قلب الكرة. بالنسبة لأولئك الذين لا يحبون الرياضيات

تخيل أن المجال ثنائي الأبعاد "العادي" س 2 مصنوع من مادة مرنة يمكن أن تمر من خلال نفسها. هل من الممكن قلب الكرة من الداخل إلى الخارج في الفضاء المعتاد ثلاثي الأبعاد $$ \ mathbb (R) ^ 3 $$ بدون فواصل وفواصل ، ولكن مع إمكانية تقاطع ذاتي (أي في فئة الانغماس)؟

في عام 2000 ، قام Smale بتجميع قائمة من 18 تحديًا يعتقد أنه يجب حلها في القرن الحادي والعشرين. تم تجميع هذه القائمة بروح مشاكل هيلبرت ، ومثل مشاكل الألفية اللاحقة ، تتضمن فرضية ريمان ، ومسألة المساواة بين الفئتين P و NP ، ومشكلة حل معادلات نافييه-ستوكس ، وتخمين بوانكاريه الذي أثبته الآن بيرلمان. قام Smale بتجميع قائمته بناءً على طلب Arnold ، ثم رئيس الاتحاد الرياضي الدولي ، والذي من المرجح أن يكون قد أخذ فكرة هذه القائمة من قائمة مشاكل هيلبرت.

وأخيرًا ، السؤال: هل من الممكن "قلب" الدائرة في المستوى ، أي العثور على عائلة متصلة من الانغماسات ، كما ورد أعلاه؟

تعليقات

فضولي. الشيء التالي يتبادر إلى الذهن. لنتخيل كرة على شكل إسقاط مجسامي - مستوى لا نهاية له. عندئذٍ ، فإن قلب الكرة من الداخل إلى الخارج يشبه تمامًا "طي" المستوى في الاتجاه الآخر ، أي بتوجه مختلف. هناك فجوة في التفكير في مكان ما ، أليس كذلك؟

حسنًا ، الحقيقة هي أن الإسقاط المجسم يعني اختيار نقطة على كرة لا تتوافق مع أي شيء على المستوى ، وهذا يغير قواعد اللعبة ، لأنه وفقًا للظروف ، لا يمكن كسر الكرة ، ولا يمكن ثقب النقطة بالضبط.

حسنًا ، من حيث المبدأ ، كنت أظن أن هناك نقطة ضعف بنقطة لا نهائية بعيدة. أردت فقط معرفة رأي مستقل ؛).

ميشا ، أود أن أعرف ما إذا كانت هناك أسطح K3 في نظرية الأوتار ، وإذا كان الأمر كذلك ، فكيف تظهر بالضبط هناك؟

نعم ، في بعض الأحيان يفعلون. في سياق الدمج. يحتوي K3 على مجموعة holonomy $$ SU (2) \ subset SU (2) \ times SU (2) $$ وبالتالي يحتفظ بنصف التماثلات الفائقة. من الناحية الظاهراتية ، هذه النماذج ليست مثيرة جدًا للاهتمام ، لكن الناس ما زالوا يعتبرونها.

أدير الكرة بدون مكامن الخلل أسهل من الفيلم. من الضروري لصق جزء من سطح الكرة بالداخل بإصبعك. قم بتدوير هذا الجزء الداخلي من الكرة بمقدار 180 درجة ، بينما ستغلق الفتحة بدون التواءات. ستتحول خطوط الطول للكرة ، والتي كانت عبارة عن دوائر ، إلى "ثمانية" برأس أصغر داخل رأس أكبر. بعد ذلك ، قم بنفخ الكرة الداخلية تقريبًا حتى تتسرب. بطبيعة الحال ، سوف يكون مظهره مقلوبًا. ما تبقى هو ما كان جزءًا كبيرًا ، والآن أصبح أصغر مقارنةً بالجزء المتورم ، ليدور 180 درجة. سيتم فتح الفتحة المشدودة ، نقوم بتصويب الانبعاج ، ويتم تحقيق الهدف!

هنا يتضح أن النقطة تصبح لانهاية ، واللانهاية تصبح نقطة. أو "تشابه الكون": ما بداخله وما هو خارجه.
لذلك ، ينشأ نموذج - يمكن دراسة العالم المصغر بمساعدة العالم الكبير والعكس صحيح.
السؤال في حدود نصف القطر =] h / 2 ؛ 2 / h [. هنا يتم استخدام h كحد متري لدقة القياس ، أي نفس إبسيلون مقسومًا على اثنين.
أيضًا ، يمكن إثبات الوجود المادي لمثل هذا المجال أو دحضه في حالات مختلفة.
أو انا مخطئ؟

في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، يمكن قلبه من الداخل إلى الخارج في فئة الانغماس ، أي مع إمكانية التقاطعات الذاتية ، ولكن بدون مكامن الخلل. بعبارة أخرى ، يجب أن تظل صورة الكرة في كل لحظة من التشوه سلسة ، أي قابلة للتمييز.

إن انقلاب الكرة ليس مفارقة منطقية على الإطلاق ، إنها نظرية ، فقط غير منطقية للغاية. بدقة اكثر:

من الصعب إلى حد ما تقديم مثال محدد لمثل هذه العائلة من الغطس ، على الرغم من وجود العديد من الرسوم التوضيحية والأفلام. من ناحية أخرى ، من الأسهل بكثير إثبات وجود هذه العائلة ، وهذا بالضبط ما فعله سمال.

قصة

اكتشف Smale هذا التناقض في عام 1958. وفقًا للأسطورة ، عندما حاول Smale نشر هذه النظرية ، تلقى ردًا يقول إن التأكيد كان خاطئًا بشكل واضح ، حيث يجب الحفاظ على درجة رسم الخرائط الغاوسية في عملية مثل هذا "الانعكاس". [ ] في الواقع ، يجب الحفاظ على درجة رسم الخرائط الغاوسية ، وهذا يوضح أنه لا يمكن "قلب" الدائرة في المستوى ، ولكن درجات التعيينات الغاوسية y $F$وعلى $-F$الخامس $(\backslash \; mathbb\; R)\; ^\; 3$كلاهما يساوي 1. علاوة على ذلك ، درجة أي تضمين $S\; ^\; 2\; \backslash \; to\; (\backslash \; mathbb\; R)\; ^\; 3$يساوي 1.

الاختلافات والتعميمات

اكتب مراجعة عن مقالة "عكس الكرة"

الأدب

• سميل ستيفن تصنيف الانغماس في المجالين.عبر. عامر. رياضيات. soc. 90 1958281-290.
• فرانسيس ، ج. موسكو: مير ، 1991. الفصل 6. قلب الكرة رأساً على عقب.

ملحوظات

مقتطف يصف انقلاب الكرة

قال الجنرال: "مرة أخرى ، أيها العقيد ، لا يمكنني ترك نصف الناس في الغابة. كرر ، "أتوسل إليكم ، أتوسل إليكم ، اتخذوا موقفًا واستعدوا للهجوم.
أجاب العقيد متحمسًا: "وأطلب منك ألا تتدخل في عملك الخاص". - لو كنت فرسان ...
- أنا لست فارسًا ، عقيدًا ، لكنني جنرال روسي ، وإذا كنت لا تعرف ...
وفجأة صرخ العقيد "معروف جدًا يا صاحب السعادة" ، وهو يلامس الحصان ويتحول إلى اللون الأحمر الأرجواني. - هل ترغب في الانضمام إلى السلاسل ، وسترى أن هذا الموقف لا قيمة له. لا أريد تدمير فوجي من أجل سعادتك.
"أنت نسيت أيها العقيد. أنا لا ألاحظ سعادتي ولن أسمح بقولها.
فقبل ​​الجنرال دعوة العقيد لبطولة الشجاعة ، فرد صدره وعبوسه ، وركب معه في اتجاه السلسلة ، وكأن كل خلافهم سيُحسم هناك ، في السلسلة ، تحت الرصاص. وصلوا إلى السلسلة ، وحلقت عليهم عدة رصاصات ، وتوقفوا في صمت. لم يكن هناك شيء يمكن رؤيته في السلسلة ، لأنه حتى من المكان الذي وقفوا فيه سابقًا ، كان من الواضح أنه كان من المستحيل على سلاح الفرسان العمل عبر الأدغال والوديان ، وأن الفرنسيين كانوا يتخطون الجناح الأيسر. بدا الجنرال والعقيد بصرامة وبشكل ملحوظ بينما كان الديوكان يستعدان للمعركة ، ينظران إلى بعضهما البعض ، ينتظران عبثًا علامات الجبن. كلاهما اجتاز الاختبار. نظرًا لأنه لم يكن هناك ما يقال ، ولم يرغب أحد أو الآخر في إعطاء سبب للآخر ليقول إنه كان أول من خرج من تحت الرصاص ، فقد وقفوا هناك لفترة طويلة ، متعايشين مع الشجاعة المتبادلة ، إذا في ذلك الوقت في الغابة ، خلفهم تقريبًا ، لم يُسمع صوت حشرجة البنادق وصرخة مدمجة مكتومة. هاجم الفرنسيون الجنود الذين كانوا في الغابة بالحطب. لم يعد بإمكان الفرسان التراجع مع المشاة. تم قطعهم عن التراجع إلى اليسار بخط فرنسي. الآن ، مهما كانت التضاريس غير ملائمة ، كان من الضروري الهجوم من أجل شق طريقهم.
تم إيقاف السرب ، حيث خدم روستوف ، والذي تمكن للتو من ركوب خيوله ، في مواجهة العدو. مرة أخرى ، كما هو الحال على جسر إنسكي ، لم يكن هناك أحد بين السرب والعدو ، وبينهما ، يفصل بينهما ، يرسم نفس الخط الرهيب من عدم اليقين والخوف ، كما هو الحال ، خط يفصل بين الأحياء والأموات. شعر كل الناس بهذا الخط ، وأثارت مسألة ما إذا كانوا سيعبرون الخط أم لا وكيف سيتخطون الخط قلقهم.

قال عالم الرياضيات العظيم ديفيد هيلبرت ذات مرة أن النظرية الرياضية لا يمكن اعتبارها مثالية إلا عندما يمكن تقديمها لأول شخص تقابله. أتباع هيلبرت في حالة من اليأس التام ، يحاولون العيش وفقًا لهذه الوصفة. أصبحت الرياضيات أكثر تخصصًا ، والآن يتعين على عالم الرياضيات المتعلم أحيانًا أن يعمل بجد حتى مع زملائه لشرح جوهر المشكلات التي يحلها. ومع ذلك ، من وقت لآخر ، يؤدي البحث في الفروع الرائدة وغير المفهومة على ما يبدو لهذا العلم إلى اكتشاف مثير للاهتمام للناس العاديين ويمكن تفسيره في نفس الوقت دون المبالغة في التبسيط. ومن الأمثلة الصارخة على ذلك نظرية ستيفن سميل حول ما يسمى بالتعيينات المنتظمة للكرة ، والتي نُشرت عام 1959.

كان المجال الذي كان يعمل فيه Smale هو الطوبولوجيا التفاضلية ، أحد أكثر الفروع تجريدًا للرياضيات الحديثة. من المدهش أكثر أنه ، مع ذلك ، كان من الممكن التوصل إلى تفسير مرئي لواحدة من أكثر النتائج المدهشة لنظرية Smale. على وجه التحديد ، يمكنك توضيح كيفية قلب الكرة من الداخل للخارج.

بالمعنى المعتاد ، هذا بالطبع مستحيل: يجب بالضرورة تمزيق الكرة. لكن في الطوبولوجيا التفاضلية ، يُسمح - عقليًا ، بالطبع - بسحب السطح من خلال نفسه - هذه هي "قواعد اللعبة" في هذا العلم. ولكن بعد ذلك ، فإن الحل البسيط يلفت انتباهك على الفور.

من الضروري الضغط على الجوانب المتقابلة باتجاه المركز حتى تمر عبر بعضها البعض (I). يظهر السطح الداخلي المطلي (II) من حافتين متقابلتين. دعونا نواصل عملية "سحب" السطح الداخلي حتى تختفي الحلقة المتكونة من الجزء المتبقي من السطح الخارجي (II) تمامًا. لسوء الحظ ، في هذه العملية ، تشكل الحلقة حلقة ضيقة (III) يجب شدها. والنتيجة هي ندبة (IV) ، وهذا لا يرضي الطبولوجيا التفاضلية ، لأنهم ينظرون فقط إلى ما يسمى بـ "الأسطح الملساء" ، التي لا تحتوي على أي زوايا أو مكامن الخلل.

لذا ، فإن المهمة هي قلب الكرة من الداخل إلى الخارج بطريقة لا تظهر فيها ندبة عند التخلص من الحلقة. وهنا يشير الحدس مرة أخرى إلى أن المشكلة غير قابلة للحل. عندما أعلن Smale لأول مرة أنه يمكن أن يثبت وجود حل ، لم يصدقه أحد. لكن الحدس كان خاطئًا: لم يكن هناك خطأ منطقي واحد في برهان سميل. أصبح علماء الرياضيات مقتنعين بأنه من الممكن نظريًا اتباع الدليل خطوة بخطوة والعثور على وصف واضح للتشوه الذي يقلب الكرة من الداخل إلى الخارج. لكنها كانت صعبة للغاية لدرجة أنها بدت ميؤوس منها. لبعض الوقت بعد اكتشاف Smale ، كان معروفًا أنه من الممكن من حيث المبدأ قلب الكرة من الداخل إلى الخارج بدون ندبة ، ولكن لم يكن لدى أحد أدنى فكرة عن كيفية القيام بذلك.

لكن في النهاية ، تعامل علماء الرياضيات مع هذه المهمة. كيف - ستفهم من خلال النظر إلى الصور. إنها مسلية.

على الرغم من أن إثبات Smale لم يتكون من الرسومات وحدها. من الغريب أنها غير موجودة في عمله على الإطلاق - تلك الأرقام الواردة ضمنيًا في جهازه التحليلي التجريدي معقدة للغاية. لن يتمكن الفنان الأكثر إبداعًا من تصويرهم - خيال علماء الرياضيات مذهل. ولكن ربما يكون الأمر الأكثر إثارة هو قدرتهم على نقل الأفكار الأكثر تعقيدًا لبعضهم البعض دون اللجوء إلى الرسومات. قصة انقلاب الكرة دليل واضح على ذلك. أصبحت معروفة لعامة الناس بفضل عالم الطوب الفرنسي رينيه توماس ، الذي علم عنها من زميله برنارد مورين ، وهو بدوره من الأمريكي أرنولد شابيرو ، مخترع هذا "الانعكاس". هذا مثير للفضول بشكل خاص ، بالنظر إلى أن برنارد مورين أعمى.

توضح هذه الصور كيف يمكنك قلب الكرة من الداخل إلى الخارج دون انتهاك متطلبات الهيكل التفاضلي. أولاً ، تحتاج إلى تجميع الجوانب المتقابلة من الكرة الرمادية (أ) معًا عن طريق دفعها عبر بعضها البعض. ثم يظهر السطح المطلي على كلا الجانبين (ب). ثم قم بمد إحدى القطع المطلية (C) للحصول على سطح يشبه السرج على "قدمين" (O). يتم لف هذين الساقين عكس اتجاه عقارب الساعة ويتم الحصول على السطح E. وهذا يظهر مرة أخرى (P) "في القسم" بمساعدة شرائط ، كما هو الحال في "الكرة ذات الندبة" ، تصور المقاطع العرضية على عشرة مستويات مختلفة.

علاوة على ذلك ، ليس من المنطقي تصوير الأسطح التي تم الحصول عليها في كل مرحلة - فهي معقدة للغاية. ولكن يمكنك ، إذا أردت ، النظر في الشرائط على جميع المستويات العشرة والانتهاء من الرسم الذهني. ومع ذلك قررنا إظهار مرحلة واحدة (H2) - فقط حتى تتمكن من تخيل نوع الأرقام الناتجة. يظهر السطح G بعد الضغط والدوران بزاوية 90 درجة لسرج السطح P.

بضع خطوات أخرى. وهي: بين المرحلتين I و J ، تمر ساقان من نفس الشكل عبر بعضهما البعض. كل قسم على شكل شريط في الخطوة J له وجهان رماديان يواجهان بعضهما البعض. بين المرحلتين J و K ، تتوسع الطبقة الداخلية وتتقلص الطبقة الخارجية ؛ يتم الحصول على السطح K - تمامًا مثل J ، يتم عكس الألوان فقط.

ثم تسير جميع الخطوات بترتيب عكسي. يمكنك الحصول على فكرة عنها من خلال النظر إلى الصور I و H و C وما إلى ذلك. تحتاج فقط إلى تبديل ألوان الشرائط في كل صورة. نقدم نهاية هذا الصف الثاني من الصور. يتوافق السطح L مع السطح F ، و L2 مع E ، وهكذا.

الكرة الملونة (السطح P) تقابل الكرة الرمادية (السطح A). إذن ، التشوه قد اكتمل ، ولا يوجد ندبة. تم إثبات إمكانية هذه الحيلة لأول مرة بواسطة S. Smale. وجميع مراحل التشوه المتتالية اخترعها أ. شابيرو ...

ملاحظة: ما الذي يتحدث عنه العلماء البريطانيون أيضًا: أن آلية قلب الكرة من الداخل إلى الخارج ليست في بعض الأحيان أكثر فلسفية من ، على سبيل المثال ، برنامج PDF تم إنشاؤه بواسطة بعض المبرمجين الموهوبين.