आवेशों की एक प्रणाली की इलेक्ट्रोस्टैटिक ऊर्जा। बिंदु आवेशों की एक प्रणाली की अंतःक्रिया ऊर्जा

(संक्षिप्त सैद्धांतिक जानकारी)

बिंदु आवेशों की अंतःक्रिया ऊर्जा

बिंदु आवेशों की एक प्रणाली की अंतःक्रिया ऊर्जा इस प्रणाली को बनाने के लिए बाहरी बलों के काम के बराबर है (चित्र 1 देखें) एक दूसरे से असीम रूप से दूर के बिंदुओं से दिए गए पदों तक आवेशों की धीमी (अर्ध-स्थैतिक) गति के माध्यम से। यह ऊर्जा केवल सिस्टम के अंतिम विन्यास पर निर्भर करती है, न कि उस तरीके पर जिस तरह से यह सिस्टम बनाया गया था।

इस परिभाषा के आधार पर, हम दूरी पर निर्वात में स्थित दो बिंदु आवेशों की परस्पर क्रिया ऊर्जा के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त कर सकते हैं आर 12 अलग:

. (1)

यदि किसी प्रणाली में तीन स्थिर बिंदु आवेश होते हैं, तो उनकी परस्पर क्रिया की ऊर्जा सभी युग्म अंतःक्रियाओं की ऊर्जा के योग के बराबर होती है:

कहाँ आर 12 - पहले और दूसरे के बीच की दूरी, आर 13 - पहले और तीसरे के बीच, आर 23 - दूसरे और तीसरे आरोप के बीच। सिस्टम की विद्युत संपर्क ऊर्जा की गणना इसी प्रकार की जाती है एनबिंदु शुल्क:

उदाहरण के लिए, 4 आवेशों की प्रणाली के लिए, सूत्र (2) में 6 पद हैं।

आवेशित चालकों की विद्युत ऊर्जा

एक पृथक आवेशित चालक की विद्युत ऊर्जा उस कार्य के बराबर होती है जो किसी दिए गए आवेश को चालक पर धीरे-धीरे घुमाकर लागू करने के लिए किया जाना चाहिए। अतिसूक्ष्म भागों मेंअनंत से, जहां प्रारंभ में आवेश के ये भाग परस्पर क्रिया नहीं करते थे। एक अकेले चालक की विद्युत ऊर्जा की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है

, (3)

कहाँ क्यू- कंडक्टर का चार्ज,  - इसकी क्षमता। विशेष रूप से, यदि किसी आवेशित कंडक्टर का आकार गेंद जैसा है और वह निर्वात में स्थित है, तो इसकी क्षमता
और, (3) के अनुसार, विद्युत ऊर्जा बराबर है

कहाँ आर– गेंद की त्रिज्या, क्यू- इसका चार्ज.

कई आवेशित चालकों की विद्युत ऊर्जा इसी प्रकार निर्धारित की जाती है - यह इन आवेशों को चालकों पर लागू करने के लिए बाहरी बलों के कार्य के बराबर है। से विद्युत ऊर्जा प्रणाली के लिए एनआवेशित चालक, हम सूत्र प्राप्त कर सकते हैं:

, (4)

कहाँ और - प्रभार और क्षमता - वें कंडक्टर. ध्यान दें कि सूत्र (3), (4) उस स्थिति में भी मान्य हैं जब आवेशित कंडक्टर निर्वात में नहीं हैं, बल्कि एक आइसोट्रोपिक तटस्थ ढांकता हुआ में हैं।

(4) का उपयोग करके हम विद्युत की गणना करते हैं आवेशित संधारित्र की ऊर्जा. धनात्मक प्लेट के आवेश को निरूपित करना क्यू, इसकी क्षमता  1, और नकारात्मक प्लेट की क्षमता  2, हमें मिलता है:

कहाँ
- संधारित्र पर वोल्टेज। ध्यान में रख कर
, संधारित्र ऊर्जा के सूत्र को फॉर्म में भी दर्शाया जा सकता है

, (5)

कहाँ सी- संधारित्र की धारिता.

स्वयं की विद्युत ऊर्जा और अंतःक्रियात्मक ऊर्जा

आइए हम दो संवाहक गेंदों की विद्युत ऊर्जा पर विचार करें, जिनकी त्रिज्याएँ हैं आर 1 , आर 2 और आरोप क्यू 1 , क्यू 2. हम मान लेंगे कि गेंदें अपनी त्रिज्या की तुलना में बड़ी दूरी पर निर्वात में स्थित हैं एलएक दूसरे से। इस मामले में, एक गेंद के केंद्र से दूसरे की सतह पर किसी भी बिंदु तक की दूरी लगभग बराबर होती है एलऔर गेंदों की क्षमता को सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

,
.

हम (4) का उपयोग करके सिस्टम की विद्युत ऊर्जा ज्ञात करते हैं:

परिणामी सूत्र में पहला पद पहली गेंद पर स्थित आवेशों की परस्पर क्रिया की ऊर्जा है। इस ऊर्जा को उसकी अपनी विद्युत ऊर्जा (पहली गेंद की) कहा जाता है। इसी प्रकार, दूसरा पद दूसरी गेंद की अपनी विद्युत ऊर्जा है। अंतिम पद पहली गेंद के आवेशों की दूसरी गेंद के आवेशों के साथ परस्पर क्रिया की ऊर्जा है।

पर
परस्पर क्रिया की विद्युत ऊर्जा गेंदों की आत्म-ऊर्जा के योग से काफी कम है, हालाँकि, जब गेंदों के बीच की दूरी बदलती है, तो आत्म-ऊर्जा व्यावहारिक रूप से स्थिर रहती है और कुल विद्युत ऊर्जा में परिवर्तन लगभग बराबर होता है अंतःक्रिया ऊर्जा में परिवर्तन। यह निष्कर्ष न केवल गेंदों के संचालन के लिए मान्य है, बल्कि मनमाने आकार के आवेशित पिंडों के लिए भी मान्य है लम्बी दूरीएक दूसरे से: सिस्टम की विद्युत ऊर्जा में वृद्धि सिस्टम के आवेशित निकायों की परस्पर क्रिया की ऊर्जा में वृद्धि के बराबर है:
. अंतःक्रिया की ऊर्जा
एक दूसरे से दूर स्थित पिंड उनके आकार पर निर्भर नहीं करते हैं और सूत्र (2) द्वारा निर्धारित होते हैं।

सूत्र (1), (2) प्राप्त करते समय, प्रत्येक बिंदु शुल्क को संपूर्ण और अपरिवर्तनीय माना जाता था। केवल ऐसे स्थिर आवेशों के अभिसरण पर किए गए कार्य को ध्यान में रखा गया, लेकिन उनके गठन पर नहीं। इसके विपरीत, सूत्र (3), (4) निकालते समय, आरोप लगाते समय किए गए कार्य को भी ध्यान में रखा गया क्यू मैंसिस्टम के प्रत्येक निकाय में अनंत दूर के बिंदुओं से अनंत छोटे भागों में बिजली स्थानांतरित करके। इसलिए, सूत्र (3), (4) आवेशों की प्रणाली की कुल विद्युत ऊर्जा निर्धारित करते हैं, और सूत्र (1), (2) केवल बिंदु आवेशों की परस्पर क्रिया की विद्युत ऊर्जा निर्धारित करते हैं।

वॉल्यूमेट्रिक विद्युत क्षेत्र ऊर्जा घनत्व

एक समानांतर-प्लेट संधारित्र की विद्युत ऊर्जा को उसकी प्लेटों के बीच क्षेत्र की ताकत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

कहाँ
- मैदान द्वारा घेरी गई जगह का आयतन, एस– आवरण का क्षेत्र, डी- उनके बीच की दूरी. यह पता चला है कि आवेशित कंडक्टरों और डाइलेक्ट्रिक्स की एक मनमानी प्रणाली की विद्युत ऊर्जा को तनाव के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है:

, (5)

और एकीकरण क्षेत्र द्वारा व्याप्त संपूर्ण स्थान पर किया जाता है (यह माना जाता है कि ढांकता हुआ आइसोट्रोपिक है और
). परिमाण डब्ल्यूप्रति इकाई आयतन विद्युत ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है। सूत्र (5) का रूप यह मानने का कारण देता है कि विद्युत ऊर्जा परस्पर क्रिया करने वाले आवेशों में नहीं, बल्कि उनके विद्युत क्षेत्र को भरने वाले स्थान में निहित है। इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के ढांचे के भीतर, इस धारणा को प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित या सैद्धांतिक रूप से प्रमाणित नहीं किया जा सकता है, लेकिन वैकल्पिक विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों पर विचार करने से सूत्र (5) की इस क्षेत्र व्याख्या की शुद्धता को सत्यापित करना संभव हो जाता है।

विद्युत आवेशों के बीच परस्पर क्रिया की शक्तियाँ रूढ़िवादी होती हैं, इसलिए, विद्युत आवेशों की एक प्रणाली में स्थितिज ऊर्जा होती है।

मान लीजिए कि दूरी पर स्थित दो स्थिर बिंदु आवेश q 1 और q 2 दिए गए हैं आरएक दूसरे से। दूसरे आवेश के क्षेत्र में प्रत्येक आवेश में स्थितिज ऊर्जा होती है

; , (4.1)

जहाँ j 1.2 और j 2.1 क्रमशः आवेश q 2 द्वारा उस बिंदु पर बनाई गई क्षमताएँ हैं जहाँ आवेश q 1 स्थित है और आवेश q 1 द्वारा उस बिंदु पर जहाँ आवेश q 2 स्थित है।

, ए . (4.3)

इस तरह,

. (4.4)

सिस्टम के ऊर्जा समीकरण में दोनों आवेशों को सममित रूप से दर्ज करने के लिए, अभिव्यक्ति (4.4) को इस रूप में लिखा जा सकता है

. (4.5)

आवेशों की प्रणाली में क्रमिक रूप से आवेश q 3, q 4 आदि जोड़कर, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि N आवेशों के मामले में प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा है

, (4.6)

जहाँ j i उस बिंदु पर निर्मित क्षमता है जहाँ q i, i -th को छोड़कर सभी आवेशों द्वारा स्थित है।

प्रारंभिक आयतन dV में आवेशों के निरंतर वितरण के साथ एक आवेश dq = r×dV होता है। चार्ज इंटरेक्शन ऊर्जा डीक्यू निर्धारित करने के लिए, हम सूत्र (4.6) लागू कर सकते हैं, इसे योग से अभिन्न तक पास कर सकते हैं:

, (4.7)

जहां j आयतन तत्व dV के एक बिंदु पर क्षमता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि सूत्र (4.6) और (4.7) के बीच एक बुनियादी अंतर है। सूत्र (4.6) केवल बिंदु आवेशों के बीच परस्पर क्रिया की ऊर्जा को ध्यान में रखता है, लेकिन प्रत्येक बिंदु आवेश के आवेश तत्वों की एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया की ऊर्जा (बिंदु आवेश की अपनी ऊर्जा) को ध्यान में नहीं रखता है। सूत्र (4.7) बिंदु आवेशों के बीच परस्पर क्रिया ऊर्जा और इन आवेशों की स्वयं की ऊर्जा दोनों को ध्यान में रखता है। बिंदु आवेशों की अंतःक्रिया ऊर्जा की गणना करते समय, इसे बिंदु आवेशों के आयतन V i पर समाकलन में घटा दिया जाता है:

, (4.8)

जहां j i, i-वें बिंदु आवेश के आयतन में किसी भी बिंदु पर क्षमता है;

जे आई = जे आई ¢ + जे आई सी, (4.9)

जहाँ j i ¢ एक ही बिंदु पर अन्य बिंदु आवेशों द्वारा निर्मित क्षमता है;

जे आई सी - किसी दिए गए बिंदु पर आई-वें बिंदु चार्ज के हिस्सों द्वारा बनाई गई क्षमता।

चूँकि बिंदु आवेशों को गोलाकार रूप से सममित रूप में दर्शाया जा सकता है

(4.10)

जहां W ¢ सूत्र (4.6) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

आवेश की अपनी ऊर्जा का मान आवेश वितरण के नियमों और आवेशों के परिमाण पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, सतह घनत्व s के साथ आवेशों के एक समान गोलाकार वितरण के साथ

इस तरह,

. (4.11)

सूत्र (4.11) से यह स्पष्ट है कि R®0 पर W का मान ®¥ के साथ है। इसका मतलब यह है कि एक बिंदु आवेश की आत्म-ऊर्जा अनंत के बराबर होती है। इससे "प्वाइंट चार्ज" अवधारणा की गंभीर कमियाँ सामने आती हैं।

इस प्रकार, सूत्र (4.6) का उपयोग बिंदु आवेशों की परस्पर क्रिया का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है, क्योंकि इसमें उनकी अपनी ऊर्जा नहीं होती है। सतत चार्ज वितरण के लिए फॉर्मूला (4.7) संपूर्ण अंतःक्रिया ऊर्जा को ध्यान में रखता है, और इसलिए अधिक सामान्य है।

सतही आवेशों की उपस्थिति में सूत्र (4.7) का रूप कुछ बदल जाता है। इस सूत्र का समाकलन बराबर है और उस संभावित ऊर्जा का अर्थ है जो एक आवेश तत्व dq के पास होता है जब वह संभावित j वाले बिंदु पर स्थित होता है। यह संभावित ऊर्जा इस बात से स्वतंत्र है कि dq एक अंतरिक्ष आवेश तत्व है या सतह आवेश तत्व है। इसलिए, सतह वितरण के लिए dq = s×dS। इसलिए, सतह आवेशों के क्षेत्र की ऊर्जा के लिए

सुपरपोजिशन सिद्धांत.

यदि कई आवेशित पिंडों द्वारा बनाए गए विद्युत क्षेत्र का परीक्षण आवेश का उपयोग करके अध्ययन किया जाता है, तो परिणामी बल प्रत्येक आवेशित पिंड से अलग-अलग परीक्षण आवेश पर कार्य करने वाले बलों के ज्यामितीय योग के बराबर होता है। नतीजतन, अंतरिक्ष में किसी दिए गए बिंदु पर आवेशों की एक प्रणाली द्वारा बनाई गई विद्युत क्षेत्र की ताकत अलग-अलग आवेशों द्वारा एक ही बिंदु पर बनाई गई विद्युत क्षेत्र की शक्तियों के वेक्टर योग के बराबर होती है:

विद्युत क्षेत्र के इस गुण का अर्थ है कि क्षेत्र आज्ञा का पालन करता है सुपरपोजिशन सिद्धांत. कूलम्ब के नियम के अनुसार, एक बिंदु आवेश Q द्वारा उससे r की दूरी पर बनाए गए इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र की ताकत परिमाण में बराबर होती है:

इस क्षेत्र को कूलम्ब क्षेत्र कहा जाता है। कूलम्ब क्षेत्र में, तीव्रता वेक्टर की दिशा आवेश Q के चिह्न पर निर्भर करती है: यदि Q 0 से अधिक है, तो तीव्रता वेक्टर को आवेश से दूर निर्देशित किया जाता है, यदि Q 0 से कम है, तो तीव्रता वेक्टर है आरोप की ओर निर्देशित. तनाव का परिमाण आवेश के आकार, उस वातावरण पर निर्भर करता है जिसमें आवेश स्थित है, और बढ़ती दूरी के साथ घटता जाता है।

किसी आवेशित तल द्वारा उसकी सतह के निकट निर्मित विद्युत क्षेत्र की ताकत:

इसलिए, यदि समस्या के लिए आवेशों की प्रणाली की क्षेत्र शक्ति निर्धारित करने की आवश्यकता है, तो हमें निम्नलिखित एल्गोरिदम के अनुसार आगे बढ़ना चाहिए:

1. एक चित्र बनाएं.

2. वांछित बिंदु पर प्रत्येक आवेश की क्षेत्र शक्ति को अलग-अलग बनाएं। याद रखें कि तनाव नकारात्मक चार्ज की ओर और सकारात्मक चार्ज से दूर निर्देशित होता है।

3. उचित सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक तनाव की गणना करें।

4. तनाव सदिशों को ज्यामितीय रूप से (अर्थात् सदिश रूप से) जोड़ें।

आवेशों की परस्पर क्रिया की संभावित ऊर्जा।

विद्युत आवेश एक दूसरे के साथ और विद्युत क्षेत्र के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। किसी भी अंतःक्रिया का वर्णन स्थितिज ऊर्जा द्वारा किया जाता है। दो बिंदु विद्युत आवेशों की परस्पर क्रिया की संभावित ऊर्जासूत्र द्वारा गणना:

कृपया ध्यान दें कि आरोपों का कोई मॉड्यूल नहीं है। विपरीत आवेशों के लिए, अंतःक्रिया ऊर्जा का ऋणात्मक मान होता है। समान रूप से आवेशित गोले और गेंदों की परस्पर क्रिया ऊर्जा के लिए भी यही सूत्र मान्य है। हमेशा की तरह, इस मामले में गेंदों या गोले के केंद्रों के बीच की दूरी r मापी जाती है। यदि दो नहीं, बल्कि अधिक आवेश हैं, तो उनकी अंतःक्रिया की ऊर्जा की गणना निम्नानुसार की जानी चाहिए: आवेशों की प्रणाली को सभी संभावित जोड़ियों में विभाजित करें, प्रत्येक जोड़ी की अंतःक्रिया ऊर्जा की गणना करें और सभी जोड़ियों के लिए सभी ऊर्जाओं का योग करें।

इस विषय पर समस्याओं का समाधान किया जाता है, जैसे यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम पर समस्याएँ: पहले, अंतःक्रिया की प्रारंभिक ऊर्जा पाई जाती है, फिर अंतिम। यदि समस्या आपसे आवेशों को स्थानांतरित करने के लिए किए गए कार्य का पता लगाने के लिए कहती है, तो यह आवेशों की परस्पर क्रिया की प्रारंभिक और अंतिम कुल ऊर्जा के बीच के अंतर के बराबर होगा। अंतःक्रिया ऊर्जा को गतिज ऊर्जा या अन्य प्रकार की ऊर्जा में भी परिवर्तित किया जा सकता है। यदि पिंड बहुत बड़ी दूरी पर हैं, तो उनकी परस्पर क्रिया की ऊर्जा 0 के बराबर मानी जाती है।

कृपया ध्यान दें: यदि समस्या में चलते समय पिंडों (कणों) के बीच न्यूनतम या अधिकतम दूरी खोजने की आवश्यकता होती है, तो यह स्थिति उस समय पूरी होगी जब कण एक ही गति से एक दिशा में चलते हैं। इसलिए, समाधान को संवेग के संरक्षण के नियम को लिखने से शुरू करना चाहिए, जिससे यह समान गति पाई जाती है। और फिर हमें दूसरे मामले में कणों की गतिज ऊर्जा को ध्यान में रखते हुए ऊर्जा संरक्षण का नियम लिखना चाहिए।

जब किसी आवेश को अनंत तक हटा दिया जाता है

r2 = ∞ U=U2 = 0,

संभावित चार्ज ऊर्जा प्र2,

चार्ज क्षेत्र में स्थित है प्रश्न1

दूरी पर आर

17. क्षमता. एक बिंदु आवेश की क्षेत्र क्षमता.

संभावित चार्ज ऊर्जा क्यूखेत मेँ एनप्रभार क्यूई

नज़रिया यू/क्यूशुल्क की मात्रा पर निर्भर नहीं करता क्यूऔर है ऊर्जा विशेषताएँस्थिरवैद्युत क्षेत्र, कहा जाता है संभावना.

इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में एक बिंदु पर क्षमता एक भौतिक मात्रा है जो संख्यात्मक रूप से इस बिंदु पर रखे गए एकल सकारात्मक चार्ज की संभावित ऊर्जा के बराबर होती है। यह एक अदिश राशि है.

एसआई में φ वोल्ट में मापा गया [V = J/C]

1 V क्षेत्र में एक बिंदु की क्षमता है जिस पर 1 C के आवेश की ऊर्जा 1 J है।

ई - [एन/सी = एन एम/सी एम = (जे/सी) (1/एम) = वी/एम]।

बिंदु आवेश क्षेत्र क्षमता

तनाव की तुलना में क्षमता अधिक सुविधाजनक भौतिक मात्रा है इ

आवेशों की प्रणाली के क्षेत्र में आवेश की संभावित ऊर्जा। संभावनाओं के लिए सुपरपोजिशन सिद्धांत.

प्वाइंट चार्ज सिस्टम: प्रश्न1,प्र2, …क्यू.एन.

अंतरिक्ष में प्रत्येक आवेश से एक निश्चित बिंदु तक की दूरी: आर 1,आर2, …आर एन.

चार्ज पर काम हुआ क्यूशेष आवेशों का विद्युत क्षेत्र जब एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक जाता है, तो प्रत्येक आवेश द्वारा अलग-अलग किए गए कार्य के बीजगणितीय योग के बराबर होता है

री 1 - आवेश से दूरी क्यूईप्रारंभिक चार्ज स्थिति के लिए क्यू,

री 2-आवेश से दूरी क्यूईअंतिम चार्ज स्थिति के लिए क्यू.

री 2 → ∞

संभावित अंतर। समविभव सतहें

चार्ज ले जाते समय क्यूबिंदु 1 से बिंदु 2 तक इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र में 0+

r2 = ∞ → यू 2 = यू∞ = 0

संभावना- एक इकाई धनात्मक आवेश को किसी दिए गए बिंदु से अनंत तक ले जाने के कार्य द्वारा निर्धारित एक भौतिक मात्रा।

जब वे क्षमता के बारे में बात करते हैं, तो उनका मतलब संभावित अंतर ∆ होता है φ प्रश्न में बिंदु और बिंदु के बीच, क्षमता φ जिसे 0 के रूप में लिया जाता है।

संभावना φ किसी दिए गए बिंदु पर इसका कोई भौतिक अर्थ नहीं है, क्योंकि किसी दिए गए बिंदु पर कार्य का निर्धारण करना असंभव है।

समविभव सतहें (समान क्षमता वाली सतहें)

1) सभी बिंदुओं पर क्षमता φ एक ही अर्थ है

2) विद्युत क्षेत्र शक्ति वेक्टर इ हमेशा समविभव सतहों के लिए सामान्य,

3) ∆φ किन्हीं दो समविभव सतहों के बीच समान स्थिति होती है