이진 관계. 이진 관계의 예

정의. 이진 관계 R쌍의 하위 집합이라고 함 (a, b) ∈R데카르트 곱 A × B, 즉 R⊆A × B. 게다가 세트 NS관계 R의 정의 영역이라고 하고 집합 B를 값의 영역이라고 합니다.

표기법: aRb(즉, a와 b는 R과 관련됨). /

논평: A = B이면 R은 집합 A에 대한 관계라고 합니다.

이진 관계를 지정하는 방법

1. 이 관계가 충족되는 목록(쌍의 열거).

2. 매트릭스. 이진 관계 R ∈ A × A, 여기서 A = (a 1, a 2, ..., an)은 차수가 n인 정방 행렬에 해당하며, 여기서 요소 c ij는 i번째 행의 교차점에 있습니다. j번째 열은 ai와 aj 사이에 관계 R이 있는 경우 1이고, 없는 경우 0입니다.

관계 속성

R을 집합 A에 대한 관계라고 하자. R ∈ A × A. 그런 다음 비율 R:

Ɐ a ∈ A인 경우 재귀적: a Ra(재귀 관계 행렬의 주 대각선에는 1만 포함됨);

Ɐ a ∈ A인 경우 반사 방지: a Ra(재귀 관계 행렬의 주 대각선에는 0만 포함됨);

대칭인 경우 Ɐ a, b ∈ A: a R b ⇒ b Ra (이러한 관계의 행렬은 주대각선, 즉 c ij c ji에 대해 대칭임);

Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b인 경우 비대칭입니다(이러한 관계의 행렬에는 주대각선에 대해 대칭인 단위가 포함되지 않음).

전이적으로 Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c 선, 즉 ij = 1이면 j번째 행의 모든 ​​단위(이 단위는 k번째 좌표에 해당하도록 둡니다. c jk = 1)은 동일한 k번째 좌표에서 i번째 행의 단위, 즉 c ik = 1(그리고 아마도 다른 좌표에서도)과 일치해야 합니다.

작업 3.1.자연수 집합에 대해 정의된 관계 R의 속성을 "제수가 됨"으로 결정합니다.

해결책.

비율 R = ((a, b): a 제수 b):

임의의 숫자는 나머지 없이 자체를 나눕니다. a / a = 모든 a∈N에 대해 1입니다.

예를 들어 2는 4의 약수이지만 4는 2의 약수가 아닙니다.

전이적으로, b / a ∈ N 및 c / b ∈ N이면 c / a = b / a ⋅ c / b ∈ N, 예를 들어 6/3 = 2∈N 및 18/6 = 3∈N , 18/3 = 18 / 6⋅6 / 3 = 6∈N.

작업 3.2.일련의 사람들에게 주어진 관계 R의 속성을 결정하십시오 - "형제가되기".
해결책.

비율 R = ((a, b): a - 형제 b):

무반사, 무반사, 모두에 대한 Ra의 부재로 인한 무반사;

형제 a와 자매 b 사이의 일반적인 경우에는 aRb가 있지만 bRa는 없기 때문에 대칭이 아닙니다.

대칭이 아닙니다. 왜냐하면 b와 b가 형제라면 aRb와 bRa이지만 a ≠ b이기 때문입니다.

전이적으로, 우리가 공통 부모(아버지와 어머니)가 있는 사람들을 형제라고 부르는 경우.

과제 3.3.구조 요소 세트에 주어진 관계 R의 속성을 결정하십시오 - "보스가 되십시오"

해결책.

비율 R = ((a, b): a - 보스 b):

• 특정 해석에서 의미가 없는 경우 반사적이지 않음, 반사 방지됨
• 모든 a ≠ b에 대해 aRb와 bRa가 동시에 유지되지 않기 때문에 대칭이 아닌 비대칭입니다.
• 이행적으로, 만약 b가 b의 보스이고 b가 c의 보스라면, 그 다음은 c의 보스이기 때문입니다.

다음과 같은 경우 행렬에 의해 집합 Mi에 정의된 관계 Ri의 속성을 결정합니다.

1. R 1 "5로 나눈 나머지가 동일함"; M 1은 자연수의 집합입니다.
2. R 2 "동일하다"; M 2는 자연수의 집합입니다.
3. R 3 "한 도시에 산다"; M 3 많은 사람들.
4. R 4 "익숙하다"; 남 4 많은 사람들.
5. R 5 ((a, b) :( a-b) - 짝수, M 5는 숫자 집합(1,2,3,4,5,6,7,8,9)입니다.
6. R 6 ((a, b) :( a + b) - 짝수, M 6은 숫자 집합(1,2,3,4,5,6,7,8,9)입니다.
7. R 7 ((a, b): (a + 1) - 제수 (a + b)); 남 7 - 세트 (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
8. R 8 ((a, b): a - 제수 (a + b), a ≠ 1); M 8은 자연수의 집합입니다.
9. R 9 "자매가 되기 위해"; M9는 사람이 많다.
10. R 10 "딸이 되기 위해"; 남 10 - 많은 사람들.

이진 관계에 대한 연산

집합 A에 대해 정의된 관계를 R 1, R 1 이라고 하자.

노동 조합 R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a, b): (a, b) ∈ R 1 또는 (a, b) ∈ R 2);

횡단 R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a, b): (a, b) ∈ R 1 및 (a, b) ∈ R 2);

차이점 R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a, b): (a, b) ∈ R 1 및 (a, b) ∉ R 2);

보편적인 태도유: = ((a; b) / a ∈ A & b ∈ A). ;

덧셈 R 1 U \ R 1, 여기서 U = A × A;

신분 관계나: = ((a; a) / a ∈ A);

역 관계 R -1 1 : R -1 1 = ((a, b): (b, a) ∈ R 1);

구성 R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a, b) / a ∈ A & b ∈ B & ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), 여기서 R 1 ⊂ A × C 및 R 2 ⊂ C × B;

정의. 관계의 정도집합 A의 R을 집합 A의 구성이라고 합니다.

지정:

정의... R ⊂ A × B이면 R º R -1이 호출됩니다. 관계 R의 커널 .

정리 3.1. R ⊂ A × A를 집합 A에 대해 정의된 관계라고 하자.

1. R은 I ⊂ R일 때(다음에서 기호 ⇔가 사용됨) 경우에만 재귀적입니다.
2. R은 대칭 ⇔ R = R -1입니다.
3. R 전이 ⇔ R º R ⊂ R
4. R은 비대칭 ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I입니다.
5. R은 반사 방지 ⇔ R ⌒ I = ∅입니다.

작업 3.4 ... R = ((1,1), (2,3), (2,4) , ( 3.1), (3.4)). 또한 S는 집합 S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)) 간의 관계입니다. R -1, S -1 및 Sº R을 계산합니다. (Sº R) -1 = R -1, S -1인지 확인합니다.

해결책.
R -1 = ((1.1), (1.3), (3.2), (4.2), (4.3));
S -1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.4));
Sº R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(SºR) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2, 1), (2,2), (2,3)) = (Sº R ) -1 .

작업 3.5 ... 모든 사람의 집합에서 R을 "... 부모 ..." 관계라고 하고 S 관계를 "... 형제 ..."라고 합시다. 관계에 대한 짧은 구두 설명을 제공하십시오.

R -1, S -1, Rº S, S -1º R -1 및 Rº R.

해결책.

R -1 - 태도 "... 아이 ...";

S -1 - 태도 "... 형제 또는 자매 ...";

R º S - 관계 "... 부모 ...";

S -1 º R -1 - 태도 "... 아이 ..."

R º R - 태도 "... 할머니 또는 할아버지 ..."

독립 솔루션을 위한 작업

1) 모든 사람의 집합에서 R을 관계 "... 아버지 ...", S - 관계 "... 자매 ..."라고 합시다. 관계에 대한 구두 설명을 제공하십시오.

R -1, S -1, Rº S, S -1º R -1, Rº R.

2) 모든 사람의 집합에서 R을 "...형제..." 관계라고 하고 S - 관계식 "...어머니..."라고 합시다. 관계에 대한 구두 설명을 제공하십시오.

R -1, S -1, Sº R, R -1º S -1, Sº S.

3) R을 "... 할아버지 ..." 관계라고 하고 S - 모든 사람들의 집합에서 "... 아들 ..." 관계라고 합시다. 관계에 대한 구두 설명을 제공하십시오.

4) R을 "... 딸 ..." 관계라고 하고 S - 모든 사람의 집합에서 "... 할머니 ..." 관계라고 가정합니다. 관계에 대한 구두 설명을 제공하십시오.

5) R을 "... 조카딸 ..." 관계라고 하고 S - 모든 사람들의 집합에서 "... 아버지 ..." 관계라고 합시다. 관계에 대한 구두 설명을 제공하십시오.

R -1, S -1, Sº R, R -1º S -1, Rº R.

6) R을 "자매 ..." 관계라고 하고 S - 모든 사람들의 집합에서 "어머니 ..." 관계라고 합시다. 관계에 대한 구두 설명을 제공하십시오.

R -1, S -1, Rº S, S -1º R -1, Sº S.

7) R을 모든 사람의 집합에서 "...어머니 ..." 관계라고 하고 S - 관계 "... 자매 ..."라고 합시다. 관계에 대한 구두 설명을 제공하십시오.

R -1, S1, Rº S, S1º R1, Sº S.

8) R을 모든 사람의 집합에서 "... son ..." 관계라고 하고 S - 관계 "... 할아버지 ..."라고 합시다. 관계에 대한 구두 설명을 제공하십시오.

R -1, S -1, Sº R, R -1º S -1, Rº R.

9) R을 "... sister ..." 관계라고 하고 S - 모든 사람의 집합에서 "... father ..." 관계라고 가정합니다. 관계에 대한 구두 설명을 제공하십시오.

R -1, S -1, Rº S, S -1º R -1, Sº S.

10) R을 "...어머니 ..." 관계라고 하고 S - 모든 사람의 집합에서 "... 형제 ..." 관계라고 합시다. 관계에 대한 구두 설명을 제공하십시오.

R -1, S -1, Sº R, R -1º S -1, Rº R.

1. 반사성:

2. 약한 반사성:

3. 강한 반사성:

4. 반사 방지:

5. 약한 반사 방지:

6. 강한 반사 방지:

7. 대칭:

8. 비대칭:

9. 비대칭:

10. 강한 선형성:

11. 약한 선형성:

12. 전이성:

이진법의 속성인 반사성(2자리, 2항) 관계,일치하는 구성원이 있는 개체 쌍에 대한 가능성 표현(즉, 개체와 "거울 이미지" 사이): 관계 NS어떤 객체에 대한 경우 재귀라고합니다. NS정의 영역에서 xRX.재귀적 관계의 가장 중요한 예: 유형 관계 평등(동일성, 동등성, 유사성등: 모든 대상은 그 자체와 동일함) 및 느슨한 질서의 관계(어떤 대상은 자신보다 작거나 크지 않음). "평등"(동등성, 유사성 등)에 대한 직관적인 개념, 분명히 속성 부여 대칭그리고 전이성, R.의 속성은 또한 "강요"합니다. 왜냐하면 후자의 속성은 처음 두 속성에서 이어지기 때문입니다. 따라서 정의상 소유하지 않는 수학에서 사용되는 많은 관계는 예를 들어 각 직선이나 평면이 자신과 평행하다고 가정하는 등 반사적이 되는 방식으로 자연스럽게 재정의됩니다.

1장. 집합론의 요소

1.1 세트

수학에서 사용되는 가장 단순한 데이터 구조는 개별적으로 분리된 데이터 간에 관계가 없을 때 발생합니다. 그러한 데이터의 집계는 많이... 집합의 개념은 정의되지 않은 개념입니다. 세트에는 내부 구조가 없습니다. 집합은 몇 가지 공통 속성을 가진 요소의 모음으로 생각할 수 있습니다. 특정 요소 집합이 집합이라고 하려면 다음 조건이 충족되어야 합니다.

지정된 구성원이 지정된 모집단에 속하는지 여부를 판별하는 규칙이 있어야 합니다.

요소를 서로 구별하는 규칙이 있어야 합니다. (특히 이것은 집합이 두 개를 포함할 수 없음을 의미합니다. 똑같다집단).

세트는 일반적으로 대문자 라틴 문자로 표시됩니다. 요소인 경우

집합에 속하면 다음과 같이 표시됩니다.

집합의 각 요소가

집합의 요소이기도 하면 집합이라고 말합니다. 부분집합세트:

부분집합

세트가 호출됩니다 자체 하위 집합, 만약

집합의 개념을 사용하여 더 복잡하고 의미 있는 개체를 만들 수 있습니다.

1.2 작동 설정

세트의 주요 작업은 다음과 같습니다. 노동 조합, 횡단그리고 차이점.

정의 1. 강화

정의 2. 횡단두 집합을 새로운 집합이라고 합니다.

정의 3. 차이점두 집합을 새로운 집합이라고 합니다.

다른 집합이 정의된 객체의 클래스가 표시되는 경우

(유니버섬), 그 다음에 보완집합을 차차 n-ku라고 하며 권력 관계 .

논평. 관계의 개념은 수학적 관점에서만이 아니라 매우 중요합니다. 관계의 개념은 사실 모든 관계형 데이터베이스 이론의 핵심입니다. 아래에서 볼 수 있듯이 관계는 수학적 대응입니다. 테이블... Codd가 처음 소개한 "관계형 데이터 표현"이라는 용어는 관계, 이 정의의 의미에서 정확하게 이해됩니다.

모든 집합은 차수 1의 데카르트 곱으로 간주될 수 있으므로 모든 집합과 마찬가지로 모든 하위 집합은 차수 1의 관계로 간주될 수 있습니다. 이것은 매우 흥미로운 예가 아니며 "차수 1의 관계 "와 "서브셋"은 동의어입니다. 관계 개념의 중요하지 않음은 관계의 정도가 1보다 클 때 나타납니다. 여기에는 두 가지 핵심 사항이 있습니다.

처음에, 관계의 모든 요소는 같은 유형튜플. 튜플의 균일성은 튜플을 단순한 테이블의 행과 유사하다고 생각할 수 있습니다. 모든 행이 동일한 수의 셀로 구성되고 해당 셀에 동일한 데이터 유형이 포함된 테이블에서. 예를 들어, 다음 세 개의 튜플((1, "Ivanov", 1000), (2, "Petrov", 2000), (3, "Sidorov", 3000))로 구성된 관계는 다음에 대한 데이터를 포함하는 테이블로 간주될 수 있습니다. 직원과 그들의 급여. 이러한 테이블에는 3개의 행과 3개의 열이 있으며 각 열에는 동일한 유형의 데이터가 포함됩니다.

대조적으로, 다음으로 구성된 집합 ((1), (1,2), (1, 2,3))을 고려하십시오. 다양한숫자 튜플. 이 집합은 어떤 관계도 아니다

, 안도 안도. 이 집합에 포함된 튜플에서 간단한 테이블을 만드는 것은 불가능합니다. 사실, 이 집합은 가능한 모든 차수의 모든 가능한 숫자 튜플 집합에서 차수 1의 관계로 간주될 수 있습니다.

이산 수학의 기초.

세트의 개념입니다. 집합 간의 관계.

집합 - 단일 전체로 결합된 특정 속성을 가진 개체 모음입니다.

집합을 구성하는 객체는 다음과 같습니다. 집단세트. 특정 개체 집합이 집합이라고 하려면 다음 조건이 충족되어야 합니다.

· 요소가 주어진 모집단에 속하는지 여부를 결정할 수 있는 규칙이 있어야 합니다.

· 요소들을 서로 구별할 수 있는 규칙이 있어야 합니다.

집합은 대문자로 표시되고 해당 요소는 소문자로 표시됩니다. 세트 지정 방법:

· 집합 요소의 열거. - 유한 집합의 경우.

특성 속성의 사양 .

빈 세트- 원소(Ø)를 포함하지 않는 집합이라고 합니다.

두 집합이 동일한 요소로 구성되어 있으면 동일하다고 합니다. , A = B

많이 NS집합의 부분집합이라고 함 NS(, 집합의 모든 요소가 있는 경우에만 NS세트에 속하다 NS.

예를 들어: , NS =>

재산:

참고: 일반적으로 동일한 e 집합의 하위 집합을 고려합니다. 만능인(유). 유니버설 세트에는 모든 요소가 포함됩니다.

세트에 대한 작업.

NS

NS

1. 강화 2 집합 A와 B는 집합 A 또는 집합 B의 요소(집합 중 적어도 하나의 요소)가 속하는 집합입니다.

2.횡단 2개의 집합은 첫 번째 집합과 두 번째 집합에 동시에 속하는 요소로 구성된 새로운 집합이라고 합니다.

번호:,,

속성: 합집합 및 교차 작업.

· 교환성.

· 연관성. ;

· 배포. ;

유

4.덧셈... 만약에 NS범용 집합의 하위 집합입니다. 유, 다음 집합의 보수 NS많은 사람들에게 유(표시)는 집합의 요소로 구성된 집합이라고 합니다. 유집합에 속하지 않는 것 NS.

이진 관계 및 해당 속성.

하자 NS그리고 V이것들은 파생된 성격의 집합입니다. 순서가 지정된 요소 쌍을 고려하십시오. (a, c) a ϵ A, b ϵ B주문한 "enki"를 고려할 수 있습니다.

(a 1, a 2, a 3, ... an), 어디 NS 1 ϵ А 1; NS 2 ϵ А 2; ...; NS N ϵ А n;

데카르트(직접) 집합의 곱 А 1, А 2, ..., А n, 는 형식의 순서가 지정된 n k 로 구성된 복수의 숫자라고 합니다.

번호: 미디엄= {1,2,3}

남 × 남 = 남 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

데카르트 곱의 부분집합 정도의 비율이라고 N또는 enary 관계. 만약에 N= 2, 다음 고려 바이너리관계. 그들이 뭐라고 에이 1, 에이 2이진 관계에 있습니다 NS, 언제 1 라 2.

세트의 이진 관계 미디엄집합의 직접 곱의 부분집합이라고 합니다. N당신 자신.

남 × 남 = 남 2= {(에이, ㄴ)| a, b ϵ M) 이전 예에서 비율은 세트에서 더 작습니다. 미디엄다음 집합을 생성합니다: ((1,2), (1,3), (2,3))

이진 관계에는 다음과 같은 다양한 속성이 있습니다.

반사성: .

· 반사 방지(무반사):.

· 대칭:.

· 비대칭:.

· 전이성:.

· 비대칭:.

관계의 유형.

· 등가비;

· 질서의 태도.

v 재귀적 이행 관계를 준순서 관계라고 합니다.

v 반사 대칭 전이 관계를 등가 관계라고 합니다.

v 반사적 반대칭 추이 관계를 (부분) 순서 관계라고 합니다.

v 반반대칭 전이 관계를 엄격한 순서 관계라고 합니다.

이진 관계.

A와 B를 임의의 집합이라고 하자. 각 집합에서 하나의 요소, A에서, b에서 B를 가져와 다음과 같이 작성합니다. (첫 번째 세트의 첫 번째 요소, 다음 두 번째 세트의 요소 - 즉, 요소가 취해진 순서가 우리에게 중요합니다). 그러한 객체는 주문 쌍. 동일한동일한 숫자를 가진 요소가 동일한 쌍만 계산합니다. = a = c 및 b = d인 경우. 분명히 ≠ b이면 ≠ .

데카르트 곱임의의 집합 A와 B(AB로 표시됨)는 가능한 모든 순서쌍으로 구성된 집합이라고 하며, 첫 번째 요소는 A에 속하고 두 번째 요소는 B에 속합니다. 정의에 따르면 AB = ( | aA 및 bB). 분명히 A ≠ B이면 AB ≠ BA입니다. 집합 A의 데카르트 곱 자체가 n번이라고 합니다. 데카르트 학위에이(An으로 표시됨).

예 5. A = (x, y) 및 B = (1, 2, 3)이라고 합시다.

AB = ( , , , , , }.

학사 = (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA = A 2 = ( , , , }.

BB = B 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

이진 관계집합 M에서 우리는 집합 M의 일부 순서쌍의 집합을 의미합니다. r이 이진 관계이고 쌍 이 관계에 속하면 다음과 같이 씁니다. r 또는 x r y. 분명히, r Í M 2.

예 6. 집합(<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>)은 집합(1, 2, 3, 4, 5)에 대한 이진 관계입니다.

예 7. 정수 집합에 대한 관계 ³는 이진 관계입니다. 이것은 다음 형식의 무한한 수의 순서 쌍입니다. 여기서 x ³ y, x 및 y는 정수입니다. 이 관계에는 예를 들어 쌍이 포함됩니다.<5, 3>, <2, 2>, <324, -23>그리고 쌍에 속하지 않는다<5, 7>, <-3, 2>.

예 8. 집합 A에 대한 등식 관계는 이진 관계입니다. I A = ( | x α). 나는 A라고 불린다 대각선세트 A.

이진 관계는 집합이므로 합집합, 교집합, 보수, 차등의 연산을 적용할 수 있습니다.

범위이진 관계 r의 집합 D(r) = (x | xry와 같은 y가 있음)이라고 합니다. 값 범위이진 관계 r의 집합 R(r) = (y | xry와 같은 x가 있음)이라고 합니다.

태도, 뒤집다이진 관계 r Í M 2 는 이진 관계 r -1 = ( | Δ r). 분명히, D(r -1) = R(r), R(r -1) = D(r), r - 1 Í M 2.

구성집합 M에 대해 주어진 이진 관계 r 1 및 r 2를 이진 관계 r 2 또는 r 1 = ( | 그런 y가 있다 Δ r 1 및 Í r 2). 분명히, r 2 또는 r 1 Í M 2.

예제 9. 이진 관계 r이 집합 M = (a, b, c, d), r = ( , , , ). 그런 다음 D (r) = (a, c), R (r) = (b, c, d), r -1 = ( , , , ), r 또는 r = ( , , , ), r -1 또는 r = ( , , , ), r 또는 ‑1 = ( , , , , , , }.

r을 집합 M에 대한 이진 관계라고 하자. 관계 r은 반사 x r x 임의의 x Δ M에 대한 경우 관계 r이 호출됩니다. 대칭각 쌍과 함께라면 그것은 또한 한 쌍을 포함합니다 ... 비율 r은 타동사 x r y 및 y r z라는 사실에서 x r z를 따릅니다. 비율 r은 비대칭쌍을 동시에 포함하지 않는 경우 그리고 집합 M의 다른 요소 x ¹ y.

이러한 속성을 충족하기 위한 기준을 표시해 보겠습니다.

집합 M에 대한 이항 관계 r은 I M Í r인 경우에만 반사적입니다.

이진 관계 r은 r = r -1인 경우에만 대칭입니다.

집합 M의 이항 관계 r은 r Ç r ‑1 = IM인 경우에만 비대칭입니다.

이진 관계 r은 r 또는 r Í r인 경우에만 전이적입니다.

예 10. 예 6의 관계는 대칭이 아니지만 대칭, 반사 및 전이가 아닙니다. 예 7의 관계는 반사적, 비대칭적, 전이적이지만 대칭은 아닙니다. 관계 IA에는 고려 중인 네 가지 속성이 모두 있습니다. r ‑1 or r 및 r or r ‑1 관계는 대칭적이고 전이적이지만 반대칭 및 반사적이지 않습니다.

태도 등가집합 M에서 M 이진 관계에 대한 전이, 대칭 및 반사라고 합니다.

태도 부분 주문집합 M에서 M 이진 관계 r에 대한 전이, 비대칭 및 반사라고 합니다.

예 11. 예 7의 관계는 부분 순서입니다. 관계 IA는 등가 및 부분 순서 관계입니다. 일련의 선에 대한 병렬 관계는 등가 관계입니다.

"태도"라는 개념 자체는 물론 익숙합니다. 우리는 종종 그것을 연설에서 사용합니다. 예를 들어, 나는 우리 그룹의 모든 학생들과 좋은 관계를 유지하고 있다고 말할 수 있습니다.

인생에서 우리는 끊임없이 다른 관계에 있고 다른 관계에 들어갑니다. 가족 구성원과 우리는 친족 관계에 있습니다. 학교 친구와 - 우정 측면에서, 우리가 공부하거나 일하는 기관의 지도자와 종속 관계 등입니다. 이러한 의미에서 태도는 연결의 특정 특성입니다.

2.2절에서 우리는 수학적 객체들 사이에 존재하는 관계에 대해 이야기했습니다. 따라서 집합과 관련된 요소는 소속 관계에 있으며 두 집합은 포함 또는 평등 관계에 있을 수 있습니다.

이제 집합의 요소 사이에 존재할 수 있는 관계를 살펴보겠습니다. 그래서 우리는 고려된 예에서 집합의 요소 사이에 설정된 관계를 이진법이라고 말했습니다.

본질적으로, 이 예에서 우리는 먼저 주어진 세트의 데카르트 곱을 컴파일했습니다. 이러한 집합의 모든 요소 쌍의 집합이므로 쌍의 첫 번째 요소는 첫 번째 집합에 속하고 두 번째 요소는 두 번째 집합에 속합니다. 그런 다음 이 쌍의 집합에서 각 학생이 공부하고 있는 교수진을 보여주는 쌍의 하위 집합을 선택했습니다.

정의 2.8. 이진 관계 라이 세트 사이 V 데카르트 곱의 모든 하위 집합을 아 V.

이진 관계는 일반적으로 p("ro"), a("sigma"), | /("psi") 등 그리스 알파벳 문자로 표시됩니다.

p가 집합 간의 이진 관계인 경우 NS 그리고 V, 그러면 이진 관계의 정의에 따라 p c c A x B라고 쓸 수 있습니다.

쌍(a, NS )는 이진 관계 p에 속합니다. 즉, (NS, NS ) e p, 그러면 그들은 그 요소가 NS요소가 있는 p와 관련이 있습니다. NS, arb를 작성합니다. 그래서 위의 예에서는 '교수진에서 공부하는' 태도를 고려한 것이다. 그러면 우리는 Peter가 수학부와 이러한 관계에 있다고 말할 수 있습니다.

수학의 일부 관계에는 특정 징후가 있습니다. 예를 들어,

이진 관계가 쌍의 집합이라는 사실 때문에 다른 집합과 마찬가지로 이러한 쌍을 열거하거나 이 관계에 속하는 데카르트 곱에서 쌍을 추출하기 위한 특성 속성을 지정하여 지정할 수 있습니다.

예 2.6

두 개의 숫자 집합이 주어집니다. A =(1, 3.5) 및 B =(2, 8, 10). 이러한 열거 세트 사이의 이진 관계 o를 정의합시다. NS= ((1, 2), (5, 10)). 특성 속성으로 동일한 관계를 지정할 수 있습니다. 이진 관계는 첫 번째 집합의 숫자가 두 번째 집합의 숫자보다 2배 작도록 숫자 쌍으로 형성됩니다.

예 2.7

귀하의 학술 그룹에 있는 많은 학생들을 고려하십시오. 이 세트에서 "친구"의 관계를 설정합시다. 학술 그룹의 학생 쌍에 대해 주어진 관계에 있는지 여부를 알 수 있습니다. 이 이진 관계가 빈 집합을 형성할 수도 있습니다. 어떤 경우에 될까요?

마지막 예에서는 두 집합의 요소 사이가 아니라 한 집합의 요소 간에 관계를 설정했다는 사실에 주목해야 합니다. 이것은 또한 가능하며 이진 관계의 정의와 모순되지 않습니다. 이 경우에만 두 집합의 데카르트 곱 대신 집합의 데카르트 제곱을 고려해야 합니다.

집합에 정의된 이진 관계는 다른 속성을 가질 수 있습니다. 그들을 고려해 봅시다.

1. 반사성의 속성.

정의 2.9. 반사 어떤 경우 엘쌍 (a> a) f NS.

태도 "

2. 대칭의 속성.

정의 2.10.그들은 집합 A에 주어진 이항 관계 p가 대칭 어떤 요소와 NS Л에서 쌍( NS , NS )는 관계 p에 있으며 쌍( NS , NS) p와 관련이 있습니다.

예를 들어, 실수 집합에 정의된 등식 관계는 대칭입니다. 케이 숫자와 동일 NS ) 그 다음 번호 NS 숫자와 동일 케이. 친구가 되려는 태도도 대칭적입니다.

한편, 크기 순서의 비율(

3. 비대칭의 속성.

정의 2.11. 그들은 집합 A에 주어진 이항 관계 p가 대칭 어떤 요소에 대해 NS 그리고 NS Л에서 쌍 (i, /;) 및 (/ ;, NS) p와 관련하여 다음과 같습니다. NS = NS.

예를 들어, 실수 집합의 크기 순서 관계는 비대칭입니다. 결국, 숫자에 대해 알려진 경우 NS 그리고 ~에 완료 NS 그리고 ~에 그렇다면 이것은 의미합니다 x - y. 그러나 직선의 평행도 비율은 비대칭이 아닙니다. / 직선에 평행 NS그리고 스트레이트 NS직선에 평행 /, 이것은 라인 / 및 NS 성냥. 그들은 다를 수 있습니다.

4. 전이의 속성.

정의 2.12.그들은 집합 A에 주어진 이항 관계 p가 타동사 ~에어떤 요소에 대해 NS, NS 그리고 ~와 함께짝을 이루는 사실로부터 L로부터 (i, NS ) 및 (/ ?, c)는 p와 관련하여 (아, 다)또한 p와 관련이 있습니다.

전이성의 속성은 크기의 순서 관계, 평행성, "상대적"이라는 관계에 의해 소유됩니다.

직선의 직각도 비율은 전이적이지 않습니다(그림을 참조하여 표시). 또한, "친구가 되는" 관계도 본질적으로 전이적이지 않습니다(이 관계의 전이성에 대한 욕구가 표현되는 속담이 있지만: "내 친구의 친구는 내 친구입니다").

우리는 일반적으로 사용되는 두 가지 유형의 관계를 정의하는 이진 관계의 기본 속성만 고려했습니다.

등가 관계 (또는 등가)는 반사성, 대칭성 및 전이성의 속성을 갖는 이진 관계입니다.

질서정연한 태도 (또는 정렬)은 반사성, 반대칭성 및 전이성의 속성을 가진 이진 관계입니다.

예를 들어, "동급생"이라는 태도는 반사성, 대칭 및 전이성의 속성을 갖기 때문에 등가입니다. 많은 사람들에게 "키가 크지 않은" 태도는 질서 있는 태도입니다.

등가와 순서 관계는 수학의 다양한 영역에서 매우 중요하며, 등가는 다른 대상을 분류할 때 사용됩니다. 이를 이해하기 위해 먼저 집합의 분할과 같은 수학적 개념을 살펴보겠습니다.

정의 2.13. 헤어짐으로써 세트 /! 이 집합을 분리된 부분집합의 합집합 형태로 표현한 것을 라고 합니다. 파티션 클래스.

세트의 파티션을 다루고 있는지 확인하려면 두 가지 조건을 확인해야 합니다.

• 분할 중에 얻은 부분 집합의 합집합은 원래 집합입니다.
• 두 개의 개별 하위 집합의 교집합은 비어 있습니다.

분류를 수행할 때 파티션의 클래스는 소위 동등 클래스. 이러한 클래스는 어떻게 구축됩니까?

세트에 하자 NS 일부 등가 관계 p가 도입되었습니다. 어떤 요소를 취하자 NS ~에서 NS 및 모든 항목 NS, 누구와 함께 NS p와 관련하여. 이 모든 요소는 요소 등가 클래스를 형성합니다. NS. 요소 자체가 분명합니다. NS 이 클래스에 들어갈 것입니다. 실제로, p가 등가 관계이면 반사성의 속성을 갖습니다. (a) a) f p, 이것은 요소 자체가 NS 그것이 형성하는 등가 클래스에 속합니다.

집합의 다른 요소의 등가 클래스가 일치하거나 교차하지 않음을 증명할 수 있습니다. 이와 관련하여 이러한 클래스를 파티셔닝 클래스로 간주할 수 있다고 가정할 수 있습니다.

실제로, 등가 관계가 집합에 주어지면 이 집합의 요소를 포함하는 모든 등가 클래스의 집합이 이 집합의 분할이라는 정리가 있습니다.

다른 한편으로, 집합의 어떤 분할이 있고 이 집합에 이진 관계가 주어져서 집합의 한 쌍의 요소가 동일한 클래스에 속하는 경우에만 이 관계에 있음을 증명할 수 있습니다. 파티션이면 이 이진 관계는 등가가 됩니다.

이러한 진술 각각을 스스로 증명하려고 시도하거나 작품에서 주어진 증명을 분석할 수 있습니다.

등가 클래스를 사용할 때 집합을 하위 집합으로 나눕니다. 각 하위 집합에는 일종의 "동일한" 요소가 포함됩니다. 예를 들어, 모든 양의 분수 집합은 다음과 같은 방식으로 등가 클래스로 나눌 수 있습니다.

흉선 분획(예: -); 2) 해당하는 각 등가 등급에서

2 4 6 8 시간

해당 분수는 그것과 같은 모든 분수를 포함합니다 - = - = - = 1

따라서 모든 양의 분수를 해당 동등 클래스로 나눕니다. 이러한 각 클래스는 양의 유리수입니다.

• 대 소비에트 백과사전은 “태도는 어떤 것에 대한 사람의 감정적 의지적 태도, 즉, 그녀의 입장 표현; 다양한 대상이나 주어진 대상의 측면에 대한 정신적 비교." D. N. Ushakov의 설명 사전에서 "관계는 상호 의사 소통, 어떤 토양에서의 의사 소통으로 형성된 사람, 사회, 국가 등 간의 의사 소통입니다."