorzatát a másodikkal (tízesekkel), miközben ügyelünk arra, hogy ennek a szorzatnak az utolsó számjegye egy hellyel jobbra legyen a felső szám utolsó számjegyétől; tovább, ismét egy hellyel jobbra lépve az utolsó számjeggyel, tesszük a második számjegy négyzetét (egy); és az összes írt számot összeadjuk egy összeggel. Természetesen ezeket a számokat beilleszthetjük a megfelelő számú nullával, azaz írjuk így:

de ez hiába, ha csak helyesen írjuk alá a számokat egymás alá, minden alkalommal (az utolsó számjegyig) egy hellyel jobbra húzódva.

Legyen továbbra is szükséges négyzetre 238 . Mert:

238 = 2 száz. + 3 dec. + 8 egység, Azt

De a száznégyzet tízezreket ad (pl. 5 száz négyzet az 25 tízezret, mivel 500 2 = 250 000), a százak szorozva tízzel ezreseket (pl. 500 30 = 15 000) stb.

Példák.

Harmadik fejezet.

y = x 2 És y=ah 2 .

158. Függvény grafikonja y = x 2 . Lássuk, hogyan, mikor emelkedik a szám x a négyzet megváltozik x 2 (pl. egy négyzet oldalának megváltoztatása hogyan változtatja meg a területét). Ehhez először figyeljen a funkció alábbi jellemzőire y = x 2 .

A) Minden jelentésért x a függvény mindig lehetséges, és mindig csak egy meghatározott értéket kap. Például mikor x = - 10 függvény lesz (-10) 2 = 100 , nál nél
x =1000 függvény lesz 1000 2 =1 000 000 , stb.

b) Mert (- x ) 2 = x 2 , majd két értékre x , amelyek csak előjelekben különböznek egymástól, két azonos pozitív értéket kapunk nál nél ; például mikor x = - 2 és at x = + 2 jelentése nál nél pontosan ugyanaz lesz 4 . Negatív értékek ehhez nál nél soha nem sikerül.

V) Ha x abszolút értéke korlátlanul növekszik, akkor nál nél korlátlanul növekszik. Szóval, ha azért x korlátlanul növekvő pozitív értékek sorozatát adjuk meg: 1, 2, 3, 4... vagy korlátlanul csökkenő negatív értékek sorozatát: -1, -2, -3, -4..., majd a nál nél korlátlanul növekvő értékek sorozatát kapjuk: 1, 4, 9, 16, 25 ... Ezeket röviden úgy fejezzük ki, hogy amikor x = + ∞ és at x = - ∞ funkció nál nél kész + ∞ .

G) x nál nél . Tehát, ha az érték x = 2 , növeljük, tegyük, 0,1 (azaz helyett x = 2 vessünk x = 2,1 ), Ez nál nél ahelyett 2 2 = 4 egyenlővé válik

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .

Eszközök, nál nél -vel fog növekedni 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . Ha ugyanaz az érték x adjunk még kisebb növekményt, tegyük 0,01 , akkor y egyenlővé válik

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .

Tehát akkor y növekedni fog 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 , azaz kevésbé fog növekedni, mint korábban. Általában minél kisebb hányadát növeljük x , a kisebb szám növekszik nál nél . Így, ha azt képzeljük x folyamatosan növekszik (a 2-es értékből feltételezzük), áthaladva minden 2-nél nagyobb értéken, majd nál nél szintén folyamatosan növekszik, áthaladva minden 4-nél nagyobb értéken.

Mindezen tulajdonságok észlelése után elkészítjük a függvényértékek táblázatát y = x 2 például így:

Most ábrázoljuk ezeket az értékeket a rajzon pontokként, amelyek abszcisszái az írott értékek lesznek x , és az ordináták a megfelelő értékek nál nél (a rajzon a centimétert vettük hosszegységnek); a kapott pontokat egy görbe vázolja fel. Ezt a görbét parabolának nevezzük.

Nézzünk meg néhány tulajdonságát.

A) A parabola folytonos görbe, mivel az abszcissza folyamatos változásával x (pozitív és negatív irányban is) az ordináta, mint most láttuk, szintén folyamatosan változik.

b) A teljes görbe a tengely ugyanazon oldalán van x -ov, pontosan azon az oldalon, amelyen az ordináták pozitív értékei vannak.

V) A parabolát a tengely osztja fel nál nél -ov két részre (ágakra). Pont RÓL RŐL ahol ezek az ágak összefolynak, a parabola csúcsának nevezzük. Ez a pont az egyetlen közös a parabolában és a tengelyben x -ov; tehát ezen a ponton a parabola érinti a tengelyt x -ov.

G) Mindkét ág végtelen, hiszen x És nál nél korlátlanul növekedhet. Az ágak a tengelyből emelkednek ki x -s korlátlanul felfelé, egyúttal korlátlanul távolodva a tengelytől y -ov jobbra és balra.

e) Tengely y -ov a parabola szimmetriatengelyeként szolgál, így a rajzot e tengely mentén meghajlítva úgy, hogy a rajz bal fele a jobb oldalra esik, látni fogjuk, hogy mindkét ág egyesül; például egy pont, amelynek abszcissza - 2 és ordinátája 4, egybevágó lesz egy +2 abszcissza ponttal és ugyanazzal a 4-es ordinátával.

e) Nál nél x = 0 az ordináta is 0. Ennélfogva for x = 0 a függvénynek a lehető legkisebb értéke van. A függvénynek nincs a legnagyobb értéke, mivel a görbe ordinátái korlátlanul nőnek.

159. Az alak függvényének grafikonjay=ah 2 . Tegyük fel először azt A egy pozitív szám. Vegyük például ezt a 2 függvényt:

1) y= 1 1 / 2 x 2 ; 2) y= 1 / 3 x 2

Készítsünk táblázatokat ezeknek a függvényeknek az értékeiről, például a következőket:

Tegyük fel ezeket az értékeket a rajzra, és rajzoljuk meg a görbéket. Összehasonlításképpen a függvény egy másik grafikonját helyeztük el ugyanazon a rajzon (szaggatott vonal):

3) y=x 2

A rajzból látható, hogy ugyanazzal az abszcisszával az 1. görbe ordinátája 1 1 / 2 , szer több, és a 2. görbe ordinátája in 3 szor kisebb, mint a 3. görbe ordinátája. Ennek eredményeképpen minden ilyen görbének van általános jellege: végtelen folytonos ágak, szimmetriatengely stb., csak a > 1 a görbe ágai magasabbak, és mikor a< 1 jobban lehajlottak, mint a görbe y=x 2 . Az összes ilyen görbét parabolamoknak nevezzük.

Tegyük fel most, hogy az együttható A negatív szám lesz. Legyen pl. y=- 1 / 3 x 2 . Ennek a függvénynek a összehasonlítása ezzel: y = + 1 / 3 x 2 vegye figyelembe, hogy ugyanaz az érték x mindkét függvénynek azonos az abszolút értéke, de ellentétes előjelű. Ezért a függvény rajzában y=- 1 / 3 x 2 ugyanazt a parabolát kapjuk, mint a függvényre y= 1 / 3 x 2 csak a tengely alatt található x -ov szimmetrikus egy parabolával y= 1 / 3 x 2 . Ebben az esetben a függvény minden értéke negatív, kivéve egyet, amely egyenlő nullával x = 0 ; ez az utolsó érték a legnagyobb az összes közül.

Megjegyzés. Ha két változó közötti kapcsolat nál nél És x egyenlőséggel fejeződik ki: y=ah 2 , Ahol A valamilyen állandó számot, akkor azt mondhatjuk, hogy az érték nál nél arányos az érték négyzetével x , hiszen növekedéssel vagy csökkenéssel x 2-szer, 3-szor stb. érték nál nél 4-szeresére, 9-szeresére, 16-szorosára, stb. nő vagy csökken. Például egy kör területe π R 2 , Ahol R a kör sugara és π egy állandó szám (megközelítőleg 3,14); Ezért azt mondhatjuk, hogy a kör területe arányos a sugara négyzetével.

Negyedik fejezet.

Egytagú algebrai kifejezések kockává és egyéb hatványaira való felemelés.

160. Az előjelek szabálya fokra emeléskor. A relatív számokra vonatkozó szorzási szabályból az következik

(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;

(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;

(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;

(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = +l; stb.

Eszközök, ha negatív számot páros kitevőjű hatványra emelünk, akkor pozitív számot kapunk, páratlan kitevőjű hatványra emelve pedig negatív számot.

161. Emelkedés a szorzat fokára, fokára és törtére. A fok és a tört szorzatának bizonyos fokig történő emelésekor ugyanazt tehetjük, mint négyzetre emelésekor (). Így:

(abc) 3 \u003d (abc) (abc) (abc) \u003d abc abc \u003d (aaa) (bbb) (cc) \u003d a 3 b 3 c 3;

Ötödik fejezet.

A függvények grafikus ábrázolása: y = x 3 és y = ax 3 .

162. Függvény grafikonja y = x 3 . Vizsgáljuk meg, hogyan változik a kimagasló szám kocka a szám felemelésekor (például hogyan változik a kocka térfogata, ha a kocka éle megváltozik). Ehhez először a függvény alábbi jellemzőit jelezzük y = x 3 (a függvény tulajdonságaira emlékeztet y = x 2 , korábban már tárgyalt, ):

A) Minden jelentésért x funkció y = x 3 lehetséges és egyetlen jelentése van; tehát (+ 5) 3 \u003d +125 és a + 5 szám kocka nem lehet egyenlő más számmal. Hasonlóképpen, (- 0,1) 3 = - 0,001 és a -0,1 kocka nem egyezhet más számmal.

b) Két értékkel x , csak jelekben különbözik, a funkció x 3 olyan értékeket kap, amelyek szintén csak jelekben különböznek egymástól; szóval, at x = 2 funkció x 3 egyenlő 8, és at x = - 2 egyenlő azzal 8 .

V) Ha x növekszik, a függvény x 3 növekszik, és gyorsabban, mint x , és még gyorsabb is, mint x 2 ; tehát at

x = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. x 3 lesz = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...

G) Egy változó szám nagyon kis növekménye x a függvény nagyon kis növekményének felel meg x 3 . Tehát ha az érték x = 2 töredékével növekszik 0,01 , azaz ha ahelyett x = 2 vessünk x = 2,01 , majd a függvény nál nél nem fog 2 3 (azaz nem 8 ), A 2,01 3 , ami összege lesz 8,120601 . Tehát ez a függvény akkor növekedni fog 0,120601 . Ha az érték x = 2 még kevésbé növeli például azáltal 0,001 , Azt x 3 egyenlővé válik 2,001 3 , ami összege lesz 8,012006001 , és ezért, nál nél csak növekedni fog 0,012006001 . Látjuk tehát, hogy ha egy változó szám növekménye x egyre kevesebb lesz, akkor a növekedés x 3 egyre kevesebb lesz.

A függvény ezen tulajdonságának észrevétele y = x 3 Rajzoljuk meg a grafikonját. Ehhez először összeállítunk egy értéktáblázatot ehhez a függvényhez, például a következőket:

163. Függvény grafikonja y \u003d ax 3 . Vegyük ezt a két függvényt:

1) y= 1 / 2 x 3 ; 2) y = 2 x 3

Ha összehasonlítjuk ezeket a függvényeket egy egyszerűbbvel: y = x 3 , megjegyezzük, hogy ugyanaz az érték x az első függvény kétszer olyan kicsi értékeket kap, a második pedig kétszer akkora értékeket, mint a függvény y \u003d ax 3 , egyébként ez a három függvény hasonló egymáshoz. Grafikonjaik összehasonlítás céljából ugyanazon a rajzon láthatók. Ezeket a görbéket ún 3. fokú parabolák.

Hatodik fejezet.

A gyökérkivonás alapvető tulajdonságai.

164. Feladatok.

A) Keresse meg egy négyzet oldalát, amelynek területe megegyezik egy 16 cm alappal és 4 cm magas téglalap területével.

A kívánt négyzet oldalának jelölése a betűvel x (cm), a következő egyenletet kapjuk:

x 2 =16 4, azaz x 2 = 64.

Ezt így látjuk x van egy szám, amely a második hatványra emelve 64-et eredményez. Ezt a számot 64 második gyökének nevezzük. Ez egyenlő + 8-mal vagy -8-cal, mivel (+ 8) 2 \u003d 64 és (- 8) 2 \u003d 64. A negatív szám - 8 nem alkalmas a feladatunkra, mivel a négyzet oldalát közönséges számtani számmal kell kifejezni.

b) Az 1 kg 375 g (1375 g) súlyú ólomdarab kocka alakú. Mekkora ennek a kockának a széle, ha ismert, hogy 1 kocka. cm ólom 11 gramm?

Legyen a kocka élhossza x cm. Ekkor a térfogata egyenlő lesz x 3 kocka cm, súlya pedig 11 lesz x 3 G.

11x 3= 1375; x 3 = 1375: 11 = 125.

Ezt így látjuk x van egy szám, amely a harmadik hatványra emelve az 125 . Az ilyen számot hívják harmadik gyökér 125-ből. Ez, ahogy sejthető, egyenlő 5-tel, mivel 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125. Ezért a feladatban említett kocka széle 5 cm hosszú.

165. A gyökér meghatározása. A szám második gyöke (vagy négyzete). A olyan szám, amelynek négyzete egyenlő A . Tehát a 49 négyzetgyöke 7, és szintén - 7, mivel 7 2 = 49 és (- 7) 2 = 49. A szám harmadik fokú (köb) gyöke A olyan számnak nevezzük, amellyel a kocka egyenlő A . Tehát a -125 kockagyöke -5, mivel (-5) 3 =(-5)(-5)(-5)= -125.

Általában root n fokozat közül A hívott egy számot n-edik fokozat egyenlő A.

Szám n , azaz milyen fokon áll a gyök, nevezzük gyökérjelző.

A gyökeret a √ jellel jelöljük (a gyök jele, azaz a gyök jele). latin szó alapszám gyökeret jelent. Jel√ században vezették be először.. A vízszintes vonal alá írják azt a számot, amelyből a gyökér található (gyökszám), és a gyökérindex a szög furata fölé kerül. Így:

a 27 kockagyöke ..... 3 √27;

a 32 negyedik gyökét jelöljük... 3 √32.

A négyzetgyök kitevőt például egyáltalán nem szokás írni.

2 √16 helyett √16-ot írnak.

Azt a műveletet, amellyel a gyökér található, gyökérkivonásnak nevezzük; a fokos emelés ellentéte, hiszen ezzel a cselekvéssel megtaláljuk azt, ami a fokra emelés során adott, vagyis a fal alapja, és ami adott fokra emelésekor, nevezetesen a foka magát. Ezért a gyökér kinyerésének helyességét mindig bizonyos fokig emelve ellenőrizhetjük. Például ellenőrizni

egyenlőség: 3 √125 = 5, elég 5-öt kockává emelni: a 125 gyökszámot megkapva arra a következtetésre jutunk, hogy a 125-ös kockagyököt helyesen vettük ki.

166. Számtani gyök. Aritmetikai gyökérnek nevezzük, ha pozitív számból nyerjük ki, és maga is pozitív szám. Például a 49 számtani négyzetgyöke 7, míg a 7-es szám, amely egyben 49 négyzetgyöke is, nem nevezhető aritmetikainak.

A számtani gyök következő két tulajdonságát jelöljük.

a) Legyen szükséges a √49 aritmetika megtalálása. Egy ilyen gyök 7 lesz, mivel 7 2 \u003d 49. Tegyük fel magunknak a kérdést, hogy találhatunk-e más pozitív számot x , ami szintén √49 lenne. Tegyük fel, hogy létezik ilyen szám. Ekkor vagy 7-nél kisebbnek vagy 7-nél nagyobbnak kell lennie. Ha azt feltételezzük x < 7, то тогда и x 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что x >7, akkor x 2 >49. Ez azt jelenti, hogy egyetlen pozitív szám sem lehet √49, sem 7-nél kisebb, sem 7-nél nagyobb. Így egy adott számból egy adott fokszámnak csak egy számtani gyöke lehet.

Más következtetésre jutnánk, ha nem a gyökér pozitív jelentéséről beszélnénk, hanem valamiről; tehát √49 egyenlő a 7-es és a -7-es számmal, mivel mind a 7 2 = 49, mind a (- 7) 2 = 49.

b) Vegyünk például bármely két egyenlőtlen pozitív számot. 49 és 56. Miből 49< 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125

Valóban: 3 √64 = 4 és 3 √125 = 5 és 4< 5. Вообще kisebb pozitív szám kisebb számtani gyöknek felel meg (azonos fokozatú).

167. Algebrai gyök. Algebrai gyökérnek nevezzük, ha nem szükséges, hogy pozitív számból kinyerjük, és maga is pozitív legyen. Így ha a kifejezés alatt n √a természetesen algebrai gyök n fok, ez azt jelenti, hogy a szám A lehet pozitív és negatív is, és maga a gyökér lehet pozitív és negatív is.

Az algebrai gyökér alábbi 4 tulajdonságát jelöljük.

A) A pozitív szám páratlan gyöke pozitív szám .

Így, 3 √8 pozitív számnak kell lennie (ez egyenlő 2-vel), mivel a páratlan kitevőjű hatványra emelt negatív szám negatív számot ad.

b) A negatív szám páratlan gyöke negatív szám.

Így, 3 √-8 negatív számnak kell lennie (egyenlő -2-vel), mivel bármely hatványra emelt pozitív szám pozitív számot ad, nem negatívot.

V) Egy pozitív szám páros fokának gyökere két ellentétes előjelű és azonos abszolút értékű értékkel rendelkezik.

Igen, √ +4 = + 2 és √ +4 = - 2 , mert (+ 2 ) 2 = + 4 És (- 2 ) 2 = + 4 ; hasonló 4 √+81 = + 3 És 4 √+81 = - 3 , mert mindkét fokozat (+3) 4 És (-3) 4 azonos számmal egyenlők. A gyök kettős értékét általában úgy jelezzük, hogy a gyök abszolút értéke elé két előjelet teszünk; így írnak:

√4 = ± 2 ; √a 2 = ± a ;

G) Egy negatív szám páros gyöke nem lehet egyenlő semmilyen pozitív vagy negatív számmal. , mivel mindkettő páros kitevőjű hatványra emelése után pozitív számot ad, és nem negatívot. Például √ -9 nem egyenlő sem +3-mal, sem -3-mal vagy bármilyen más számmal.

A negatív szám páros gyökét képzeletbeli számnak nevezzük; a relatív számokat valós számoknak nevezzük, ill érvényes, számok.

168. Gyökér kinyerése szorzatból, fokból és töredékből.

A) Vegyük a szorzat négyzetgyökét abs . Ha négyzetre akarta tenni a szorzatot, akkor, amint láttuk (), minden tényezőt külön-külön négyzetre szabhat. Mivel a gyökér kinyerése a hatványra emelés inverze, arra kell számítanunk, hogy ahhoz, hogy egy szorzatból gyökot vonjunk ki, minden tényezőből külön-külön ki lehet vonni, azaz

√ABC = √a √b √c .

Ennek az egyenlőségnek a helyességének ellenőrzésére emeljük a jobb oldalát a négyzetre (a tétel szerint: a szorzat hatványra emelése ...):

(√a √b √c ) 2 = (√a ) 2 (√b ) 2 (√c ) 2

De a gyökér meghatározása szerint

(√a ) 2 = a, (√b ) 2 = b, (√c ) 2 = c

Ennélfogva

(√a √b √c ) 2 = abs .

Ha a szorzat négyzete √ a √b √c egyenlő abs , akkor ez azt jelenti, hogy a szorzat egyenlő a négyzetgyökével ABC .

Mint ez:

3 √ABC = 3 √a 3 √b 3 √c ,

(3 √a 3 √b 3 √c ) 3 = (3 √a ) 3 (3 √b ) 3 (3 √c ) 3 = ABC

Eszközök, a gyökér kinyeréséhez a termékből elegendő azt minden faktorból külön-külön kinyerni.

b) Könnyen ellenőrizhető, hogy a következő egyenlőségek igazak-e:

√a 4 = A 2 , mert (a 2 ) 2 = A 4 ;

3 √x 12 = x 4 , „ (x 4 ) 3 = x 12 ; stb.

Eszközök, egy olyan hatvány gyökének felvételéhez, amelynek kitevője osztható a gyök kitevőjével, eloszthatjuk a kitevőt a gyök kitevőjével.

V) A következő egyenlőségek is igazak lesznek:

Eszközök, tört gyökének kivonásához külön-külön használhatja a számlálót és a nevezőt.

Megjegyzendő, hogy ezekben az igazságokban azt feltételezzük, hogy az aritmetika gyökereiről beszélünk.

Példák.

1) √9a 4 b 6 = √9 √a 4 √b 6 = 3A 2 b 3 ;

2) 3 √125a 6 x 9 = 3 √125 3 √a 6 3 √x 9 = 5A 2 x 3

Megjegyzés Ha a páros fokozat kívánt gyökét feltételezzük algebrainak, akkor a talált eredményt kettős előjelnek kell megelőznie ± Tehát,

√9x 4 = ± 3x 2 .

169. A gyökök legegyszerűbb transzformációi,

A) A radikális jelének faktorálása. Ha a gyökkifejezést olyan faktorokra bontjuk, hogy némelyikből gyökér kinyerhető, akkor az ilyen faktorok a gyökér kinyerése után a gyökjel elé írhatók (a gyökjelből kivehetők).

1) √a 3 = √a 2 a = √a 2 √a = A √a .

2) √24a 4 x 3 = √4 6 a 4 x 2 x = 2a 2x √6x

3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2 x 3 x = 2x 3 √2 x

b) A tényezőket a radikális jele alá hozni. Néha hasznos, éppen ellenkezőleg, levonni az azt megelőző tényezőket a gyök jele alatt; ehhez elegendő az ilyen tényezőket olyan hatványra emelni, amelynek kitevője egyenlő a gyök kitevőjével, majd a faktorokat a gyök jele alá írjuk.

Példák.

1) A 2 √a = √(A 2 ) 2 a = √A 4 a = √a 5 .

2) 2x 3 √x = 3 √(2x ) 3 x = 3 √8x 3 x = 3 √8x 4 .

V) Szabadgyök kifejezés a nevezőkből. Mutassuk meg ezt a következő példákkal:

1) Alakítsa át a törtet úgy, hogy a négyzetgyök kivonható legyen a nevezőből. Ehhez szorozza meg a tört mindkét tagját 5-tel:

2) Szorozzuk meg a tört mindkét tagját ezzel 2 , tovább A és tovább x , azaz be 2Ó :

Megjegyzés. Ha az algebrai összegből ki kell vonni a gyökeret, akkor hiba lenne azt minden tagból külön-külön kivonni. Pl.√ 9 + 16 = √25 = 5 , míg
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; ezért a gyökér kivonása az összeadás (és a kivonás) tekintetében nem rendelkezik elosztó tulajdonsággal(valamint a fokozatos emelés, 2. szakasz 3. fejezet 61. §, megjegyzés).

Gratulálunk: ma a gyökereket elemezzük - a 8. osztály egyik legelgondolkodtatóbb témáját. :)

Sokan nem azért keverednek össze a gyökérrel kapcsolatban, mert bonyolultak (ami bonyolult - egy-két definíció és még néhány tulajdonság), hanem azért, mert a legtöbb iskolai tankönyvben a gyökerek olyan vadon keresztül vannak meghatározva, hogy csak maguk a tankönyvek szerzői tudják értsd meg ezt a firkálást. És akkor is csak egy üveg jó whiskyvel. :)

Ezért most megadom a gyökér leghelyesebb és legkompetensebb meghatározását - az egyetlent, amelyet valóban emlékeznie kell. És csak ezután fogom elmagyarázni: miért van szükség erre, és hogyan kell alkalmazni a gyakorlatban.

De először emlékezzen egy fontos pontra, amelyről valamilyen oknál fogva sok tankönyv-összeállító „feledkezik”:

A gyökök lehetnek páros fokozatúak (kedvenc $\sqrt(a)$, valamint bármilyen $\sqrt(a)$ és páros $\sqrt(a)$) és páratlan fokos (bármely $\sqrt(a)$ , $\ sqrt(a)$ stb.). A páratlan fok gyökének meghatározása pedig némileg eltér a párostól.

Valószínűleg itt van elrejtve a „kicsit más” a gyökerekkel kapcsolatos hibák és félreértések 95%-a. Tehát egyszer s mindenkorra tisztázzuk a terminológiát:

Meghatározás. Még root n a $a$ számból bármely nem negatív olyan $b$ szám, hogy $((b)^(n))=a$. És ugyanabból az $a$ számból származó páratlan fok gyöke általában bármely $b$ szám, amelyre ugyanaz az egyenlőség érvényes: $((b)^(n))=a$.

Mindenesetre a gyökér jelölése a következő:

\(a)\]

Az ilyen jelölésben szereplő $n$ számot gyökérkitevőnek, az $a$ számot pedig gyökkifejezésnek nevezzük. Konkrétan $n=2$ esetén megkapjuk a „kedvenc” négyzetgyökünket (ez egyébként páros fok gyöke), $n=3$ esetén pedig köbgyököt (páratlan fok), ami a problémákban és egyenletekben is gyakran megtalálható.

Példák. Klasszikus példák a négyzetgyökökre:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(igazítás)\]

Egyébként $\sqrt(0)=0$ és $\sqrt(1)=1$. Ez teljesen logikus, mivel $((0)^(2))=0$ és $((1)^(2))=1$.

A köbös gyökerek is gyakoriak - ne félj tőlük:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(igazítás)\]

Nos, néhány "egzotikus példa":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(igazítás)\]

Ha nem érti, mi a különbség a páros és a páratlan fok között, olvassa el újra a definíciót. Ez nagyon fontos!

Addig is megvizsgáljuk a gyökök egy kellemetlen tulajdonságát, ami miatt külön definíciót kellett bevezetnünk a páros és a páratlan kitevőkre.

Miért van szükségünk egyáltalán gyökerekre?

A definíció elolvasása után sok diák megkérdezi: „Mit szívtak a matematikusok, amikor ezt kitalálták?” És tényleg: miért van szükségünk ezekre a gyökerekre?

A kérdés megválaszolásához térjünk vissza egy pillanatra az általános iskolához. Ne feledjük: azokban a távoli időkben, amikor zöldebbek voltak a fák és finomabbak a gombócok, a fő gondunk az volt, hogy helyesen szorozzuk be a számokat. Nos, valami az "öt az öt - huszonöt" szellemében, ennyi. De végül is a számokat nem párban, hanem hármasban, négyesben és általában egész halmazban szorozhatja:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Azonban nem ez a lényeg. A trükk más: a matematikusok lusta emberek, így tíz ötös szorzását így kellett leírniuk:

Így jöttek a diplomák. Miért nem írja fel a faktorok számát felső indexként a hosszú karakterlánc helyett? Mint ez:

Nagyon kényelmes! Minden számítás többszörösére csökken, és nem költhet egy csomó pergamenfüzetet egy 5 183 írásra. Az ilyen bejegyzést egy szám fokának nevezték, egy csomó tulajdonságot találtak benne, de a boldogság rövid életűnek bizonyult.

Egy grandiózus pia után, amelyet éppen a fokozatok „felfedezése” kapcsán szerveztek, néhány különösen megkövült matematikus hirtelen megkérdezte: „Mi van akkor, ha ismerjük egy szám fokszámát, de magát a számot nem?” Valóban, ha tudjuk, hogy például egy bizonyos $b$ szám 243-at ad az 5. hatványnak, akkor hogyan lehet kitalálni, hogy maga a $b$ mekkora számmal egyenlő?

Ez a probléma sokkal globálisabbnak bizonyult, mint amilyennek első pillantásra tűnhet. Mert kiderült, hogy a „kész” diplomák többségénél nincsenek ilyen „kezdeti” számok. Ítéld meg magad:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Jobbra b=4\cdot 4\cdot 4\Jobbra b=4. \\ \end(igazítás)\]

Mi van, ha $((b)^(3))=50 $? Kiderült, hogy meg kell találni egy bizonyos számot, amelyet háromszor megszorozva 50-et kapunk. De mi ez a szám? Egyértelműen nagyobb, mint 3, mert 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. I.e. ez a szám valahol három és négy között van, de mi egyenlő - ÁBRA, azt meg fogja érteni.

Pontosan ez az oka annak, hogy a matematikusok $n$-edik gyököket találtak ki. Ezért vezették be a radikális $\sqrt(*)$ ikont. Ugyanazon szám jelölésére $b$, amely a megadott hatványon egy korábban ismert értéket ad

\[\sqrt[n](a)=b\Jobbra ((b)^(n))=a\]

Nem vitatom: ezeket a gyökereket gyakran könnyen megfontolják – több ilyen példát láttunk fent. De ennek ellenére a legtöbb esetben, ha egy tetszőleges számra gondolsz, majd megpróbálod kiszedni belőle egy tetszőleges fokozat gyökét, akkor kegyetlen balhé lesz.

Mi van ott! Még a legegyszerűbb és legismertebb $\sqrt(2)$ sem ábrázolható a megszokott formában - egész számként vagy törtként. És ha ezt a számot beüti egy számológépbe, ezt fogja látni:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Mint látható, a tizedesvessző után végtelen számsor következik, amely nem engedelmeskedik semmilyen logikának. Természetesen ezt a számot kerekítheti, hogy gyorsan összehasonlíthassa más számokkal. Például:

\[\sqrt(2)=1,4142...\kb. 1,4 \lt 1,5\]

Vagy itt van egy másik példa:

\[\sqrt(3)=1,73205...\kb. 1,7 \gt 1,5\]

De mindezek a kerekítések először is meglehetősen durvaak; másodszor pedig hozzávetőleges értékekkel is tudni kell dolgozni, különben egy rakás nem nyilvánvaló hibát elkaphat (egyébként a profilvizsgán feltétlenül ellenőrzik az összehasonlítás és a kerekítés készségét).

Ezért a komoly matematikában nem nélkülözhetjük a gyököket - ezek ugyanazok a valós számok $\mathbb(R)$ halmazának egyenlő képviselői, mint a törtek és egészek, amelyeket régóta ismerünk.

A gyökér $\frac(p)(q)$ törtrészeként való ábrázolásának lehetetlensége azt jelenti, hogy ez a gyök nem racionális szám. Az ilyen számokat irracionálisnak nevezzük, és nem lehet pontosan ábrázolni, csak egy gyök, vagy más, kifejezetten erre a célra kialakított konstrukció (logaritmus, fok, határérték stb.) segítségével. De erről majd máskor.

Vegyünk néhány példát, ahol az összes számítás után az irracionális számok továbbra is megmaradnak a válaszban.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\kb. 2236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\approx -1,2599... \\ \end(align)\]

Természetesen a gyök megjelenése alapján szinte lehetetlen kitalálni, hogy mely számok jönnek a tizedesvessző után. Számológéppel azonban lehet számolni, de a legfejlettebb dátumkalkulátor is csak az irracionális szám első néhány számjegyét adja meg. Ezért sokkal helyesebb a válaszokat $\sqrt(5)$ és $\sqrt(-2)$ formában írni.

Erre találták ki. Hogy könnyebb legyen leírni a válaszokat.

Miért van szükség két definícióra?

A figyelmes olvasó valószínűleg már észrevette, hogy a példákban szereplő összes négyzetgyök pozitív számokból származik. Nos, legalábbis a nulláról. De a kockagyökereket nyugodtan kivonják abszolút bármilyen számból - még pozitívakból is, még negatívakból is.

Miért történik ez? Vessen egy pillantást a $y=((x)^(2))$ függvény grafikonjára:

A másodfokú függvény grafikonja két gyöket ad: pozitív és negatív

Próbáljuk meg kiszámítani a $\sqrt(4)$ értékét ezzel a grafikonnal. Ehhez a grafikonon egy $y=4$ vízszintes vonalat húzunk (pirossal jelölve), amely két pontban metszi a parabolát: $((x)_(1))=2$ és $((x) _(2)) =-2$. Ez teljesen logikus, hiszen

Minden világos az első számmal - ez pozitív, ezért ez a gyökér:

De akkor mi a teendő a második ponttal? A 4-nek két gyökere van egyszerre? Hiszen ha a −2 számot négyzetre emeljük, akkor 4-et is kapunk. Miért nem írunk akkor $\sqrt(4)=-2$? És miért néznek a tanárok az ilyen lemezeket úgy, mintha meg akarnának enni? :)

Az a baj, hogy ha nem szabnak további feltételeket, akkor a négynek két négyzetgyöke lesz - pozitív és negatív. És bármely pozitív számnak kettő is lesz belőle. De a negatív számoknak egyáltalán nem lesz gyökere - ez ugyanabból a grafikonból látható, mivel a parabola soha nem esik a tengely alá y, azaz nem vesz fel negatív értékeket.

Hasonló probléma jelentkezik minden páros kitevővel rendelkező gyökérnél:

1. Szigorúan véve minden pozitív számnak két gyöke lesz páros kitevővel $n$;
2. Negatív számokból a páros $n$ gyökér egyáltalán nem kerül kivonásra.

Éppen ezért a páros gyök $n$ definíciója kifejezetten előírja, hogy a válasznak egy nem negatív számnak kell lennie. Így megszabadulunk a kétértelműségtől.

De páratlan $n$ esetén nincs ilyen probléma. Ennek megtekintéséhez nézzük meg a $y=((x)^(3))$ függvény grafikonját:

A köbös parabola tetszőleges értéket vesz fel, így a kockagyök tetszőleges számból vehető

Ebből a grafikonból két következtetés vonható le:

1. A köbös parabola ágai a szokásostól eltérően mindkét irányban a végtelenbe mennek - felfelé és lefelé egyaránt. Ezért bármilyen magasságban húzunk egy vízszintes vonalat, ez a vonal mindenképpen metszi a grafikonunkat. Ezért a kockagyök mindig vehető, abszolút bármilyen számból;
2. Ráadásul egy ilyen kereszteződés mindig egyedi lesz, így nem kell azon gondolkodnia, hogy melyik számot tekintse „helyes” gyökérnek, és melyiket pontozza. Éppen ezért a gyökök meghatározása a páratlan fokra egyszerűbb, mint a párosra (nincs nem negativitás követelménye).

Kár, hogy ezeket az egyszerű dolgokat a legtöbb tankönyv nem magyarázza el. Ehelyett az agyunk szárnyalni kezd mindenféle számtani gyökérrel és azok tulajdonságaival.

Igen, nem vitatom: mi az aritmetikai gyök - azt is tudni kell. És erről részletesen egy külön leckében fogok beszélni. Ma erről is lesz szó, mert enélkül a $n$-edik multiplicitás gyökereire vonatkozó minden reflexió hiányos lenne.

De először világosan meg kell értened a fentebb megadott definíciót. Ellenkező esetben a kifejezések bősége miatt olyan zűrzavar kezdődik a fejedben, hogy a végén már egyáltalán nem értesz semmit.

És csak annyit kell értened, hogy mi a különbség a páros és a páratlan számok között. Ezért ismét összegyűjtünk mindent, amit valóban tudnia kell a gyökerekről:

1. Páros gyök csak nemnegatív számból létezik, és maga is mindig nemnegatív szám. Negatív számok esetén az ilyen gyök definiálatlan.
2. De a páratlan fok gyöke bármely számból létezik, és maga is tetszőleges szám lehet: pozitív számok esetén pozitív, negatív számok esetén pedig, ahogy a sapka utal, negatív.

Ez bonyolult? Nem, nem nehéz. Ez egyértelmű? Igen, ez nyilvánvaló! Ezért most egy kicsit gyakoroljuk a számításokat.

Alapvető tulajdonságok és korlátozások

A gyökereknek sok furcsa tulajdonsága és korlátozása van - ez külön lecke lesz. Ezért most csak a legfontosabb "chipet" fogjuk figyelembe venni, amely csak az egyenletes kitevővel rendelkező gyökerekre vonatkozik. Ezt a tulajdonságot egy képlet formájában írjuk le:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\jobbra|\]

Vagyis ha egy számot páros hatványra emelünk, majd ebből kivonjuk az azonos fokú gyökét, akkor nem az eredeti számot, hanem annak modulusát kapjuk. Ez egy egyszerű tétel, amelyet könnyű bizonyítani (elegendő külön figyelembe venni a nem negatív $x$-okat, majd külön figyelembe venni a negatívakat). A tanárok folyamatosan beszélnek róla, minden iskolai tankönyvben szerepel. De amint az irracionális egyenletek (vagyis a gyökjelet tartalmazó egyenletek) megoldására kerül sor, a tanulók együtt elfelejtik ezt a képletet.

A probléma részletes megértéséhez felejtsük el az összes képletet egy percre, és próbáljunk meg két számot előre számolni:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=?\]

Ezek nagyon egyszerű példák. Az első példát a legtöbb ember meg fogja oldani, de a másodiknál ​​sokan ragaszkodnak. Minden ilyen szar problémamentes megoldásához mindig vegye figyelembe az eljárást:

1. Először a számot a negyedik hatványra emeljük. Nos, ez valahogy könnyű. Új számot kapunk, amely még a szorzótáblában is megtalálható;
2. És most ebből az új számból ki kell vonni a negyedik fokozat gyökerét. Azok. nincs gyökerek és fokozatok „redukciója” – ezek egymás után következő műveletek.

Foglalkozzunk az első kifejezéssel: $\sqrt(((3)^(4)))$. Nyilvánvalóan először ki kell számítania a gyökér alatti kifejezést:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Ezután kivonjuk a 81-es szám negyedik gyökerét:

Most tegyük ugyanezt a második kifejezéssel. Először a −3 számot a negyedik hatványra emeljük, amelyhez meg kell szoroznunk önmagával 4-szer:

\[((\left(-3 \right))^(4))=\left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \ bal (-3 \jobb)=81\]

Pozitív számot kaptunk, mivel a műben összesen 4 db mínusz van, és ezek mind kioltják egymást (elvégre a mínusz a mínuszhoz pluszt ad). Ezután ismét bontsa ki a gyökeret:

Ezt a sort elvileg nem lehetne megírni, mert nem hinném, hogy ugyanaz lesz a válasz. Azok. ugyanazon páros teljesítmény páros gyöke "égeti" a mínuszokat, és ebben az értelemben az eredmény megkülönböztethetetlen a szokásos modultól:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\left| 3\jobbra|=3; \\ & \sqrt(((\left(-3 \right))^(4)))=\left| -3 \jobbra|=3. \\ \end(igazítás)\]

Ezek a számítások jól illeszkednek a páros fok gyökének meghatározásához: az eredmény mindig nem negatív, és a gyökjel is mindig nem negatív szám. Ellenkező esetben a gyökér nincs meghatározva.

Megjegyzés a műveletek sorrendjéhez

1. A $\sqrt(((a)^(2)))$ jelölés azt jelenti, hogy először négyzetre tesszük az $a$ számot, majd vesszük a kapott érték négyzetgyökét. Ezért biztosak lehetünk abban, hogy a gyökérjel alatt mindig egy nem negatív szám ül, hiszen $((a)^(2))\ge 0$ amúgy is;
2. De a $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$ jelölés éppen ellenkezőleg azt jelenti, hogy egy bizonyos $a$ számból először kivonjuk a gyökért, és csak azután négyzetesre vesszük az eredményt. Ezért az $a$ szám semmi esetre sem lehet negatív – ez a definícióba ágyazott kötelező követelmény.

Így semmi esetre sem szabad meggondolatlanul redukálni a gyökereket és a fokozatokat, ezzel állítólag "leegyszerűsítve" az eredeti kifejezést. Mert ha a gyök alatt negatív szám van, és a kitevője páros, akkor sok problémát kapunk.

Mindezek a problémák azonban csak a páros mutatók esetében relevánsak.

Mínusz jel eltávolítása a gyökérjel alól

Természetesen a páratlan kitevővel rendelkező gyököknek is megvan a saját jellemzőjük, ami elvileg nem létezik a párosoknál. Ugyanis:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Röviden: a páratlan fok gyökereinek jele alól kivehetsz egy mínuszt. Ez egy nagyon hasznos tulajdonság, amely lehetővé teszi az összes mínusz "kidobását":

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \right)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(igazítás)\]

Ez az egyszerű tulajdonság nagyban leegyszerűsíti számos számítást. Most már nem kell aggódnia: mi van, ha egy negatív kifejezés a gyökér alá kerül, és a gyökér foka párosnak bizonyul? Elég "kidobni" az összes mínuszt a gyökereken kívül, ami után egymás szaporodhatnak, feloszthatók és általában sok gyanús dolgot csinálhatnak, ami a "klasszikus" gyökerek esetében garantáltan hibához vezet. .

És itt egy másik meghatározás lép színre – az, amellyel a legtöbb iskola elkezdi az irracionális kifejezések tanulmányozását. És ami nélkül érvelésünk hiányos lenne. Találkozik!

számtani gyök

Tegyük fel egy pillanatra, hogy a gyökjel alatt csak pozitív számok, vagy szélsőséges esetben nulla lehet. Pontozzuk a páros / páratlan mutatókat, pontozzuk az összes fent megadott definíciót - csak nem negatív számokkal dolgozunk. Akkor mit?

És akkor megkapjuk az aritmetikai gyökeret - részben metszi a "szabványos" definícióinkat, de mégis eltér tőlük.

Meghatározás. Egy nemnegatív $a$ szám $n$-edik fokának számtani gyöke egy $b$ nemnegatív szám, így $((b)^(n))=a$.

Mint látható, minket már nem érdekel a paritás. Ehelyett egy új megszorítás jelent meg: a radikális kifejezés mostantól mindig nem negatív, és maga a gyök is nem negatív.

Hogy jobban megértsük, miben tér el az aritmetikai gyök a megszokottól, vessünk egy pillantást a számunkra már ismert négyzet- és köbparabola grafikonokra:

Gyökér keresési terület - nem negatív számok

Mint látható, ezentúl csak azok a grafikonok érdekelnek, amelyek az első koordinátanegyedben találhatók - ahol a $x$ és $y$ koordináták pozitívak (vagy legalább nullák). Többé nem kell a mutatót nézni, hogy megértsük, jogunk van-e negatív szám gyökerezésére vagy sem. Mert a negatív számokat elvileg már nem veszik figyelembe.

Felteheti a kérdést: „Nos, miért van szükségünk ilyen kasztrált meghatározásra?” Vagy: "Miért nem boldogulunk a fent megadott standard definícióval?"

Nos, csak egy tulajdonságot adok meg, ami miatt az új meghatározás megfelelővé válik. Például a hatványozási szabály:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Figyelem: a gyökkifejezést tetszőleges hatványra emelhetjük, ugyanakkor a gyökkitevőt megszorozhatjuk ugyanennyi hatványral – és az eredmény ugyanannyi lesz! Íme néhány példa:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Nos, mi a baj ezzel? Miért nem tudtuk megtenni korábban? Íme, miért. Tekintsünk egy egyszerű kifejezést: a $\sqrt(-2)$ egy olyan szám, amely a mi klasszikus értelemben teljesen normális, de az aritmetikai gyök szempontjából abszolút elfogadhatatlan. Próbáljuk meg konvertálni:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \right))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Mint látható, az első esetben a mínuszt vettük ki a gyök alól (minden jogunk van, mert a mutató páratlan), a második esetben a fenti képletet használtuk. Azok. a matematika szempontjából minden a szabályok szerint történik.

WTF?! Hogyan lehet ugyanaz a szám pozitív és negatív is? Semmiképpen. Csak hát a pozitív számokra és nullára remekül működő hatványozási képlet negatív számok esetén teljes eretnekséget kezd adni.

Itt, hogy megszabaduljanak az ilyen kétértelműségtől, számtani gyököket találtak ki. Külön nagy leckét szentelnek nekik, ahol részletesen megvizsgáljuk minden tulajdonságukat. Tehát most nem foglalkozunk velük – a lecke amúgy is túl hosszúnak bizonyult.

Algebrai gyök: azoknak, akik többet szeretnének tudni

Sokáig gondolkodtam: külön bekezdésbe tenni ezt a témát vagy sem. Végül úgy döntöttem, elmegyek innen. Ez az anyag azoknak szól, akik még jobban szeretnék megérteni a gyökereket - már nem az átlagos „iskolai”, hanem az olimpiához közeli szinten.

Tehát: a számból származó $n$-edik fok gyökének "klasszikus" definíciója és a páros és páratlan mutatókra való felosztása mellett létezik egy "felnőttebb" definíció is, amely nem függ a paritástól, ill. egyáltalán egyéb finomságok. Ezt algebrai gyökérnek nevezzük.

Meghatározás. Bármely $a$ algebrai $n$-edik gyöke a $b$ összes szám halmaza úgy, hogy $((b)^(n))=a$. Az ilyen gyökerekre nincs jól bevált jelölés, ezért csak tegyünk egy kötőjelet a tetejére:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\left\(b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \jobbra. \jobbra\) \]

Az alapvető különbség a lecke elején adott standard definícióhoz képest, hogy az algebrai gyök nem egy konkrét szám, hanem egy halmaz. És mivel valós számokkal dolgozunk, ez a halmaz csak háromféle:

1. Üres készlet. Akkor fordul elő, ha meg kell találni egy páros fokú algebrai gyökét egy negatív számból;
2. Egyetlen elemből álló készlet. A páratlan hatványok minden gyökere, valamint a nullától származó páros hatványok gyökere ebbe a kategóriába tartozik;
3. Végül a halmaz két számot tartalmazhat – ugyanazt a $((x)_(1))$ és $((x)_(2))=-((x)_(1))$, amelyet a diagram másodfokú függvény. Ennek megfelelően egy ilyen igazítás csak akkor lehetséges, ha egy pozitív számból egy páros fok gyökét vonjuk ki.

Az utolsó eset részletesebb vizsgálatot érdemel. Nézzünk meg néhány példát, hogy megértsük a különbséget.

Példa. Kifejezések kiszámítása:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Megoldás. Az első kifejezés egyszerű:

\[\overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \right\)\]

Ez két szám, amely a halmaz részét képezi. Mert mindegyik négyzetes négyzetet ad.

\[\overline(\sqrt(-27))=\left\( -3 \right\)\]

Itt csak egy számból álló halmazt látunk. Ez teljesen logikus, mivel a gyökér kitevője páratlan.

Végül az utolsó kifejezés:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Van egy üres készletünk. Mert nincs egyetlen valós szám sem, amelyet a negyedik (vagyis páros!) Hatványra emelve negatív számot kapunk −16.

Végső megjegyzés. Figyelem: nem véletlenül jegyeztem meg mindenhol, hogy valós számokkal dolgozunk. Mert vannak komplex számok is - ott teljesen ki lehet számítani $\sqrt(-16)$ és sok más furcsa dolgot.

A matematika modern iskolai tantervében azonban szinte soha nem találhatók meg komplex számok. A legtöbb tankönyvből kimaradtak, mert tisztviselőink szerint a téma "túl nehezen érthető".

Ez minden. A következő leckében megvizsgáljuk a gyökök összes kulcsfontosságú tulajdonságát, és végül megtanuljuk, hogyan kell egyszerűsíteni az irracionális kifejezéseket. :)

Példák:

\(\sqrt(16)=2\), mert \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) , mert \((-\frac(1)(5) ) ^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

Hogyan kell kiszámítani az n-edik fok gyökerét?

A \(n\)-edik gyökér kiszámításához fel kell tennünk magunknak a kérdést: a \(n\)-edik fokozat hány számot ad a gyökér alatt?

Például. Számítsa ki a \(n\)-edik gyökért: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0,00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

a) A \(4\)-edik hatvány melyik szám adja a \(16\)-t? Nyilvánvalóan \(2\). Ezért:

b) A \(3\)-edik hatvány melyik szám adja a \(-64\)-t?

\(\sqrt(-64)=-4\)

c) Az \(5\)-edik hatvány melyik szám adja a \(0,00001\)-t?

\(\sqrt(0,00001)=0,1\)

d) Milyen szám adja a \(3\)-edik fokozathoz a \(8000\) értéket?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) A \(4\)-edik hatvány melyik szám adja a \(\frac(1)(81)\)-t?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

A legegyszerűbb példákat vettük figyelembe \(n\)-edik fokú gyökkel. A \(n\)-edik fokú gyökök bonyolultabb problémáinak megoldásához elengedhetetlen ezek ismerete.

Példa. Kiszámítja:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\)		Jelenleg egyik gyökér sem számítható ki. Ezért alkalmazzuk a gyökér \(n\)-edik fokának tulajdonságait, és átalakítjuk a kifejezést. \(\frac(\sqrt(-64))(\sqrt(2))\)\(=\)\(\sqrt(\frac(-64)(2))\) \(=\)\(\sqrt(-32)\), mert \(\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))\)\(=\)\(\sqrt[n](\frac(a)(b))\)
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\)		Rendezzük át a tényezőket az első tagban úgy, hogy a négyzetgyök és a \(n\)-edik fok gyöke egymás mellett legyen. Ez megkönnyíti a tulajdonságok alkalmazását. Az \(n\)-edik gyök legtöbb tulajdonsága csak azonos fokú gyökök esetén működik. És kiszámítjuk az 5. fok gyökerét.
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\)		Alkalmazza a \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) tulajdonságot, és bontsa ki a zárójelet
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\)		\(\sqrt(81)\) és \(\sqrt(-27)\) kiszámítása
\(=9\cdot(-3)+5=-27+5=-22\)

Az n-edik gyök és a négyzetgyök összefügg?

Mindenesetre bármely fok gyökere csak egy szám, bár számodra szokatlan formában van írva.

Az n-edik gyök szingularitása

Egy \(n\)-edik gyök páratlan \(n\)-vel tetszőleges számból vehető, akár negatív is (lásd a példákat az elején). De ha \(n\) páros (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), akkor az ilyen gyökér csak akkor kerül kibontásra, ha \( a ≥ 0\) (egyébként a négyzetgyöknek is ugyanaz). Ez annak a ténynek köszönhető, hogy a gyökér kinyerése a hatványozás ellentéte.

És páros hatványra emelve még egy negatív szám is pozitív lesz. Valóban, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Ezért nem kaphatunk negatív számot a páros fok gyöke alatt. Ez azt jelenti, hogy negatív számból nem vonhatunk ki ilyen gyöket.

A páratlan hatványnak nincsenek ilyen korlátozásai – a páratlan hatványra emelt negatív szám negatív marad: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) ) \ cdot(-2)=-32\). Ezért a páratlan fok gyöke alatt negatív számot kaphat. Ez azt jelenti, hogy negatív számból is ki lehet vonni.