Korijen stupnja n: osnovne definicije. Korijen n: osnovne definicije Napomena o redoslijedu operacija

Prvo poglavlje.

Podizanje na kvadrat jednočlanih algebarskih izraza.

152. Određivanje stupnja. Podsjetimo se da je umnožak dva ista broja aa naziva se druga potencija (ili kvadrat) broja A , umnožak tri ista broja ahh naziva treća potencija (ili kub) broja A ; opći rad n isti brojevi Ah ah nazvao n -ti stupanj broja A . Radnja kojom se nalazi potencija zadanog broja naziva se dizanje na potenciju (drugu, treću itd.). Faktor koji se ponavlja naziva se baza stupnja, a broj istih faktora naziva se eksponent.

Stupnjevi su skraćeno na sljedeći način: a 2 a 3 a 4 ... itd.

Najprije ćemo govoriti o najjednostavnijem slučaju potenciranja, naime podići se na kvadrat; a zatim ćemo razmotriti uzdizanje na druge stupnjeve.

153. Pravilo znakova pri uzdizanju u kvadrat. Iz pravila množenja relativnih brojeva slijedi:

(+2) 2 =(+2) (+2) = + 4; (+ 1 / 3) 2 =(+ 1 / 3)(+ 1 / 3) = + 1 / 9 ;

(-2) 2 =(-2) (-2) = + 4; (- 1 / 3) 2 =(- 1 / 3)(- 1 / 3) = + 1 / 9

(+a) 2 =(+a) (+a) = +a 2

(-a) 2 =(-a) (-a) = +a 2

Dakle, kvadrat bilo kojeg relativnog broja je pozitivan broj.

154. Podizanje na kvadrat umnoška, ​​stupnja i razlomka.

A) Neka se traži kvadriranje umnoška nekoliko faktora, na primjer. trbušnjaci . To znači da je potrebno trbušnjaci pomnožiti sa trbušnjaci . Ali da pomnožimo umnoškom trbušnjaci , možete pomnožiti množenik sa A , pomnožite rezultat s b a čime se može pomnožiti S .

(abc) 2 = (abc) (abc) = (abc) abc = abcabc

(zadnje zagrade smo izbacili jer to ne mijenja značenje izraza). Sada, koristeći asocijativno svojstvo množenja (odjeljak 1 § 34, b), grupiramo faktore na sljedeći način:

(aa) (bb) (ss),

što se može skraćeno označiti kao: a 2 b 2 c 2 .

Sredstva, da biste kvadrirali proizvod, možete kvadrirati svaki faktor zasebno
(Da skratim govor, ovo pravilo, kao i sljedeće, nije do kraja izraženo; treba dodati i: „i umnožiti dobivene rezultate“. Dodatak ovoga se nameće sam po sebi..)

Tako:

(3/4 xy) 2 = 9/16 x 2 y 2 ; (- 0,5 mn) 2 = + 0,25 m 2 n 2; i tako dalje.

b) Neka se zahtijeva neka diploma, na primjer. a 3 , na kvadrat. To se može učiniti ovako:

(a 3) 2 \u003d a 3 a 3 \u003d a 3 + 3 \u003d a 6.

Kao ovo: (x 4) 2 = x 4 x 4 = x 4+4 = x 8

Sredstva, Da biste kvadrirali eksponent, možete pomnožiti eksponent s 2 .

Dakle, primjenom ova dva pravila, mi ćemo, na primjer, imati:

(- 3 3 / 4 a x 2 y 3) 2 = (- 3 3 / 4) 2 a 2 (x 2) 2 (y 3) 2 = 225 / 2 a 2 x 4 y 6

V) Pretpostavimo da je potrebno kvadrirati neki razlomak a / b . Tada, primjenom pravila množenja razlomka razlomkom, dobivamo:

Sredstva, Da biste kvadrirali razlomak, možete odvojeno kvadrirati brojnik i nazivnik.

Primjer.

Drugo poglavlje.

Kvadriranje polinoma.

155. Izvođenje formule. Upotrebom formule (odjeljak 2, poglavlje 3, § 61):

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,

možemo kvadrirati trinom a + b + c , smatrajući to binomom (a + b) + c :

(a + b + c) 2 = [(a + b) + c] 2 = (a + b) 2 + 2(a + b)c + c 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2

Dakle, s dodatkom na binom a + b treći član S nakon elevacije kvadratu su dodana 2 člana: 1) dvostruki umnožak zbroja prva dva člana s trećim članom i 2) kvadrat trećeg člana. Primijenimo sada na trinom a + b + c četvrti član d a četverokut podići a + b + c + d na kvadrat, uzimajući zbroj a + b + c za jednog člana.

(a + b + c + d) 2 = [(a + b + c) + d] 2 = (a + b + c) 2 + 2(a + b + c)d + d 2

Zamjena umjesto (a + b + c) 2 nalazimo izraz koji smo dobili gore:

(a + b + c + d) 2 = a 2 + 2ab + b 2 + 2(a + b)c + c 2 + 2(a + b + c)d + d 2

Opet primjećujemo da se dodatkom novog člana uzvišenom polinomu u njegovom kvadratu dodaju 2 člana: 1) dvostruki umnožak zbroja prethodnih članova i novog člana i 2) kvadrat novog člana. Očito, ovo dodavanje dvaju članova nastavit će se kako se više članova bude dodavalo uzvišenom polinomu. Sredstva:

Kvadrat polinoma je: kvadrat 1. člana, plus dva puta umnožak 1. člana i 2. člana, plus kvadrat 2. člana, plus dvostruki umnožak zbroja prva dva člana i 3. člana, plus kvadrat 3. člana, plus dva puta umnožak zbroja prva tri člana i 4. člana, plus kvadrat 4. člana, itd. Naravno, članovi polinoma mogu biti i negativni.

156. Bilješka o znakovima. Konačni rezultat s predznakom plus bit će, prvo, kvadrati svih članova polinoma i, drugo, oni udvostručeni umnošci koji su nastali množenjem članova s ​​istim predznacima.

Primjer.

157. Skraćeno kvadriranje cijelih brojeva. Koristeći formulu za kvadrat polinoma, moguće je kvadrirati bilo koji cijeli broj drugačije nego običnim množenjem. Pretpostavimo, na primjer, da se traži kvadrat 86 . Rastavimo ovaj broj na znamenke:

86 \u003d 80 + 6 \u003d 8 dek. + 6 jedinica.

Sada, koristeći formulu za kvadrat zbroja dvaju brojeva, možemo napisati:

(8 dek. + 6 jedinica) 2 \u003d (8 dek.) 2 + 2 (8 dek.) (6 jedinica) + (6 jedinica) 2 .

Da bismo brzo izračunali ovaj zbroj, uzmimo u obzir da je kvadrat desetica stotica (ali može biti i tisuća); npr. 8 pro. kvadratni oblik 64 stotine, jer 80 2 = b400; umnožak desetica s jedinicama je desetica (ali može biti i stotina), npr. 3 pro. 5 jedinica \u003d 15 dec, od 30 5 \u003d 150; a kvadrat jedinica je jedinica (ali može biti i desetica), npr. 9 jedinica na kvadrat = 81 jedinica. Stoga je prikladnije organizirati izračun na sljedeći način:

tj. prvo napišemo kvadrat prve znamenke (stotice); ispod ovog broja upisujemo dvostruki umnožak prve znamenke s drugom (desetice), pri čemu pazimo da je zadnja znamenka tog umnoška jedno mjesto desno od zadnje znamenke gornjeg broja; dalje, ponovno korak nazad jedno mjesto udesno s posljednjom znamenkom, stavljamo kvadrat druge znamenke (jedan); a sve napisane brojeve zbrojite u jedan zbroj. Naravno, ove brojeve bi mogli dodati odgovarajućim brojem nula, tj. pisati ovako:

ali to je beskorisno ako brojeve samo ispravno potpisujemo jedan ispod drugoga, povlačeći se svaki put (za posljednju znamenku) jedno mjesto udesno.

Neka se i dalje zahtijeva kvadrat 238 . Jer:

238 = 2 stotine. + 3 dek. + 8 jedinica, To

Ali stotine na kvadrat daju desetke tisuća (npr. 5 stotina na kvadrat je 25 desetaka tisuća, budući da je 500 2 = 250 000), stotine puta desetice daju tisuće (npr. 500 30 = 15 000), itd.

Primjeri.

Treće poglavlje.

y = x 2 I y=ah 2 .

158. Graf funkcije y = x 2 . Da vidimo kako, kada se broj podiže x trg se mijenja x 2 (npr. kako se promjenom stranice kvadrata mijenja njegova površina). Da biste to učinili, prvo obratite pozornost na sljedeće značajke funkcije y = x 2 .

A) Za svaki smisao x funkcija je uvijek moguća i uvijek prima samo jednu definiranu vrijednost. Na primjer, kada x = - 10 funkcija će (-10) 2 = 100 , na
x =1000 funkcija će 1000 2 =1 000 000 , i tako dalje.

b) Jer (- x ) 2 = x 2 , zatim za dvije vrijednosti x , razlikuju se samo u predznacima, dobivaju se dvije identične pozitivne vrijednosti na ; na primjer, kada x = - 2 i kod x = + 2 značenje na bit će potpuno isti 4 . Negativne vrijednosti za na nikad ne uspije.

V) Ako apsolutna vrijednost x raste neograničeno, tada na povećava unedogled. Dakle, ako za x dat ćemo niz neograničeno rastućih pozitivnih vrijednosti: 1, 2, 3, 4... ili niz neograničeno padajućih negativnih vrijednosti: -1, -2, -3, -4..., zatim za na dobivamo niz beskonačno rastućih vrijednosti: 1, 4, 9, 16, 25 ... One su ukratko izražene govoreći da kada x = + ∞ i kod x = - ∞ funkcija na je učinjeno + ∞ .

G) x na . Dakle, ako vrijednost x = 2 , povećajmo, stavimo, 0,1 (tj. umjesto x = 2 idemo uzeti x = 2,1 ), To na umjesto 2 2 = 4 postaje jednaka

(2 + 0,1) 2 = = 2 2 + 2 2 0,1 + 0,1 2 .

Sredstva, na će se povećati za 2 2 0,1 + 0,1 2 = 0,41 . Ako je ista vrijednost x dajmo još manji prirast, stavimo 0,01 , tada y postaje jednako

(2 + 0,01) 2 = = 2 2 + 2 2 0,01 + 0,01 2 . .

Dakle, tada će se y povećati za 2 2 0,01 + 0,01 2 = 0,0401 , tj. povećat će se manje nego prije. Općenito, manju frakciju povećavamo x , manji broj će se povećati na . Dakle, ako to zamislimo x raste (pretpostavljajući od vrijednosti 2) kontinuirano, prolazeći kroz sve vrijednosti veće od 2, zatim na također će kontinuirano rasti, prolazeći kroz sve vrijednosti veće od 4.

Uočivši sva ova svojstva, napravit ćemo tablicu vrijednosti funkcije y = x 2 , na primjer, ovako:

Prikažimo sada ove vrijednosti na crtežu kao točke, čije će apscise biti zapisane vrijednosti x , a ordinate su odgovarajuće vrijednosti na (na crtežu smo kao jedinicu za duljinu uzeli centimetar); dobivene točke ocrtat ćemo krivuljom. Ova krivulja se naziva parabola.

Razmotrimo neka njegova svojstva.

A) Parabola je kontinuirana krivulja, jer s kontinuiranom promjenom apscise x (i u pozitivnom i u negativnom smjeru) ordinata se, kao što smo sada vidjeli, također kontinuirano mijenja.

b) Cijela krivulja je na istoj strani osi x -ov, točno na strani na kojoj leže pozitivne vrijednosti ordinata.

V) Parabola je podijeljena osi na -ov na dva dijela (grane). Točka OKO gdje te grane konvergiraju naziva se vrh parabole. Ova točka je jedina zajednička paraboli i osi x -ov; pa u ovoj točki parabola dodiruje os x -ov.

G) Obje grane su beskonačne, jer x I na može povećavati unedogled. Grane se uzdižu iz osi x -s neograničeno prema gore, udaljujući se istodobno neograničeno od osi g -ov desno i lijevo.

e) Os g -ov služi kao os simetrije za parabolu, tako da ćemo, savijajući crtež po ovoj osi tako da lijeva polovica crteža pada na desnu, vidjeti da će se obje grane spojiti; na primjer, točka s apscisom -2 i ordinatom 4 bit će sukladna točki s apscisom +2 i istom ordinatom 4.

e) Na x = 0 ordinata je također 0. Dakle, za x = 0 funkcija ima najmanju moguću vrijednost. Funkcija nema najveću vrijednost jer ordinate krivulje rastu neograničeno.

159. Grafik funkcije oblikay=ah 2 . Pretpostavimo prvo da A je pozitivan broj. Uzmimo, na primjer, ove 2 funkcije:

1) y= 1 1 / 2 x 2 ; 2) y= 1 / 3 x 2

Napravimo tablice vrijednosti ovih funkcija, na primjer, sljedeće:

Stavimo sve ove vrijednosti na crtež i nacrtajmo krivulje. Za usporedbu smo na isti crtež postavili još jedan graf funkcije (isprekidana linija):

3) y=x 2

Iz crteža je vidljivo da je uz istu apscisu ordinata 1. krivulje u 1 1 / 2 , puta više, a ordinata 2. krivulje u 3 puta manja od ordinate 3. krivulje. Kao rezultat toga, sve takve krivulje imaju opći karakter: beskonačne kontinuirane grane, osi simetrije itd., samo za a > 1 grane krivulje su više uzdignute, a kada a< 1 više su povijeni od krivulje y=x 2 . Sve takve krivulje nazivamo parabolama.

Pretpostavimo sada da je koeficijent A bit će negativan broj. Neka npr. y=- 1 / 3 x 2 . Uspoređujući ovu funkciju s ovom: y = + 1 / 3 x 2 primijetite da za istu vrijednost x obje funkcije imaju istu apsolutnu vrijednost, ali suprotnog predznaka. Stoga se na crtežu za funkciju y=- 1 / 3 x 2 dobivamo istu parabolu kao i za funkciju y= 1 / 3 x 2 nalazi se samo ispod osovine x -ov je simetričan s parabolom y= 1 / 3 x 2 . U ovom slučaju, sve vrijednosti funkcije su negativne, osim jedne, jednake nuli na x = 0 ; ova zadnja vrijednost je najveća od svih.

Komentar. Ako odnos između dviju varijabli na I x izražava se jednakošću: y=ah 2 , Gdje A neki konstantan broj, onda možemo reći da vrijednost na proporcionalan kvadratu vrijednosti x , budući da s povećanjem ili smanjenjem x 2 puta, 3 puta itd. vrijednost na povećava ili smanjuje za 4 puta, 9 puta, 16 puta itd. Na primjer, površina kruga je π R 2 , Gdje R je polumjer kruga i π konstantan broj (jednak otprilike 3,14); Stoga možemo reći da je površina kruga proporcionalna kvadratu njegovog polumjera.

Četvrto poglavlje.

Uzvišenost do kocke i do drugih potencija jednočlanih algebarskih izraza.

160. Pravilo predznaka pri dizanju na stupanj. Iz pravila množenja za relativne brojeve slijedi da

(-5) 3 = (-5)(-5)(-5) = -125;

(- 1 / 2 ) 4 = (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 ) (- 1 / 2 )=+ 1 / 16 ;

(- 1) 5 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) = - l;

(- 1) 6 = (- 1) (- 1) (- l) (-1) (-1) (-1) = +1; i tako dalje.

Sredstva, podizanjem negativnog broja na potenciju s parnim eksponentom dobiva se pozitivan broj, a dizanjem na potenciju s neparnim eksponentom dobiva se negativan broj.

161. Uzdizanje na stupanj umnoška, ​​stupnja i razlomka. Kada umnožak stupnja i razlomka dižemo na neki stupanj, možemo učiniti isto kao kad ga dižemo na kvadrat (). Tako:

(abc) 3 \u003d (abc) (abc) (abc) \u003d abc abc abc \u003d (aaa) (bbb) (cc) = a 3 b 3 c 3;

peto poglavlje.

Grafički prikaz funkcija: y = x 3 i y = ax 3 .

162. Graf funkcije y = x 3 . Razmotrimo kako se mijenja kocka uzvišenog broja kada se broj podiže (na primjer, kako se mijenja volumen kocke kada se mijenja rub kocke). Da bismo to učinili, najprije naznačimo sljedeće značajke funkcije y = x 3 (podsjeća na svojstva funkcije y = x 2 , raspravljeno ranije, ):

A) Za svaki smisao x funkcija y = x 3 je moguće i ima jedno značenje; dakle, (+ 5) 3 \u003d +125 i kub broja + 5 ne može biti jednak niti jednom drugom broju. Slično, (- 0,1) 3 = - 0,001 i kub od -0,1 ne može biti jednak nijednom drugom broju.

b) S dvije vrijednosti x , razlikuju se samo u znakovima, funkcija x 3 prima vrijednosti koje se također razlikuju jedna od druge samo u znakovima; dakle, na x = 2 funkcija x 3 jednako je 8, i kod x = - 2 jednako je 8 .

V) Kako x raste, funkcija x 3 povećava, i brže od x , pa čak i brže od x 2 ; tako kod

x = - 2, -1, 0, +1, + 2, +3, + 4. .. x 3 hoće = -8, - 1, 0, +1, + 8, +27, + 64 ...

G) Vrlo mali prirast varijabilnog broja x odgovara vrlo malom prirastu funkcije x 3 . Dakle, ako vrijednost x = 2 povećati za razlomak 0,01 , tj. ako umjesto x = 2 idemo uzeti x = 2,01 , zatim funkcija na neće 2 3 (tj. ne 8 ), A 2,01 3 , što će iznositi 8,120601 . Dakle, ova funkcija će se tada povećati za 0,120601 . Ako vrijednost x = 2 povećati još manje, na primjer, za 0,001 , To x 3 postaje jednaka 2,001 3 , što će iznositi 8,012006001 , i stoga, na samo će se povećati za 0,012006001 . Vidimo dakle da ako prirast promjenljivog broja x će biti sve manje i manje, zatim prirast x 3 bit će sve manje.

Uočavajući ovo svojstvo funkcije y = x 3 Nacrtajmo njegov graf. Da bismo to učinili, prvo sastavljamo tablicu vrijednosti za ovu funkciju, na primjer, sljedeće:

163. Graf funkcije y \u003d sjekira 3 . Uzmimo ove dvije funkcije:

1) y= 1 / 2 x 3 ; 2) y = 2 x 3

Usporedimo li ove funkcije s jednostavnijom: y = x 3 , napominjemo da za istu vrijednost x prva funkcija prima dvostruko manje vrijednosti, a druga dvostruko veće vrijednosti od funkcije y \u003d sjekira 3 , inače su ove tri funkcije slične jedna drugoj. Njihovi grafikoni prikazani su radi usporedbe na istom crtežu. Te se krivulje nazivaju parabole 3. stupnja.

Šesto poglavlje.

Osnovna svojstva vađenja korijena.

164. Zadaci.

A) Nađite stranicu kvadrata čija je površina jednaka površini pravokutnika s osnovicom 16 cm i visinom 4 cm.

Označavanje stranice željenog kvadrata slovom x (cm), dobivamo sljedeću jednadžbu:

x 2 =16 4, tj. x 2 = 64.

Vidimo na ovaj način da x postoji broj koji, kada se podigne na drugu potenciju, daje 64. Takav se broj naziva korijen drugog stupnja od 64. Jednak je + 8 ili - 8, budući da je (+ 8) 2 \u003d 64 i (- 8) 2 \u003d 64. Negativan broj - 8 nije prikladan za naš zadatak, budući da se stranica kvadrata mora izraziti običnim aritmetičkim brojem.

b) Olovni komad, težak 1 kg 375 g (1375 g), u obliku je kocke. Koliki je rub ove kocke, ako se zna da 1 kocka. cm olova teži 11 grama?

Neka duljina brida kocke bude x cm. Tada će njegov volumen biti jednak x 3 kocka cm, a težina će mu biti 11 x 3 G.

11x 3= 1375; x 3 = 1375: 11 = 125.

Vidimo na ovaj način da x postoji broj koji, kada se podigne na treću potenciju, jest 125 . Takav se broj zove treći korijen od 125. To je, kao što pretpostavljate, jednako 5, budući da je 5 3 \u003d 5 5 5 \u003d 125. Dakle, rub kocke, koji se spominje u zadatku, ima duljinu od 5 cm.

165. Definicija korijena. Drugi korijen (ili kvadrat) broja A broj čiji je kvadrat jednak A . Dakle, kvadratni korijen od 49 je 7, a također - 7, budući da je 7 2 \u003d 49 i (- 7) 2 \u003d 49. Korijen trećeg stupnja (kubični) broja A zove se takav broj, kojemu je kocka jednaka A . Dakle, kubni korijen od -125 je -5, budući da je (-5) 3 =(-5)(-5)(-5)= -125.

Općenito korijen n stupnja iz red A nazvao broj koji n-ti stupanj jednak je A.

Broj n , što znači koji je stupanj korijena, zove se indikator korijena.

Korijen se označava znakom √ (znak radikala, tj. znak korijena). latinska riječ korijen znači korijen. Znak√ prvi put uveden u 15. stoljeću.. Ispod vodoravne crte upisuju broj iz kojeg se nalazi korijen (radikalni broj), a indeks korijena stavlja se iznad otvora kuta. Tako:

kubni korijen iz 27 označava se ..... 3 √27;

četvrti korijen iz 32 označava se... 3 √32.

Uobičajeno je da se eksponent kvadratnog korijena uopće ne piše, na primjer.

umjesto 2 √16 pišu √16.

Radnja kojom se nalazi korijen naziva se vađenje korijena; to je suprotno od uzdizanja do stupnja, budući da se pomoću ove radnje nalazi ono što je dano tijekom uzdizanja do stupnja, naime, osnova zida, i ono što je dano kad se podigne do stupnja, naime sam stupanj. Stoga uvijek možemo provjeriti ispravnost izvlačenja korijena podizanjem na stupanj. Na primjer, provjeriti

jednakost: 3 √125 = 5, dovoljno je podići 5 u kocku: primivši radikalni broj 125, zaključujemo da je kubni korijen od 125 izvađen ispravno.

166. Aritmetički korijen. Korijen se naziva aritmetikom ako je izvučen iz pozitivnog broja i sam je pozitivan broj. Na primjer, aritmetički kvadratni korijen od 49 je 7, dok se broj 7, koji je također kvadratni korijen od 49, ne može nazvati aritmetikom.

Navodimo sljedeća dva svojstva aritmetičkog korijena.

a) Neka se traži pronaći aritmetiku √49 . Takav će korijen biti 7, budući da je 7 2 = 49. Zapitajmo se je li moguće pronaći neki drugi pozitivan broj x , što bi također bilo √49. Pretpostavimo da takav broj postoji. Tada mora biti ili manji od 7 ili veći od 7. Ako pretpostavimo da x < 7, то тогда и x 2 < 49 (с уменьшением множимого и множителя произведение уменьшается); если же допустим, что x >7, dakle x 2 >49. To znači da nijedan pozitivan broj, ni manji od 7 ni veći od 7, ne može biti jednak √49. Dakle, može postojati samo jedan aritmetički korijen danog stupnja iz danog broja.

Došli bismo do drukčijeg zaključka da nije riječ o pozitivnom značenju korijena, nego o nečemu; tako da je √49 jednako i broju 7 i broju - 7, budući da su i 7 2 = 49 i (- 7) 2 = 49.

b) Uzmimo, na primjer, bilo koja dva nejednaka pozitivna broja. 49 i 56. Od čega 49< 56, мы можем заключить, что и √49 < √56 (если только знаком √ будем обозначать арифметический квадратный корень). Действительно: 7 < 8. Подобно этому из того, что 64 < l25, мы можем заключить, что и 3 √64 < 3 √125

Zaista: 3 √64 = 4 i 3 √125 = 5 i 4< 5. Вообще manjem pozitivnom broju odgovara manji aritmetički korijen (istog stupnja).

167. Algebarski korijen. Korijen se naziva algebarskim ako se ne zahtijeva da bude izvučen iz pozitivnog broja i da sam bude pozitivan. Dakle, ako pod izrazom n √a naravno algebarski korijen n stupnja, to znači da broj A može biti i pozitivan i negativan, a sam korijen može biti i pozitivan i negativan.

Navodimo sljedeća 4 svojstva algebarskog korijena.

A) Neparni korijen pozitivnog broja je pozitivan broj .

Tako, 3 √8 mora biti pozitivan broj (jednak je 2), budući da negativan broj podignut na potenciju s neparnim eksponentom daje negativan broj.

b) Neparan korijen negativnog broja je negativan broj.

Tako, 3 √-8 mora biti negativan broj (jednako je -2), budući da pozitivan broj podignut na bilo koju potenciju daje pozitivan broj, a ne negativan.

V) Korijen parnog stupnja pozitivnog broja ima dvije vrijednosti sa suprotnim predznakom i istom apsolutnom vrijednošću.

Da, √ +4 = + 2 i √ +4 = - 2 , jer (+ 2 ) 2 = + 4 i (- 2 ) 2 = + 4 ; sličan 4 √+81 = + 3 I 4 √+81 = - 3 , jer oba stupnja (+3) 4 I (-3) 4 jednaki su istom broju. Dvostruka vrijednost korijena obično se označava stavljanjem dva znaka ispred apsolutne vrijednosti korijena; pišu ovako:

√4 = ± 2 ; √a 2 = ± a ;

G) Parni korijen negativnog broja ne može biti jednak nijednom pozitivnom ili negativnom broju. , budući da oba, nakon dizanja na potenciju s parnim eksponentom, daju pozitivan broj, a ne negativan. Na primjer, √ -9 nije jednako ni +3 ni -3 ili bilo kojem drugom broju.

Parni korijen negativnog broja naziva se imaginarni broj; relativne brojeve nazivamo realnim brojevima, odn važeći, brojevi.

168. Vađenje korijena iz umnoška, ​​iz stupnja i iz razlomka.

A) Uzmimo kvadratni korijen umnoška trbušnjaci . Ako želite kvadrirati umnožak, tada, kao što smo vidjeli (), možete kvadrirati svaki faktor zasebno. Budući da je izvlačenje korijena obrnuto od dizanja na potenciju, moramo očekivati ​​da se, kako bi se izvukao korijen iz proizvoda, može izdvojiti iz svakog faktora zasebno, tj.

√abc = √a √b √c .

Da bismo provjerili točnost ove jednakosti, podižemo njenu desnu stranu na kvadrat (prema teoremu: podići proizvod na potenciju ...):

(√a √b √c ) 2 = (√a ) 2 (√b ) 2 (√c ) 2

Ali, prema definiciji korijena,

(√a ) 2 = a, (√b ) 2 = b, (√c ) 2 = c

Stoga

(√a √b √c ) 2 = trbušnjaci .

Ako je kvadrat umnoška √ a √b √c jednaki trbušnjaci , onda to znači da je umnožak jednak kvadratnom korijenu od abc .

Kao ovo:

3 √abc = 3 √a 3 √b 3 √c ,

(3 √a 3 √b 3 √c ) 3 = (3 √a ) 3 (3 √b ) 3 (3 √c ) 3 = abc

Sredstva, za izdvajanje korijena iz produkta dovoljno ga je izdvojiti iz svakog faktora posebno.

b) Lako je provjeriti da su sljedeće jednakosti istinite:

√a 4 = A 2 , jer (a 2 ) 2 = A 4 ;

3 √x 12 = x 4 , „ (x 4 ) 3 = x 12 ; i tako dalje.

Sredstva, da bi se izvadio korijen potencije čiji je eksponent djeljiv s korijenskim eksponentom, može se podijeliti eksponent s korijenskim eksponentom.

V) Također će biti istinite sljedeće jednakosti:

Sredstva, da biste izvukli korijen razlomka, možete odvojeno koristiti brojnik i nazivnik.

Imajte na umu da se u ovim istinama pretpostavlja da govorimo o korijenima aritmetike.

Primjeri.

1) √9a 4 b 6 = √9 √a 4 √b 6 = 3A 2 b 3 ;

2) 3 √125a 6 x 9 = 3 √125 3 √a 6 3 √x 9 = 5A 2 x 3

Napomena Ako se pretpostavi da je željeni korijen parnog stupnja algebarski, tada pronađenom rezultatu mora prethoditi dvostruki znak ± Dakle,

√9x 4 = ± 3x 2 .

169. Najjednostavnije transformacije radikala,

A) Faktoring predznaka radikala. Ako se radikalni izraz rastavi na takve faktore da se iz nekog od njih može izvući korijen, onda se takvi faktori, nakon izdvajanja korijena iz njih, mogu pisati ispred znaka radikala (mogu se izvući iz znaka radikala).

1) √a 3 = √a 2 a = √a 2 √a = A √a .

2) √24a 4 x 3 = √4 6 a 4 x 2 x = 2a 2 x √6x

3) 3 √16 x 4 = 3 √8 2 x 3 x = 2x 3 √2 x

b) Dovođenje faktora pod znak radikala. Ponekad je korisno, naprotiv, faktore koji mu prethode oduzeti pod znakom radikala; za to je dovoljno podići takve faktore na potenciju čiji je eksponent jednak eksponentu radikala, a zatim faktore zapisati pod znak radikala.

Primjeri.

1) A 2 √a = √(A 2 ) 2 a = √A 4 a = √a 5 .

2) 2x 3 √x = 3 √(2x ) 3 x = 3 √8x 3 x = 3 √8x 4 .

V) Izraz slobodnih radikala iz nazivnika. Pokažimo to na sljedećim primjerima:

1) Transformirajte razlomak tako da se iz nazivnika može izvući kvadratni korijen. Da biste to učinili, pomnožite oba člana razlomka s 5:

2) Oba člana razlomka pomnožite s 2 , na A i dalje x , tj. na 2Oh :

Komentar. Ako se iz algebarskog zbroja traži izdvajanje korijena, tada bi bilo pogrešno izdvajati ga iz svakog člana posebno. Npr.√ 9 + 16 = √25 = 5 , dok
√9 + √16 = 3 + 4 = 7 ; dakle radnja vađenja korijena u odnosu na zbrajanje (i oduzimanje) nema svojstvo distribucije(kao i uzdizanje do stupnja, odjeljak 2, poglavlje 3, § 61, napomena).

Čestitamo: danas ćemo analizirati korijene - jednu od najzanimljivijih tema 8. razreda. :)

Mnogi se zbune oko korijena ne zato što su složeni (što je komplicirano - par definicija i još par svojstava), nego zato što su u većini školskih udžbenika korijeni definirani kroz takve divljine da samo autori udžbenika sami mogu razumjeti ovo škrabanje. I to samo uz bocu dobrog viskija. :)

Stoga ću sada dati najtočniju i najkompetentniju definiciju korijena - jedinu koju stvarno trebate zapamtiti. I tek tada ću objasniti: zašto je sve to potrebno i kako to primijeniti u praksi.

Ali prvo zapamtite jednu važnu točku, koju iz nekog razloga mnogi sastavljači udžbenika "zaboravljaju":

Korijeni mogu biti parnog stupnja (naš omiljeni $\sqrt(a)$, kao i sve vrste $\sqrt(a)$ i parni $\sqrt(a)$) i neparnog stupnja (bilo koji $\sqrt(a)$, $\sqrt(a)$, itd.). I definicija korijena neparnog stupnja je nešto drugačija od parnog.

Ovdje u ovom jebenom "nešto drugačijem" krije se, vjerojatno, 95% svih pogrešaka i nesporazuma povezanih s korijenima. Dakle, raščistimo terminologiju jednom zauvijek:

Definicija. Čak i korijen n od broja $a$ je bilo koji nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$. A korijen neparnog stupnja iz istog broja $a$ općenito je bilo koji broj $b$ za koji vrijedi ista jednakost: $((b)^(n))=a$.

U svakom slučaju, korijen se označava ovako:

\(a)\]

Broj $n$ u takvom se zapisu naziva korijenski eksponent, a broj $a$ radikalni izraz. Konkretno, za $n=2$ dobivamo naš "omiljeni" kvadratni korijen (usput, ovo je korijen parnog stupnja), a za $n=3$ dobivamo kubični korijen (neparni stupanj), koji se također često nalazi u problemima i jednadžbama.

Primjeri. Klasični primjeri kvadratnih korijena:

\[\begin(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \end(align)\]

Usput, $\sqrt(0)=0$ i $\sqrt(1)=1$. Ovo je sasvim logično jer $((0)^(2))=0$ i $((1)^(2))=1$.

Kubični korijeni su također uobičajeni - nemojte ih se bojati:

\[\begin(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \end(align)\]

Pa, par "egzotičnih primjera":

\[\begin(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \end(align)\]

Ako ne razumijete koja je razlika između parnog i neparnog stupnja, ponovno pročitajte definiciju. Vrlo je važno!

U međuvremenu ćemo razmotriti jednu neugodnu osobinu korijena, zbog koje smo morali uvesti posebnu definiciju za parne i neparne eksponente.

Zašto nam uopće trebaju korijeni?

Nakon što pročitaju definiciju, mnogi studenti će se zapitati: “Što su matematičari popušili kad su ovo smislili?” I stvarno: zašto nam trebaju svi ti korijeni?

Kako bismo odgovorili na ovo pitanje, vratimo se na trenutak u osnovnu školu. Zapamtite: u ta daleka vremena, kada je drveće bilo zelenije, a knedle ukusnije, naša glavna briga bila je pravilno pomnožiti brojeve. Pa nešto u duhu "pet po pet - dvadeset i pet", to je sve. Ali uostalom, brojeve možete množiti ne u parovima, već u trojkama, četvorkama i općenito cijelim skupovima:

\[\begin(align) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \end(align)\]

Međutim, nije u tome poanta. Trik je drugačiji: matematičari su lijeni ljudi, pa su množenje deset petica morali zapisati ovako:

Pa su došli do diploma. Zašto ne biste broj faktora napisali kao superskript umjesto dugog niza? Kao ova:

Vrlo je povoljno! Svi izračuni smanjeni su nekoliko puta, a ne možete potrošiti hrpu pergamentnih listova bilježnica da zapišete nekih 5 183 . Takav unos nazvan je stupanj broja, u njemu je pronađena hrpa svojstava, ali sreća se pokazala kratkotrajnom.

Nakon grandiozne pijanke, koja je organizirana upravo oko “otkrića” stupnjeva, neki posebno nabusiti matematičar iznenada upita: “Što ako znamo stupanj broja, ali ne znamo sam broj?” Doista, ako znamo da određeni broj $b$, na primjer, daje 243 na 5. potenciju, kako onda možemo pogoditi čemu je jednak sam broj $b$?

Pokazalo se da je ovaj problem mnogo globalniji nego što se na prvi pogled čini. Jer pokazalo se da za većinu “konfekcijskih” diploma ne postoje te “početne” brojke. Prosudite sami:

\[\begin(align) & ((b)^(3))=27\Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Strelica desno b=4\cdot 4\cdot 4\Strelica desno b=4. \\ \end(align)\]

Što ako $((b)^(3))=50$? Ispada da trebate pronaći određeni broj, koji će nam, pomnožen sam sa sobom tri puta, dati 50. Ali koji je to broj? Jasno je da je veći od 3 jer je 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. tj. ovaj broj leži negdje između tri i četiri, ali čemu je jednak - FIG shvatit ćete.

Upravo su zato matematičari došli do $n$-tih korijena. Zato je uvedena radikalna ikona $\sqrt(*)$. Za označavanje istog broja $b$, koji će nam, na zadanu potenciju, dati prethodno poznatu vrijednost

\[\sqrt[n](a)=b\desna strelica ((b)^(n))=a\]

Ne raspravljam: često se ti korijeni lako razmatraju - vidjeli smo nekoliko takvih primjera gore. No ipak, u većini slučajeva, ako zamislite proizvoljan broj, a zatim pokušate iz njega izvući korijen proizvoljnog stupnja, čeka vas okrutna nevolja.

Što je tamo! Čak ni najjednostavniji i najpoznatiji $\sqrt(2)$ ne može se prikazati u našem uobičajenom obliku - kao cijeli broj ili razlomak. A ako ovaj broj unesete u kalkulator, vidjet ćete ovo:

\[\sqrt(2)=1,414213562...\]

Kao što vidite, iza decimalne točke nalazi se beskonačan niz brojeva koji se ne pokoravaju nikakvoj logici. Možete, naravno, zaokružiti ovaj broj za brzu usporedbu s drugim brojevima. Na primjer:

\[\sqrt(2)=1,4142...\približno 1,4 \lt 1,5\]

Ili evo još jednog primjera:

\[\sqrt(3)=1,73205...\približno 1,7 \gt 1,5\]

Ali sva ta zaokruživanja su, prvo, prilično gruba; i drugo, također morate znati raditi s približnim vrijednostima, inače možete uhvatiti hrpu neočitih pogrešaka (usput, vještina uspoređivanja i zaokruživanja nužno se provjerava na ispitu za profil).

Stoga se u ozbiljnoj matematici ne može bez korijena - oni su isti ravnopravni predstavnici skupa svih realnih brojeva $\mathbb(R)$, poput razlomaka i cijelih brojeva koje odavno poznajemo.

Nemogućnost predstavljanja korijena kao razlomka oblika $\frac(p)(q)$ znači da taj korijen nije racionalan broj. Takvi se brojevi nazivaju iracionalnim i ne mogu se točno prikazati osim uz pomoć radikala ili drugih za to posebno dizajniranih konstrukcija (logaritmi, stupnjevi, limiti itd.). Ali o tome drugom prilikom.

Razmotrite nekoliko primjera u kojima će nakon svih izračuna u odgovoru i dalje ostati iracionalni brojevi.

\[\begin(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\približno 2,236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32))=\sqrt(-2)\približno -1,2599... \\ \end(align)\]

Naravno, po izgledu korijena gotovo je nemoguće pogoditi koji će brojevi doći iza decimalne točke. Međutim, moguće je izračunati na kalkulatoru, ali čak i najnapredniji kalkulator datuma daje nam samo prvih nekoliko znamenki iracionalnog broja. Stoga je mnogo ispravnije odgovore pisati kao $\sqrt(5)$ i $\sqrt(-2)$.

Za to su i izmišljeni. Da biste lakše zapisivali odgovore.

Zašto su potrebne dvije definicije?

Pažljivi čitatelj vjerojatno je već primijetio da su svi kvadratni korijeni navedeni u primjerima uzeti iz pozitivnih brojeva. Pa barem od nule. Ali kockasti korijeni mirno se izvlače iz apsolutno bilo kojeg broja - čak i pozitivnog, čak i negativnog.

Zašto se ovo događa? Pogledajte graf funkcije $y=((x)^(2))$:

Graf kvadratne funkcije daje dva korijena: pozitivan i negativan

Pokušajmo izračunati $\sqrt(4)$ koristeći ovaj grafikon. Da biste to učinili, na grafikonu se nacrta vodoravna linija $y=4$ (označena crvenom bojom) koja siječe parabolu u dvije točke: $((x)_(1))=2$ i $((x)_(2))=-2$. To je sasvim logično, jer

Sve je jasno s prvim brojem - pozitivan je, dakle korijen:

Ali što onda učiniti s drugom točkom? Ima li 4 dva korijena odjednom? Uostalom, ako kvadriramo broj −2, također ćemo dobiti 4. Zašto onda ne napisati $\sqrt(4)=-2$? A zašto profesori gledaju takve zapise kao da vas žele pojesti? :)

Problem je u tome što će, ako se ne nametnu dodatni uvjeti, četiri imati dva kvadratna korijena - pozitivan i negativan. I bilo koji pozitivan broj također će ih imati dva. Ali negativni brojevi uopće neće imati korijene - to se može vidjeti iz istog grafikona, budući da parabola nikada ne pada ispod osi g, tj. ne uzima negativne vrijednosti.

Sličan problem javlja se za sve korijene s parnim eksponentom:

1. Strogo govoreći, svaki pozitivan broj će imati dva korijena s parnim eksponentom $n$;
2. Iz negativnih brojeva uopće se ne izvlači korijen s parnim $n$.

Zato definicija parnog korijena $n$ posebno propisuje da odgovor mora biti nenegativan broj. Tako se rješavamo dvosmislenosti.

Ali za neparnih $n$ nema tog problema. Da bismo to vidjeli, pogledajmo graf funkcije $y=((x)^(3))$:

Kubična parabola poprima bilo koju vrijednost, tako da se kubni korijen može uzeti iz bilo kojeg broja

Iz ovog grafikona mogu se izvući dva zaključka:

1. Grane kubične parabole, za razliku od uobičajene, idu u beskonačnost u oba smjera - i gore i dolje. Stoga, na kojoj god visini nacrtali vodoravnu crtu, ta će se linija sigurno presijecati s našim grafikonom. Dakle, kubni korijen uvijek se može uzeti, apsolutno iz bilo kojeg broja;
2. Osim toga, takvo će sjecište uvijek biti jedinstveno, tako da ne morate razmišljati o tome koji broj smatrati "ispravnim" korijenom, a koji bodovati. Zato je definicija korijena za neparni stupanj jednostavnija nego za parni (ne postoji zahtjev za nenegativnošću).

Šteta je što te jednostavne stvari nisu objašnjene u većini udžbenika. Umjesto toga, naši se mozgovi počinju lebdjeti sa svim vrstama aritmetičkih korijena i njihovih svojstava.

Da, ne raspravljam: što je aritmetički korijen - također morate znati. I o tome ću detaljno govoriti u zasebnoj lekciji. Danas ćemo također govoriti o njemu, jer bez njega bi sva razmišljanja o korijenima $n$-te višestrukosti bila nepotpuna.

Ali prvo morate jasno razumjeti definiciju koju sam dao gore. U suprotnom, zbog obilja pojmova, u vašoj će glavi početi takva zbrka da na kraju nećete razumjeti baš ništa.

I sve što trebate razumjeti je razlika između parnih i neparnih brojeva. Stoga ćemo još jednom prikupiti sve što stvarno trebate znati o korijenima:

1. Parni korijen postoji samo iz nenegativnog broja i sam je uvijek nenegativan broj. Za negativne brojeve takav je korijen nedefiniran.
2. Ali korijen neparnog stupnja postoji iz bilo kojeg broja i sam po sebi može biti bilo koji broj: za pozitivne brojeve on je pozitivan, a za negativne brojeve, kao što se naslućuje na vrhu, on je negativan.

Je li teško? Ne, nije teško. To je jasno? Da, očito je! Stoga ćemo sada malo vježbati s izračunima.

Osnovna svojstva i ograničenja

Korijeni imaju mnogo čudnih svojstava i ograničenja - ovo će biti zasebna lekcija. Stoga ćemo sada razmotriti samo najvažniji "čip", koji se odnosi samo na korijene s parnim eksponentom. Ovo svojstvo zapisujemo u obliku formule:

\[\sqrt(((x)^(2n)))=\lijevo| x\desno|\]

Drugim riječima, ako broj podignemo na parnu potenciju, a zatim iz toga izvučemo korijen istog stupnja, nećemo dobiti izvorni broj, već njegov modul. Ovo je jednostavan teorem koji je lako dokazati (dovoljno je posebno razmotriti nenegativne $x$, a zatim posebno razmotriti negativne). Učitelji stalno pričaju o tome, to je navedeno u svakom školskom udžbeniku. Ali čim dođe do rješavanja iracionalnih jednadžbi (tj. jednadžbi s predznakom radikala), učenici zajedno zaborave ovu formulu.

Da bismo detaljno razumjeli problem, zaboravimo na trenutak sve formule i pokušajmo brojati dva broja unaprijed:

\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=?\]

Ovo su vrlo jednostavni primjeri. Prvi primjer će većina ljudi riješiti, ali na drugom se mnogi drže. Da biste bez problema riješili takvo sranje, uvijek razmotrite postupak:

1. Prvo se broj diže na četvrtu potenciju. Pa, nekako je lako. Dobit će se novi broj, koji se čak može naći u tablici množenja;
2. A sada iz ovog novog broja potrebno je izvući korijen četvrtog stupnja. Oni. nema "redukcije" korijena i stupnjeva - to su sekvencijalne radnje.

Pozabavimo se prvim izrazom: $\sqrt(((3)^(4)))$. Očito, prvo morate izračunati izraz ispod korijena:

\[((3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]

Zatim izdvajamo četvrti korijen broja 81:

Sada učinimo isto s drugim izrazom. Prvo dižemo broj −3 na četvrtu potenciju, za što ga trebamo pomnožiti samim sobom 4 puta:

\[((\lijevo(-3 \desno))^(4))=\lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)\cdot \lijevo(-3 \desno)=81\]

Dobili smo pozitivan broj, budući da je ukupan broj minusa u proizvodu 4 komada i svi će se poništiti (uostalom, minus za minus daje plus). Zatim ponovno izvucite korijen:

U principu, ovaj redak ne bi mogao biti napisan, jer nije pametno da će odgovor biti isti. Oni. parni korijen iste parne snage "spaljuje" minuse i u tom smislu rezultat se ne razlikuje od uobičajenog modula:

\[\begin(align) & \sqrt(((3)^(4)))=\lijevo| 3\desno|=3; \\ & \sqrt(((\lijevo(-3 \desno))^(4)))=\lijevo| -3 \desno|=3. \\ \end(align)\]

Ovi izračuni dobro se slažu s definicijom korijena parnog stupnja: rezultat je uvijek nenegativan, a radikalni predznak također je uvijek nenegativan broj. Inače, korijen nije definiran.

Napomena o redoslijedu operacija

1. Oznaka $\sqrt(((a)^(2)))$ znači da prvo kvadriramo broj $a$, a zatim vadimo kvadratni korijen dobivene vrijednosti. Prema tome, možemo biti sigurni da se nenegativan broj uvijek nalazi ispod znaka korijena, jer $((a)^(2))\ge 0$ ionako;
2. Ali oznaka $((\left(\sqrt(a) \right))^(2))$, naprotiv, znači da iz određenog broja $a$ prvo izvučemo korijen, a tek onda kvadriramo rezultat. Dakle, broj $a$ ni u kojem slučaju ne može biti negativan - to je obavezan zahtjev ugrađen u definiciju.

Dakle, ni u kojem slučaju ne treba nepromišljeno smanjivati ​​korijene i stupnjeve, čime se navodno "pojednostavljuje" izvorni izraz. Jer ako je ispod korijena negativan broj, a njegov eksponent je paran, dobit ćemo puno problema.

Međutim, svi ovi problemi relevantni su samo za parne pokazatelje.

Uklanjanje znaka minus ispod znaka korijena

Naravno, i korijeni s neparnim eksponentima imaju svoje svojstvo, koje u principu ne postoji za parne. Naime:

\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]

Ukratko, možete izvaditi minus ispod znaka korijena neparnog stupnja. Ovo je vrlo korisno svojstvo koje vam omogućuje da "izbacite" sve minuse:

\[\begin(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \lijevo(-\sqrt(32) \desno)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \end(align)\]

Ovo jednostavno svojstvo uvelike pojednostavljuje mnoge izračune. Sada se ne morate brinuti: što ako je negativan izraz ušao ispod korijena, a stupanj u korijenu se pokazao jednakim? Dovoljno je sve minuse “izbaciti” izvan korijena, nakon čega se oni mogu međusobno množiti, dijeliti i općenito raditi mnogo sumnjivih stvari, koje će nas u slučaju “klasičnih” korijena zajamčeno dovesti do pogreške.

I tu na scenu stupa još jedna definicija - upravo ona s kojom većina škola započinje proučavanje iracionalnih izraza. I bez kojih bi naše razmišljanje bilo nepotpuno. Upoznajte!

aritmetički korijen

Pretpostavimo na trenutak da samo pozitivni brojevi ili, u ekstremnim slučajevima, nula mogu biti ispod znaka korijena. Ocjenjujmo parne/neparne pokazatelje, ocjenjujmo sve gore navedene definicije - radit ćemo samo s nenegativnim brojevima. Što onda?

I onda dobijemo aritmetički korijen - on se djelomično presijeca s našim "standardnim" definicijama, ali se ipak razlikuje od njih.

Definicija. Aritmetički korijen $n$-tog stupnja nenegativnog broja $a$ je nenegativan broj $b$ takav da je $((b)^(n))=a$.

Kao što vidite, više nas ne zanima paritet. Umjesto toga pojavilo se novo ograničenje: radikalni izraz je sada uvijek nenegativan, a sam korijen je također nenegativan.

Da biste bolje razumjeli kako se aritmetički korijen razlikuje od uobičajenog, pogledajte grafikone kvadratne i kubične parabole koji su nam već poznati:

Područje pretraživanja korijena - nenegativni brojevi

Kao što vidite, od sada nas zanimaju samo oni dijelovi grafikona koji se nalaze u prvoj koordinatnoj četvrtini - gdje su koordinate $x$ i $y$ pozitivne (ili barem nula). Više ne morate gledati indikator da biste shvatili imamo li pravo na korijen negativnog broja ili ne. Budući da se negativni brojevi više u načelu ne razmatraju.

Možete pitati: "Pa, zašto nam treba tako kastrirana definicija?" Ili: "Zašto se ne možemo snaći s gore navedenom standardnom definicijom?"

Pa, dat ću samo jedno svojstvo, zbog kojeg nova definicija postaje prikladna. Na primjer, pravilo stepenovanja:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Imajte na umu: radikalni izraz možemo podignuti na bilo koju potenciju i istovremeno pomnožiti korijenski eksponent istom potencijom - i rezultat će biti isti broj! Evo nekoliko primjera:

\[\begin(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^(4)))=\sqrt(16) \\ \end(align)\]

Pa, što je loše u tome? Zašto to nismo mogli prije? Evo zašto. Razmotrimo jednostavan izraz: $\sqrt(-2)$ je broj koji je sasvim normalan u našem klasičnom smislu, ali apsolutno neprihvatljiv sa stajališta aritmetičkog korijena. Pokušajmo to pretvoriti:

$\begin(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\lijevo(-2 \desno))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \end(align)$

Kao što vidite, u prvom smo slučaju izvadili minus ispod radikala (imamo potpuno pravo, jer je indikator neparan), au drugom smo upotrijebili gornju formulu. Oni. s gledišta matematike, sve se radi po pravilima.

WTF?! Kako isti broj može biti i pozitivan i negativan? Nema šanse. Samo što formula za potenciranje, koja odlično funkcionira za pozitivne brojeve i nulu, počinje davati potpunu herezu u slučaju negativnih brojeva.

Ovdje su, kako bi se riješili takve dvosmislenosti, smislili aritmetičke korijene. Njima je posvećena posebna velika lekcija, gdje detaljno razmatramo sva njihova svojstva. Stoga se sada nećemo zadržavati na njima - lekcija se ionako pokazala predugom.

Algebarski korijen: za one koji žele znati više

Dugo sam razmišljao: napraviti ovu temu u zasebnom paragrafu ili ne. Na kraju sam odlučio otići odavde. Ovaj je materijal namijenjen onima koji žele još bolje razumjeti korijene - ne više na prosječnoj "školskoj" razini, već na razini bliskoj olimpijadi.

Dakle: osim "klasične" definicije korijena $n$-tog stupnja iz broja i pripadajuće podjele na parne i neparne pokazatelje, postoji "odraslija" definicija, koja uopće ne ovisi o paritetu i drugim suptilnostima. To se zove algebarski korijen.

Definicija. Algebarski $n$-ti korijen bilo kojeg $a$ je skup svih brojeva $b$ takvih da je $((b)^(n))=a$. Ne postoji dobro utvrđena oznaka za takve korijene, pa samo stavite crticu na vrh:

\[\overline(\sqrt[n](a))=\lijevo\( b\lijevo| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \desno. \desno\)\]

Temeljna razlika u odnosu na standardnu ​​definiciju danu na početku lekcije je u tome što algebarski korijen nije određeni broj, već skup. A budući da radimo sa stvarnim brojevima, ovaj skup ima samo tri vrste:

1. Prazan set. Javlja se kada je potrebno pronaći algebarski korijen parnog stupnja iz negativnog broja;
2. Skup koji se sastoji od jednog elementa. Svi korijeni neparnih potencija, kao i korijeni parnih potencija od nule, spadaju u ovu kategoriju;
3. Konačno, skup može uključivati ​​dva broja - iste $((x)_(1))$ i $((x)_(2))=-((x)_(1))$ koje smo vidjeli na grafu kvadratne funkcije. Prema tome, takvo je poravnanje moguće samo kada se iz pozitivnog broja izvlači korijen parnog stupnja.

Posljednji slučaj zaslužuje detaljnije razmatranje. Nabrojimo nekoliko primjera da shvatimo razliku.

Primjer. Izračunaj izraze:

\[\overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]

Riješenje. Prvi izraz je jednostavan:

\[\overline(\sqrt(4))=\lijevo\( 2;-2 \desno\)\]

To su dva broja koji su dio skupa. Jer svaki od njih na kvadrat daje četvorku.

\[\overline(\sqrt(-27))=\lijevo\( -3 \desno\)\]

Ovdje vidimo skup koji se sastoji od samo jednog broja. To je sasvim logično, jer je eksponent korijena neparan.

Na kraju, posljednji izraz:

\[\overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]

Imamo prazan set. Jer ne postoji niti jedan realan broj koji će nam, kad ga se podigne na četvrtu (tj. parnu!) potenciju, dati negativan broj −16.

Završna napomena. Napomena: nisam slučajno posvuda primijetio da radimo s realnim brojevima. Jer postoje i složeni brojevi - tamo je sasvim moguće izračunati $\sqrt(-16)$ i mnoge druge čudne stvari.

Međutim, u suvremenom školskom kurikulumu matematike kompleksni brojevi se gotovo nikada ne nalaze. Oni su izostavljeni iz većine udžbenika jer naši dužnosnici smatraju temu "preteškom za razumijevanje".

To je sve. U sljedećoj lekciji ćemo pogledati sva ključna svojstva korijena i konačno naučiti kako pojednostaviti iracionalne izraze. :)

Primjeri:

\(\sqrt(16)=2\) jer \(2^4=16\)
\(\sqrt(-\frac(1)(125))\) \(=\) \(-\frac(1)(5)\) ,jer \((-\frac(1)(5))^3\) \(=\) \(-\frac(1)(125)\)

Kako izračunati korijen n-tog stupnja?

Da biste izračunali \(n\)-ti korijen, trebate si postaviti pitanje: koji će broj \(n\)-tog stupnja dati ispod korijena?

Na primjer. Izračunajte \(n\)-ti korijen: a)\(\sqrt(16)\); b) \(\sqrt(-64)\); c) \(\sqrt(0,00001)\); d)\(\sqrt(8000)\); e) \(\sqrt(\frac(1)(81))\).

a) Koji će broj na \(4\) potenciju dati \(16\)? Očito, \(2\). Zato:

b) Koji će broj na \(3\) potenciju dati \(-64\)?

\(\sqrt(-64)=-4\)

c) Koji će broj na \(5\) potenciju dati \(0,00001\)?

\(\sqrt(0,00001)=0,1\)

d) Koji će broj na \(3\)-tom stupnju dati \(8000\)?

\(\sqrt(8000)=20\)

e) Koji će broj na \(4\) potenciju dati \(\frac(1)(81)\)?

\(\sqrt(\frac(1)(81))=\frac(1)(3)\)

Razmotrili smo najjednostavnije primjere s korijenom \(n\)-tog stupnja. Za rješavanje složenijih problema s korijenima \(n\)-tog stupnja, bitno ih je poznavati.

Primjer. Izračunati:

\(\sqrt 3\cdot \sqrt(-3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(9) -\) \(=\)		Trenutno se nijedan korijen ne može izračunati. Stoga primjenjujemo svojstva korijena \(n\)-tog stupnja i transformiramo izraz. \(\frac(\sqrt(-64))(\sqrt(2))\)\(=\)\(\sqrt(\frac(-64)(2))\) \(=\)\(\sqrt(-32)\) jer \(\frac(\sqrt[n](a))(\sqrt[n](b))\)\(=\)\(\sqrt[n](\frac(a)(b))\)
\(=\sqrt(3)\cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(27)\cdot \sqrt(9)-\sqrt(-32)=\)		Preuredimo faktore u prvom članu tako da kvadratni korijen i korijen \(n\)-og stupnja budu jedan pored drugog. To će olakšati primjenu svojstava. većina svojstava \(n\)-tih korijena radi samo s korijenima istog stupnja. I izračunavamo korijen 5. stupnja.
\(=\sqrt(3) \cdot \sqrt(27) \cdot \sqrt(-3)\cdot \sqrt(9)-(-5)=\)		Primijenite svojstvo \(\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[n](b)=\sqrt[n](a\cdot b)\) i proširite zagradu
\(=\sqrt(81)\cdot \sqrt(-27)+5=\)		Izračunajte \(\sqrt(81)\) i \(\sqrt(-27)\)
\(=9\cdot(-3)+5=-27+5=-22\)

Jesu li n-ti korijen i kvadratni korijen povezani?

U svakom slučaju, svaki korijen bilo kojeg stupnja je samo broj, iako napisan u neobičnom obliku za vas.

Singularnost n-tog korijena

\(n\)-ti korijen s neparnim \(n\) može se uzeti iz bilo kojeg broja, čak i negativnih (vidi primjere na početku). Ali ako je \(n\) paran (\(\sqrt(a)\), \(\sqrt(a)\),\(\sqrt(a)\)…), tada se takav korijen izdvaja samo ako je \(a ≥ 0\) (usput rečeno, kvadratni korijen je isti). To je zbog činjenice da je vađenje korijena suprotno od potenciranja.

A dizanje na parnu potenciju čini čak i negativan broj pozitivnim. Zaista, \((-2)^6=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=64\). Dakle, ne možemo dobiti negativan broj ispod korijena parnog stupnja. To znači da ne možemo izvući takav korijen iz negativnog broja.

Neparna potencija nema takva ograničenja - negativan broj podignut na neparnu potenciju ostat će negativan: \((-2)^5=(-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)=-32\). Stoga, pod korijenom neparnog stupnja, možete dobiti negativan broj. To znači da ga je također moguće izdvojiti iz negativnog broja.