Okretanje kugle. Za one koji ne vole matematiku

Zamislite da je "obična" dvodimenzionalna kugla S 2 je napravljen od elastičnog materijala koji može proći kroz sebe. Je li moguće okrenuti sferu naopako u uobičajenom trodimenzionalnom prostoru $$\mathbb(R)^3$$ bez lomova i lomova, ali s mogućim samopresjekom (odnosno u klasi urona)?

Smale je 2000. godine sastavio popis od 18 izazova za koje je smatrao da ih treba riješiti u 21. stoljeću. Ovaj je popis sastavljen u duhu Hilbertovih problema i, poput kasnijih Milenijskih problema, uključuje Riemannovu hipotezu, pitanje jednakosti klasa P i NP, problem rješavanja Navier-Stokesovih jednadžbi i Poincaré pretpostavku koju je sada dokazao Perelman. Smale je svoj popis sastavio na zahtjev Arnolda, tadašnjeg predsjednika Međunarodne matematičke unije, koji je ideju za ovaj popis najvjerojatnije preuzeo iz Hilbertove liste problema.

I, konačno, pitanje: je li moguće "okrenuti" kružnicu u ravnini, odnosno pronaći kontinuiranu familiju imerzija, kao gore?

Komentari

Znatiželjan. Pada mi na pamet sljedeće. Zamislimo sferu u obliku stereografske projekcije – ravnine s beskonačnim. Tada okretanje sfere naopako izgleda kao "presavijanje" ravnine u drugom smjeru, tj. s drugačijom orijentacijom. Negdje postoji rupa u obrazloženju, zar ne?

Pa, činjenica je da stereografska projekcija podrazumijeva odabir točke na sferi koja ne odgovara ničemu na ravnini, a to mijenja pravila igre, jer prema uvjetima sfera se ne može razbiti, a točno točka se ne može probušiti.

Pa, u principu, sumnjao sam da postoji slaba točka s beskonačno udaljenom točkom. Samo sam htio znati neovisno mišljenje;).

Misha, volio bih čuti postoje li K3 površine u teoriji struna, i ako postoje, kako se točno pojavljuju tamo?

Da, ponekad rade. U kontekstu kompaktifikacije. K3 ima holonomsku grupu $$SU(2)\subset SU(2)\times SU(2)$$ i stoga čuva polovicu supersimetrija. Fenomenološki, takvi modeli nisu previše zanimljivi, ali ljudi ih ipak razmatraju.

Sferu okrećem bez pregiba još lakše nego film. Potrebno je prstom zalijepiti dio površine kugle unutra. Rotirajte ovaj unutarnji dio kugle za 180 stupnjeva, dok će se rupa zatvoriti bez pregiba. Meridijani sfere, koji su bili krugovi, pretvorit će se u "osmice" s manjom glavom unutar veće. Zatim napuhajte unutarnju gotovo kuglu dok ne iscuri. Naravno, njegov će izgled biti obrnut. Ostalo je ono što je bilo veliki dio, a sada je postalo manje u odnosu na ono nabujalo, da se okrene za 180 stupnjeva. Zategnuta rupa će se otvoriti, poravnamo udubljenje i cilj je postignut!

Ovdje se ispostavlja da točka postaje beskonačnost, a beskonačnost postaje točka. Ili, "istost svemira": što je unutra, što je vani.
Stoga se javlja paradigma - mikrokozmos se može proučavati uz pomoć makrokozmosa i obrnuto.
Pitanje je u ograničenju radijusa =]h/2;2/h[. Ovdje se h koristi kao metrička granica točnosti mjerenja, to jest isti epsilon podijeljen s dva.
Također, fizičko postojanje takve sfere može se dokazati ili opovrgnuti za različite slučajeve.
Ili se varam?

U 3D prostoru se može okrenuti naopako u klasi uronjenja, tj. s mogućim samopresjecima, ali bez pregiba. Drugim riječima, slika kugle u svakom trenutku deformacije mora ostati glatka, odnosno diferencijabilna.

Izokretanje sfere uopće nije logički paradoks, to je teorem, samo vrlo kontraintuitivan. Točnije:

Teško je prikazati konkretan primjer takve obitelji ronjenja, iako postoji mnogo ilustracija i filmova. S druge strane, puno je lakše dokazati da takva obitelj postoji, a upravo je to Smale uspio.

Priča

Ovaj paradoks je otkrio Smale 1958. Prema legendi, kada je Smale pokušao objaviti ovaj teorem, dobio je odgovor da je tvrdnja očito pogrešna, jer se stupanj Gaussovog preslikavanja mora sačuvati u procesu takvog "preokreta". [ ] Doista, stupanj Gaussovog preslikavanja mora se sačuvati, posebice, ovo pokazuje da se kružnica ne može "izvrnuti" u ravnini, ali stupnjevi Gaussovog preslikavanja y $f$ i kod $-f$ V $(\backslash mathbb\; R)^3$ oba su jednaka 1. Štoviše, stupanj bilo kakvog ugrađivanja $S^2\backslash do\; (\backslash mathbb\; R)^3$ jednako 1.

Varijacije i generalizacije

Napišite recenziju na članak "Okretanje sfere"

Književnost

• Mali Stjepan Klasifikacija uranjanja dvosfere. Trans. amer. matematika soc. 90 1958. 281-290.
• Franjo, J. Moskva: Mir, 1991. Poglavlje 6. Okretanje kugle naopako.

Bilješke

Ulomak koji karakterizira izvrtanje sfere

“Opet, pukovniče,” rekao je general, “međutim, ne mogu ostaviti pola ljudi u šumi. Preklinjem vas, preklinjem, ponavljao je, zauzmite položaj i pripremite se za napad.
“I molim vas da se ne miješate u svoj posao”, odgovorio je pukovnik uzbuđujući se. - Da si konjanik...
- Ja nisam konjanik, pukovniče, ali sam ruski general, a ako ne znate...
"Vrlo dobro poznato, Vaša Ekscelencijo", iznenada je povikao pukovnik, dodirujući konja i postajući crveno-ljubičasti. - Hoćete li se pridružiti lancima, pa ćete vidjeti da je ovaj položaj bezvrijedan. Ne želim uništiti svoju pukovniju radi vašeg zadovoljstva.
“Zaboravljate, pukovniče. Ne promatram svoje zadovoljstvo i neću dopustiti da se to kaže.
General je, prihvativši pukovnikov poziv na turnir hrabrosti, ispravio prsa i namršten, pojahao s njim u pravcu lanca, kao da će se tu, u lancu, pod mecima odlučiti sva njihova nesuglasica. Stigli su do lanca, preletjelo ih je nekoliko metaka, a oni su nečujno stali. U lancu se nije imalo što vidjeti, jer se i s mjesta gdje su prethodno stajali vidjelo da je konjici nemoguće djelovati kroz grmlje i gudure, te da Francuzi zaobilaze lijevo krilo. General i pukovnik pogledaše se strogo i značajno kao što su se dva pijetla, spremajući se za bitku, pogledala, uzalud čekajući znakove kukavičluka. Oba su prošla test. Kako se nije imalo što reći, a ni jedan ni drugi nisu htjeli dati povoda drugome da kaže da je on prvi izašao ispod metaka, dugo bi stajali tu, međusobno proživljavajući hrabrost, ako se u to vrijeme u šumi, gotovo iza njih, čuo zveckanje pušaka i prigušen, stapajući se krik. Francuzi su drvima za ogrjev napali vojnike koji su bili u šumi. Husari se više nisu mogli povući s pješaštvom. Odstupnicu s lijeve strane odsjekla im je francuska linija. Sada, koliko god teren bio nezgodan, bilo je potrebno napasti kako bi se probio.
Eskadrila u kojoj je služio Rostov, koji se upravo uspio popeti na konje, zaustavljena je pred neprijateljem. Opet, kao na Enskom mostu, nije bilo nikoga između eskadrile i neprijatelja, a između njih, razdvajajući ih, ležala je ista strašna linija neizvjesnosti i straha, kao što je bila, linija koja je odvajala žive od mrtvih. Svi su ljudi osjetili tu granicu i brinulo ih je pitanje hoće li ili ne prijeći crtu i kako će je prijeći.

Veliki matematičar David Hilbert jednom je rekao da se matematička teorija može smatrati savršenom samo kada se može prezentirati prvoj osobi koju sretnete. Hilbertovi sljedbenici su u potpunom očaju, pokušavajući živjeti po ovom receptu. Matematika se sve više specijalizira i sada se učeni matematičar ponekad mora potruditi čak i svojim kolegama da objasni bit problema koje rješava. Međutim, s vremena na vrijeme istraživanja u vodećim i naizgled neshvatljivim granama ove znanosti dovedu do otkrića koje je laiku zanimljivo, a ujedno ga je moguće objasniti bez pretjeranog pojednostavljivanja. Zapanjujući primjer ovoga je teorem Stephena Smalea o takozvanim pravilnim preslikavanjima sfere, objavljen 1959. godine.

Područje u kojem je Smale tada radio bila je diferencijalna topologija, jedna od najapstraktnijih grana moderne matematike. Tim više iznenađuje što je ipak bilo moguće doći do vizualnog objašnjenja jedne od najupečatljivijih posljedica Smaleova teorema. Naime, možete demonstrirati kako okrenuti kuglu naopako.

U uobičajenom smislu, to je, naravno, nemoguće: kugla bi nužno morala biti rastrgana. Ali u diferencijalnoj topologiji dopušteno je – mentalno, naravno – povući površinu kroz sebe – to su “pravila igre” u ovoj znanosti. Ali tada jednostavno rješenje odmah upada u oči.

Potrebno je stisnuti suprotne strane prema sredini dok ne prođu jedna kroz drugu (I). Unutarnja, oslikana površina (II) izlazi iz dva suprotna ruba. Nastavimo s ovim procesom "izvlačenja" unutarnje površine sve dok prsten koji tvori preostali dio vanjske površine (II) potpuno ne nestane. Nažalost, u ovom procesu, prsten formira čvrstu petlju (III) koja se mora zategnuti. Rezultat je ožiljak (IV), a to ne zadovoljava diferencijalne topologe, jer oni razmatraju samo takozvane "glatke površine", koje nemaju kutova i pregiba.

Dakle, zadatak je okrenuti sferu naopako na takav način da, kada se riješite prstena, ne dobijete ožiljak. I tu intuicija opet sugerira da je problem nerješiv. Kad je Smale prvi put najavio da može dokazati postojanje rješenja, nitko mu nije vjerovao. Ali intuicija je bila pogrešna: u Smaleovom dokazu nije bilo niti jedne logičke pogreške. Matematičari su postali uvjereni da je teoretski moguće slijediti dokaz korak po korak i pronaći eksplicitan opis deformacije koja okreće kuglu naopako. Ali bilo je toliko teško da se činilo beznadno. Neko vrijeme nakon Smaleovog otkrića znalo se da je u principu moguće okrenuti kuglu naopako bez ožiljka, ali nitko nije imao pojma kako se to radi.

Ali, na kraju, matematičari su se nosili s ovim zadatkom. Kako - shvatit ćete gledajući slike. Zabavne su.

Iako se Smaleov dokaz nije sastojao samo od crteža. Zanimljivo je da ih u njegovom djelu uopće nema - previše su složene te figure koje su implicitno sadržane u njegovom apstraktnom analitičkom aparatu. Najinventivniji umjetnik ne bi ih uspio prikazati - mašta matematičara je nevjerojatna. Ali možda je još nevjerojatnija njihova sposobnost da jedno drugom prenesu najsloženije ideje bez pribjegavanja crtežima. Priča o izvrtanju sfere jasan je dokaz za to. Široj javnosti postala je poznata zahvaljujući francuskom topologu Reneu Thomasu koji je za nju saznao od kolege Bernarda Morina, a on pak od Amerikanca Arnolda Shapira, izumitelja ovog "preokreta". Ovo je posebno zanimljivo, s obzirom da je Bernard Morin slijep.

Ove slike pokazuju kako možete okrenuti kuglu naopako bez kršenja zahtjeva diferencijalne topologije. Prvo morate spojiti suprotne strane sive sfere (A) tako da ih gurnete jednu kroz drugu. Tada se obojana površina pojavljuje s obje strane (B). Zatim razvucite jedan od naslikanih dijelova (C) tako da dobijete površinu koja podsjeća na sedlo na dvije "noge" (O). Ove dvije noge su uvrnute u smjeru suprotnom od kazaljke na satu i dobije se površina E. Ona je ponovno prikazana (P) "u presjeku" uz pomoć vrpci, koje, kao u "kugli s ožiljkom", prikazuju presjeke na deset različitih razine.

Nadalje, nema smisla prikazivati ​​površine dobivene u svakoj fazi - one su previše složene. Ali možete, ako želite, razmotriti vrpce na svih 10 razina i mentalno završiti crtanje. Ipak, odlučili smo prikazati jednu fazu (H2) - čisto da možete zamisliti kakve figure nastaju. Površina G pojavljuje se nakon kompresije i rotacije za 90° sedla površine P.

Još nekoliko koraka. Naime: između stupnja I i J prolaze jedan kroz drugi dva kraka istog oblika. Svaki dio površine u obliku vrpce u koraku J ima dvije sive strane okrenute jedna prema drugoj. Između stadija J i K, unutarnji se sloj širi, a vanjski skuplja; dobije se površina K - potpuno ista kao J, samo su boje obrnute.

Zatim svi koraci idu obrnutim redoslijedom. Možete dobiti predodžbu o njima gledajući slike I, H, C itd. Samo trebate zamijeniti boje vrpci na svakoj slici. Predstavljamo kraj ovog drugog reda slika. Površina L odgovara površini F, L2 do E, i tako dalje.

Obojena kugla (površina P) odgovara sivoj sferi (površina A). Dakle, deformacija je završena i nema ožiljka. Samu mogućnost ovog trika prvi je dokazao S. Smale. I sve uzastopne faze deformacije izumio je A. Shapiro ...

P.S. O čemu još govore britanski znanstvenici: da mehanizam za okretanje kugle ponekad nije ništa filozofskiji od, recimo, PDF programa koji je stvorio neki talentirani programer.