전하 시스템의 정전기 에너지. 포인트 요금 시스템의 상호 작용 에너지

(간단한 이론 정보)

포인트 요금의 상호 작용 에너지

점전하 시스템의 상호작용 에너지는 서로 무한히 떨어진 지점에서 지정된 위치까지 전하의 느린(준정적) 이동을 통해 이 시스템(그림 1 참조)을 생성하는 외부 힘의 작업과 같습니다. 이 에너지는 시스템의 최종 구성에만 의존하며 시스템이 생성된 방식에는 의존하지 않습니다.

이 정의를 바탕으로 멀리 떨어진 진공 상태에 위치한 두 점 전하의 상호 작용 에너지에 대해 다음 공식을 얻을 수 있습니다. 아르 자형 12개:

. (1)

시스템에 세 개의 고정점 전하가 포함되어 있으면 상호 작용 에너지는 모든 쌍 상호 작용 에너지의 합과 같습니다.

어디 아르 자형 12 – 첫 번째와 두 번째 사이의 거리, 아르 자형 13 - 첫 번째와 세 번째 사이, 아르 자형 23 – 두 번째와 세 번째 청구 사이. 시스템의 전기적 상호작용 에너지는 다음과 같이 유사하게 계산됩니다. N포인트 요금:

예를 들어, 4전하 시스템의 경우 공식 (2)에는 6개의 항이 포함됩니다.

하전된 도체의 전기 에너지

고립된 대전 도체의 전기 에너지는 도체를 천천히 움직여 주어진 전하를 도체에 적용하기 위해 수행해야 하는 작업과 같습니다. 극소량의 부분으로무한대에서 처음에는 이러한 전하 부분이 상호 작용하지 않았습니다. 단일 도체의 전기 에너지는 다음 공식을 사용하여 계산할 수 있습니다.

, (3)

어디 큐– 도체의 전하,  – 전위. 특히, 전하를 띤 도체가 공 모양이고 진공 상태에 있으면 그 전위는 다음과 같습니다.
(3)에서 다음과 같이 전기 에너지는 다음과 같습니다.

어디 아르 자형– 공의 반경, 큐- 요금이 부과됩니다.

여러 충전된 도체의 전기 에너지는 유사하게 결정됩니다. 이는 이러한 전하를 도체에 적용하는 외부 힘의 작용과 동일합니다. 전기 에너지 시스템의 경우 N충전된 도체의 경우 다음 공식을 얻을 수 있습니다.

, (4)

어디 그리고 - 전하와 잠재력 - 차 지휘자. 공식 (3), (4)는 대전된 도체가 진공 상태가 아니라 등방성 중성 유전체에 있는 경우에도 유효합니다.

(4)를 사용하여 전기를 계산합니다. 충전된 커패시터의 에너지. 양극판의 전하를 나타냄 큐, 그 잠재력  1, 음극판의 잠재력  2, 우리는 다음을 얻습니다.

어디
- 커패시터 양단의 전압. 고려해 보면
, 커패시터 에너지에 대한 공식은 다음과 같은 형식으로 표현될 수도 있습니다.

, (5)

어디 씨– 커패시터의 커패시턴스.

자체 전기에너지 및 상호작용에너지

두 전도성 공의 전기 에너지를 고려해 보겠습니다. 그 반경은 다음과 같습니다. 아르 자형 1 , 아르 자형 2 및 요금 큐 1 , 큐 2. 공이 반경에 비해 먼 거리에 있는 진공 상태에 있다고 가정하겠습니다. 엘서로에게서. 이 경우 한 공의 중심에서 다른 공 표면의 한 지점까지의 거리는 대략 다음과 같습니다. 엘공의 잠재력은 다음 공식으로 표현될 수 있습니다.

,
.

(4)를 사용하여 시스템의 전기 에너지를 찾습니다.

결과 공식의 첫 번째 항은 첫 번째 공에 위치한 전하의 상호 작용 에너지입니다. 이 에너지를 (첫 번째 공의) 자체 전기 에너지라고 합니다. 마찬가지로, 두 번째 항은 두 번째 공의 자체 전기 에너지입니다. 마지막 항은 첫 번째 공의 전하와 두 번째 공의 전하의 상호 작용 에너지입니다.

~에
상호 작용의 전기 에너지는 볼의 자체 에너지의 합보다 훨씬 적습니다. 그러나 볼 사이의 거리가 변하면 자체 에너지는 실질적으로 일정하게 유지되고 총 전기 에너지의 변화는 대략 다음과 같습니다. 상호작용 에너지의 변화. 이 결론은 공을 전도하는 것뿐만 아니라 다음에 위치한 임의의 모양의 대전체에도 유효합니다. 긴 거리서로로부터: 시스템의 전기 에너지의 증가는 시스템의 하전체 상호 작용 에너지의 증가와 같습니다.
. 상호작용의 에너지
서로 멀리 떨어져 있는 물체는 모양에 의존하지 않으며 식 (2)에 의해 결정됩니다.

공식 (1), (2)를 도출할 때 각 포인트 요금은 전체적이고 변하지 않는 것으로 간주되었습니다. 그러한 지속적인 요금이 수렴되었을 때 수행된 작업만 고려되었지만 형성에는 고려되지 않았습니다. 반대로, 식 (3), (4)를 도출할 때 요금을 적용할 때 수행된 작업도 고려되었습니다. 큐 나무한히 먼 지점에서 무한히 작은 부분으로 전기를 전달하여 시스템의 각 몸체에 전달됩니다. 따라서 식 (3), (4)는 전하 시스템의 총 전기 에너지를 결정하고 식 (1), (2)는 점 전하 상호 작용의 전기 에너지만을 결정합니다.

체적 전기장 에너지 밀도

평행판 커패시터의 전기 에너지는 판 사이의 전계 강도로 표현될 수 있습니다.

어디
- 필드가 차지하는 공간의 양, 에스– 덮개의 면적, 디– 그들 사이의 거리. 충전된 도체와 유전체로 구성된 임의 시스템의 전기 에너지는 장력을 통해 표현될 수 있다는 것이 밝혀졌습니다.

, (5)

필드가 차지하는 전체 공간에 걸쳐 통합이 수행됩니다 (유전체는 등방성이며
). 크기 승단위 부피당 전기 에너지를 나타냅니다. 공식 (5)의 형태는 전기 에너지가 상호 작용하는 전하가 아니라 전기장 채우기 공간에 포함되어 있다고 가정하는 이유를 제공합니다. 정전기학의 틀 내에서 이 가정은 실험적으로 검증되거나 이론적으로 입증될 수 없지만 교번하는 전기장과 자기장을 고려하면 식(5)의 이 필드 해석의 정확성을 검증할 수 있습니다.

전하 사이의 상호 작용력은 보존적이므로 전하 시스템은 위치 에너지를 갖습니다.

두 개의 고정 점전하 q1과 q2가 멀리 떨어져 있다고 가정합니다. 아르 자형서로에게서. 다른 전하의 각 전하는 위치 에너지를 가지고 있습니다.

; , (4.1)

여기서 j 1.2와 j 2.1은 각각 전하 q 1이 위치한 지점에서 전하 q 2에 의해 생성된 전위와 전하 q 2가 위치한 지점에서 전하 q 1에 의해 생성된 전위입니다.

, ㅏ . (4.3)

따라서,

. (4.4)

두 전하가 시스템의 에너지 방정식에 대칭적으로 들어가려면 식 (4.4)를 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있습니다.

. (4.5)

전하 시스템에 전하 q 3 , q 4 등을 연속적으로 추가하면 N 전하의 경우 시스템의 위치 에너지가 다음과 같다는 것을 확인할 수 있습니다.

, (4.6)

여기서 j i는 i번째를 제외한 모든 전하에 의해 q i가 위치하는 지점에서 생성된 전위입니다.

기본 부피 dV에 전하가 연속적으로 분포되면 전하 dq = r×dV가 됩니다. 전하 상호 작용 에너지 dq를 결정하기 위해 공식 (4.6)을 적용하여 합에서 적분으로 전달할 수 있습니다.

, (4.7)

여기서 j는 체적 요소 dV의 한 지점에서의 전위입니다.

공식 (4.6)과 (4.7) 사이에는 근본적인 차이가 있다는 점에 유의해야 합니다. 식 (4.6)은 점전하 사이의 상호작용 에너지만 고려하고, 각 점전하의 전하 요소들이 서로 상호작용하는 에너지(점전하의 자체 에너지)는 고려하지 않습니다. 공식 (4.7)은 점전하 사이의 상호작용 에너지와 이들 전하의 자체 에너지를 모두 고려합니다. 점전하의 상호작용 에너지를 계산할 때 점전하의 부피 Vi에 대한 적분으로 감소됩니다.

, (4.8)

여기서 j i는 i번째 점 전하 부피의 임의 지점에서의 전위입니다.

j i = j i ¢ + j i с, (4.9)

여기서 j i ¢는 동일한 지점에서 다른 지점 전하에 의해 생성된 전위입니다.

j i с – 주어진 지점에서 i번째 지점 전하의 일부에 의해 생성된 전위.

점전하는 구형대칭으로 표현될 수 있으므로

(4.10)

여기서 W ¢는 공식 (4.6)에 의해 결정됩니다.

전하 자체 에너지의 가치는 전하 분포의 법칙과 전하의 크기에 따라 달라집니다. 예를 들어, 표면 밀도가 s인 균일한 구형 전하 분포를 사용하면

따라서,

. (4.11)

공식(4.11)에서 R®0에서 W 값은 ®\인 것이 분명합니다. 이는 점전하의 자체 에너지가 무한대와 같다는 것을 의미합니다. 이는 "포인트 충전" 개념의 심각한 단점을 초래합니다.

따라서 공식 (4.6)은 자체 에너지를 포함하지 않기 때문에 점 전하의 상호 작용을 분석하는 데 사용할 수 있습니다. 연속 전하 분포에 대한 공식(4.7)은 전체 상호 작용 에너지를 고려하므로 더 일반적입니다.

표면 전하가 존재하면 식 (4.7)의 형태가 다소 변합니다. 이 공식의 피적분자는 다음과 같습니다. 전위 j를 갖는 지점에 위치할 때 전하 원소 dq가 갖는 위치 에너지를 의미합니다. 이 위치 에너지는 dq가 공간 전하 원소인지 표면 전하 원소인지 여부와 무관합니다. 따라서 표면 분포의 경우 dq = s×dS입니다. 따라서 표면 전하 장의 에너지에 대해

중첩 원리.

여러 개의 대전체에 의해 생성된 전기장을 테스트 전하를 사용하여 연구하면 결과적인 힘은 각 대전체에서 개별적으로 테스트 전하에 작용하는 힘의 기하학적 합과 동일한 것으로 나타납니다. 결과적으로 공간의 특정 지점에서 전하 시스템에 의해 생성된 전계 강도는 동일한 지점에서 전하별로 생성된 전계 세기의 벡터 합과 같습니다.

전기장의 이러한 특성은 장이 순종한다는 것을 의미합니다. 중첩 원리. 쿨롱의 법칙에 따르면, 거리 r에서 점전하 Q에 의해 생성된 정전기장의 강도는 크기가 동일합니다.

이 필드를 쿨롱 필드라고 합니다. 쿨롱 장에서 강도 벡터의 방향은 전하 Q의 부호에 따라 달라집니다. Q가 0보다 크면 강도 벡터는 전하에서 멀어지는 방향으로 가고, Q가 0보다 작으면 강도 벡터는 다음과 같습니다. 혐의로 향합니다. 장력의 크기는 전하의 크기, 전하가 위치한 환경에 따라 달라지며, 거리가 멀어질수록 감소합니다.

표면 근처의 대전된 평면에 의해 생성된 전계 강도:

따라서 문제가 전하 시스템의 전계 강도를 결정해야 하는 경우 다음 알고리즘에 따라 진행해야 합니다.

1. 그림을 그려보세요.

2. 원하는 지점에 각 전하의 전계 강도를 별도로 그립니다. 장력은 음전하 방향으로 향하고 양전하 방향으로는 멀어진다는 점을 기억하십시오.

3. 적절한 공식을 사용하여 각 장력을 계산합니다.

4. 기하학적으로(즉, 벡터적으로) 응력 벡터를 추가합니다.

전하 상호작용의 잠재적 에너지.

전하는 서로 및 전기장과 상호 작용합니다. 모든 상호 작용은 위치 에너지로 설명됩니다. 두 점 전하의 상호작용의 잠재적 에너지다음 공식으로 계산됩니다.

요금에는 모듈이 없습니다. 전하와 달리 상호작용 에너지는 음의 값을 갖습니다. 균일하게 전하를 띤 구와 공의 상호작용 에너지에 대해서도 동일한 공식이 유효합니다. 평소와 마찬가지로 이 경우 거리 r은 공이나 구의 중심 사이를 측정합니다. 두 개가 아니라 더 많은 전하가 있는 경우 상호 작용 에너지는 다음과 같이 계산해야 합니다. 전하 시스템을 가능한 모든 쌍으로 나누고 각 쌍의 상호 작용 에너지를 계산하고 모든 쌍에 대한 모든 에너지를 합산합니다.

이 주제에 관한 문제는 기계 에너지 보존 법칙에 관한 문제와 같이 해결됩니다. 먼저 상호 작용의 초기 에너지를 찾은 다음 최종 에너지를 찾습니다. 문제에서 전하를 이동시키기 위해 수행된 작업을 찾으라고 요청하는 경우 전하 상호 작용의 초기 총 에너지와 최종 총 에너지 간의 차이와 같습니다. 상호작용 에너지는 운동에너지나 다른 유형의 에너지로 변환될 수도 있습니다. 물체가 매우 먼 거리에 있으면 상호 작용 에너지는 0과 같다고 가정됩니다.

참고: 문제가 움직일 때 물체(입자) 사이의 최소 또는 최대 거리를 찾아야 하는 경우, 이 조건은 입자가 같은 속도로 한 방향으로 움직이는 그 순간에 충족됩니다. 따라서 해법은 동일한 속도를 구하는 운동량 보존 법칙을 작성하는 것부터 시작해야 합니다. 그런 다음 두 번째 경우의 입자의 운동 에너지를 고려하여 에너지 보존 법칙을 작성해야 합니다.

전하가 무한대로 제거되면