숫자 교대 시리즈. 교대 계열의 수렴

교대 계열은 양수와 음수가 번갈아 나타나는 계열입니다. . 대부분의 경우 교대 계열이 고려되며, 여기서 용어는 차례로 교대로 나타납니다. 각 양수 뒤에는 음수가 오고, 각 음수 뒤에는 양수가 옵니다. 그러나 구성원이 2개, 3개 등으로 교대로 나타나는 교대 행이 있습니다.

교대 계열의 예를 생각해 보세요. 시작 부분은 다음과 같습니다.

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

그리고 즉시 교대로 행을 기록하는 일반 규칙이 적용됩니다.

다른 계열과 마찬가지로 주어진 계열을 계속하려면 계열의 공통항을 결정하는 함수를 지정해야 합니다. 우리의 경우는 N + 2 .

시리즈 구성원의 기호 교대를 설정하는 방법은 무엇입니까? 함수에 마이너스 1을 어느 정도 곱합니다. 어느 정도? 모든 정도가 계열 용어에 대한 부호의 교대를 보장하는 것은 아니라는 점을 즉시 강조하겠습니다.

위의 예에서처럼 교대 계열의 첫 번째 항이 양수 부호를 갖기를 원한다고 가정해 보겠습니다. 그러면 마이너스 1의 거듭제곱이 되어야 합니다 N- 1 . 이 표현식에 1부터 시작하는 숫자를 대입하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 짝수 또는 홀수 중 마이너스 1에 대한 지수로 사용됩니다. 이것은 기호를 번갈아 사용하는 데 필요한 조건입니다! 다음과 같은 경우에도 동일한 결과를 얻습니다. N+ 1 . 교번 급수의 첫 번째 항이 음수 부호를 가지기를 원한다면 공통항의 함수에 1의 거듭제곱을 곱하여 이 급수를 정의할 수 있습니다. N. 우리는 짝수, 홀수 등을 얻습니다. 보시다시피, 기호 교대에 대해 이미 설명한 조건이 충족됩니다.

따라서 위의 교대 계열을 일반적인 형식으로 작성할 수 있습니다.

계열 구성원의 기호를 번갈아 사용하려면 1승을 뺀 값의 합이 될 수 있습니다. N양수 또는 음수, 짝수 또는 홀수. 3에도 동일하게 적용됩니다 N , 5N, ... 즉, 교대 계열의 구성원의 부호를 교대로 사용하면 합계 형태로 마이너스 1의 차수를 제공합니다. N, 홀수와 임의의 숫자를 곱합니다.

마이너스 1의 어떤 거듭제곱이 계열 용어의 부호 변경을 보장하지 않습니까? 형태로 존재하는 것 N에 0, 짝수 또는 홀수를 포함한 임의의 숫자가 추가된 임의의 짝수를 곱합니다. 그러한 정도의 지표의 예: 2 N , 2N + 1 , 2N − 1 , 2N + 3 , 4N+ 3 ... 그러한 거듭제곱의 경우 어떤 숫자 "en"이 추가되고 짝수를 곱하느냐에 따라 짝수 또는 홀수만 얻어지는데, 우리가 이미 알아낸 바와 같이 이는 그렇지 않습니다. 시리즈 용어의 부호를 교대로 표시합니다.

교대 시리즈 - 특별한 경우 교대 시리즈 . 교대 계열은 임의의 부호로 구성된 계열입니다. , 즉 어떤 순서로든 긍정적일 수도 있고 부정적일 수도 있습니다. 교대 계열의 예:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

다음으로 교대 계열과 교대 계열의 수렴 징후를 고려합니다. 교대하는 일련의 기호의 조건부 수렴은 라이프니츠 테스트를 사용하여 설정할 수 있습니다. 그리고 더 넓은 범위의 계열(교대 계열 포함)의 경우 절대 수렴 기준이 적용됩니다.

일련의 교대 기호의 수렴. 라이프니츠의 테스트

일련의 교대 기호에 대해 다음 수렴 기준, 즉 라이프니츠 기준이 적용됩니다.

정리(라이프니츠 테스트).다음 두 조건이 동시에 충족되면 급수는 수렴하고 그 합은 첫 번째 항을 초과하지 않습니다.

• 교대 급수 항의 절대 값이 감소합니다. 유1 > 유 2 > 유 3 > ... > 유엔>...;
• 무제한 증가로 공통 기간의 제한 N 0과 같습니다.

결과. 교대 계열의 합을 다음의 합으로 취하면 N조건이 있는 경우 허용되는 오류는 첫 번째 폐기된 조건의 절대값을 초과하지 않습니다.

예시 1.계열의 수렴을 조사합니다.

해결책. 이것은 교대 시리즈입니다. 회원의 절대 가치가 감소합니다.

그리고 공통 용어의 한계

0과 같음:

라이프니츠 검정의 두 조건이 모두 충족되므로 계열이 수렴됩니다.

예시 2.계열의 수렴을 조사합니다.

해결책. 이것은 교대 시리즈입니다. 먼저 우리는 다음을 증명합니다:

, .

만약에 N= 1이면 모두에 대해 N > N불평등 12 보유 N − 7 > N. 차례로 모든 사람에게 N. 따라서, 즉 급수의 항은 절대값이 감소합니다. 계열의 일반항의 극한을 찾아봅시다(다음을 사용하여). 로피탈의 법칙):

공통항의 극한은 0입니다. 라이프니츠 검정의 두 조건을 모두 만족하므로 수렴 문제에 대한 답은 긍정적입니다.

예시 3.계열의 수렴을 조사합니다.

해결책. 교대 시리즈가 주어졌습니다. 라이프니츠 기준의 첫 번째 조건, 즉 요구사항을 만족하는지 알아보겠습니다. 요구 사항을 충족하려면 다음이 필요합니다.

우리는 모든 사람의 요구 사항이 충족되는지 확인했습니다. N > 0 . 라이프니츠의 첫 번째 기준이 충족됩니다. 계열의 일반항의 극한을 찾아보겠습니다.

.

한도는 0이 아닙니다. 따라서 라이프니츠 기준의 두 번째 조건이 충족되지 않으므로 수렴은 의문의 여지가 없습니다.

예시 4.계열의 수렴을 조사합니다.

해결책. 이 시리즈에서는 두 개의 부정적인 용어 뒤에 두 개의 긍정적인 용어가 옵니다. 이 시리즈도 번갈아 가며 진행됩니다. 라이프니츠 검정의 첫 번째 조건을 만족하는지 알아보겠습니다.

모든 사람이 요구 사항을 충족합니다. N > 1 . 라이프니츠의 첫 번째 기준이 충족됩니다. 일반항의 극한이 0인지 알아봅시다(로피탈의 법칙을 적용하여):

.

우리는 0을 얻었습니다. 따라서 라이프니츠 기준의 두 조건을 모두 만족합니다. 융합이 이뤄지고 있다.

실시예 5.계열의 수렴을 조사합니다.

해결책. 이것은 교대 시리즈입니다. 라이프니츠 검정의 첫 번째 조건을 만족하는지 알아보겠습니다. 왜냐하면

,

왜냐하면 N ≥ 0 , 그다음 3 N+ 2 > 0 . 차례로 모든 사람에게 N, 그렇기 때문에 . 결과적으로 계열의 항은 절대값이 감소합니다. 라이프니츠의 첫 번째 기준이 충족됩니다. 급수의 일반항의 극한이 0인지 알아봅시다(로피탈의 법칙을 적용하여):

.

우리는 0 값을 얻었습니다. 라이프니츠 검정의 두 조건이 모두 충족되므로 이 계열은 수렴됩니다.

실시예 6.계열의 수렴을 조사합니다.

해결책. 이 교대 계열에 대해 라이프니츠 검정의 첫 번째 조건이 충족되는지 알아보겠습니다.

계열의 항은 절대값이 감소합니다. 라이프니츠의 첫 번째 기준이 충족됩니다. 공통항의 극한이 0인지 알아봅시다:

.

공통항의 극한은 0이 아닙니다. 라이프니츠의 기준의 두 번째 조건은 만족되지 않습니다. 그러므로 이 계열은 다양하다.

라이프니츠의 테스트는 신호이다 계열의 조건부 수렴. 이는 위에서 고려한 교대 계열의 수렴 및 발산에 대한 결론이 보완될 수 있음을 의미합니다. 이러한 계열은 조건부로 수렴(또는 발산)합니다.

교대 계열의 절대 수렴

행을 보자

– 교대 기호. 구성원의 절대 가치로 구성된 시리즈를 고려해 보겠습니다.

정의. 해당 구성원의 절대값으로 구성된 계열이 수렴하면 계열이 절대 수렴한다고 합니다. 교대 계열이 수렴하고 해당 구성원의 절대 값으로 구성된 계열이 발산하는 경우 이러한 교대 계열을 호출합니다. 조건부 또는 비절대 수렴 .

정리.계열이 절대적으로 수렴하면 조건부로 수렴합니다.

실시예 7.계열이 수렴하는지 확인

해결책. 이 시리즈에 해당하는 긍정적인 용어 옆에는 시리즈가 있습니다. 일반화 조화 계열, 여기서 , 따라서 계열은 분기됩니다. 라이프니츠 테스트의 조건이 충족되는지 확인해 보겠습니다.

계열의 처음 5개 항의 절대값을 작성해 보겠습니다.

.

보시다시피, 계열의 항은 절대값이 감소합니다. 라이프니츠의 첫 번째 기준이 충족됩니다. 공통항의 극한이 0인지 알아봅시다:

우리는 0 값을 얻었습니다. 라이프니츠의 기준의 두 가지 조건을 모두 만족합니다. 즉, 라이프니츠의 기준에 따르면 수렴이 일어난다. 그리고 양의 항을 갖는 해당 계열은 발산합니다. 따라서 이 급수는 조건부로 수렴합니다.

실시예 8.계열이 수렴하는지 확인

절대적으로, 조건적으로 또는 분기됩니다.

해결책. 양의 항 옆에 이 계열에 해당하는 계열은 계열입니다. 이는 일반화된 조화 계열이므로 계열이 분기됩니다. 라이프니츠 테스트의 조건이 충족되는지 확인해 보겠습니다.

용어에 임의의 부호가 있는 계열을 고려해 보겠습니다. 이러한 계열을 호출하겠습니다. 교대로(수학 문헌에서 교대 급수와 교대 급수(이러한 급수는 나중에 논의됨)라는 용어는 동일한 의미라는 점에 유의하십시오. 그러나 여기서는 N.S. Piskunov가 그의 "미분 및 적분 미적분학"에서 사용한 용어를 채택하여 표기법을 단축했습니다. : "구성원이 임의의 부호를 갖는 계열"이라는 단어 대신 "교대 계열"이라고 말합니다. 주어진 계열에 유한한 수의 음수 용어만 있는 경우 이를 폐기하고 양수 용어가 있는 계열을 연구하는 것으로 문제를 줄일 수 있습니다. 유한한 수의 양수 항만 있는 계열에도 동일하게 적용됩니다. 그러므로 우리는 시리즈의 구성원들 사이에 긍정적인 구성원과 부정적인 구성원 모두 무한한 수가 있다고 분명히 가정할 것입니다.

다음 정리는 참입니다

정리 30. 8.(절대 수렴 테스트)

임의의 기호로 구성된 계열을 제시해 보겠습니다. 계열이 수렴하는 경우

항의 절대값으로 구성되면 주어진 계열이 수렴됩니다. 여기서 .

정의 30.4.계열이 수렴하고 계열이 수렴하는 경우 계열을 호출합니다. 절대적으로 수렴. 계열이 수렴하고 계열이 발산하는 경우 계열을 호출합니다. 조건부로 (절대적으로는 아님) 수렴.

특정 시리즈와 해당 모듈 시리즈의 절대적인 수렴을 결정하기 위해 이전 단락에서 논의한 기준을 적용할 수 있습니다. 그러나 발산의 징후에 주의해야 합니다. 일련의 모듈이 발산하면 원래 계열이 (조건부로) 수렴할 수 있습니다. 유일한 예외는 D'Alembert의 테스트와 Cauchy의 급진적 테스트입니다. 왜냐하면 이 기호가 계열의 발산을 나타낼 때 이는 계열의 발산을 의미하지만 and는 계열의 발산을 의미하기 때문입니다.

교대 계열과 관련하여 이러한 특성을 공식화하겠습니다.

달랑베르 징후. , 저것

~에 디 < 1 ряд сходится абсолютно,

~에 디> 1개 행이 분기됨,

~에 디=1개의 연구가 더 필요합니다.

코시 징후는 급진적입니다.교대 시리즈의 경우 , 저것

~에 케이< 1 ряд сходится абсолютно,

~에 케이> 1개 행이 분기됨,

~에 케이= 추가 연구 1개 필요

예. 우리는 계열의 수렴을 조사합니다. . Cauchy 테스트를 적용해 보겠습니다. – 급수는 절대적으로 수렴합니다.

교대 시리즈 중에서 소위 말하는 특별한 역할이 수행됩니다. 교대로 행. 교대 계열은 구성원이 교대로 양수 부호와 음수 부호를 갖는 계열입니다(이전 예 참조). 이러한 시리즈는 일반적으로 다음 형식으로 작성됩니다.

모든 것이 가정됩니다. 피 > 0.

교대 시리즈의 경우

정리 30.9.(라이프니츠의 정리)

교대 급수의 항의 절대값이 감소하는 경우, 즉 피 | 앤| >| 앤+1 |, 및 , 그러면 계열이 수렴됩니다. 이 경우, 절대값의 계열의 합은 계열의 첫 번째 항의 모듈러스를 초과하지 않습니다. 시리즈의 첫 번째 항과 동일한 부호를 갖습니다.

라이프니츠 정리의 조건을 만족하는 급수를 급수라고 합니다. 라이프니츠 유형.

예. 계열의 수렴을 생각해 보자. . 정리 5.9의 조건이 충족되는지 확인해 보겠습니다. | 앤| >| 앤+1 | 실제로 그렇습니다. > " 피³1, 그리고 또한 , 이는 계열이 수렴한다는 것을 의미합니다. 그리고 이 급수의 절대값 급수는 발산하는 조화 급수이므로 원래 급수는 조건부로 수렴합니다.

논평.라이프니츠 유형 계열의 나머지 부분도 라이프니츠 유형 계열이므로, 계열이 수렴하는 경우 나머지 계열의 절댓값은 첫 번째 항의 모듈러스를 초과하지 않습니다.

|Rn| = |S – S N| £ | 앤 +1 |.

이는 주어진 계열의 합계에 대한 대략적인 계산의 정확성을 평가하는 데 사용하는 것이 편리합니다.

교대 시리즈

정의 5.양수 용어와 음수 용어를 모두 포함하는 숫자 계열을 교대 계열이라고 합니다.

모든 구성원이 음수인 계열은 양수 부호 계열에 비해 새로운 것을 나타내지 않습니다. 왜냐하면 양수 부호 계열에 다음을 곱하여 얻어지기 때문입니다. – 1.

교대 계열이라는 특별한 경우를 가지고 교대 계열에 대해 공부해 봅시다.

정의 6.형태의 숫자 시리즈 유 1 -유 2 +유 3 -유 4 +…+ +(- 1) N - 1. 너 +…, 어디 너– 계열 구성원의 모듈러스를 교대 숫자 계열이라고 합니다.

정리 9. (라이프니츠 테스트 )

교대 숫자 시리즈의 경우

두 가지 조건이 충족됩니다.

계열의 항은 계수가 감소합니다. 너 1>너 2>…>너>…,

그런 다음 급수(19)가 수렴하고 그 합은 양수이며 급수의 첫 번째 항을 초과하지 않습니다.

증거. 계열의 짝수 항의 부분 합을 고려하십시오. S2n=(u 1 -u 2)+(u 3 -u 4)+…+(u 2 n -1 -u 2 n).

조건별 너 1>너 2>…>너 2n -1>너 2 엔즉, 괄호 안의 모든 차이는 양수이므로 S2n증가함에 따라 증가 N그리고 S2n>0 N.

반대편에는 S2n=u 1 -[(u 2 -u 3)+(u 4 -u 5)+…+(u 2 n -2 -u 2 n -1)+u 2 n ].대괄호 안의 표현은 양수이고 S2n>0, 그러니까 S2n<너 1누구에게나 N. 따라서 부분합의 수열은 S2n증가하고 제한되므로 유한합니다. S2n=에스. 동시에 0<에스≤너 1.

이제 급수의 홀수 항의 부분합을 고려해 보겠습니다. S2n+1=S2n+당신 2 n +1. 마지막 평등을 한계까지 전달합시다. n→무엇: S 2 n +1 = S 2 n + u 2 n +1 =S+ 0=S.따라서 급수의 짝수 항과 홀수 항의 부분합은 동일한 극한을 갖습니다. 에스, 그렇기 때문에 Sn=에스, 즉 이 급수는 수렴한다. 정리가 입증되었습니다.

예.

계열의 수렴을 조사합니다.

라이프니츠의 검정을 적용해보자.

너= >너 +1=

라이프니츠의 기준의 두 조건이 모두 충족되므로 급수는 수렴합니다.

노트.

1. 라이프니츠의 정리는 다음 조건이 성립하더라도 유효합니다. 너 > 너 + 1은 어떤 숫자부터 실행됩니다. N.

2. 조건 너 > 너 +1필요가 없습니다. 계열이 유지되지 않으면 수렴될 수 있습니다. 예를 들어, 시리즈
조건은 두 개의 수렴 계열의 차이로 수렴합니다. 너 > 너 +1실행되지 않습니다.

정의 8. 교대 급수는 수렴하지만 이 급수의 항의 절대값으로 구성된 급수가 발산하는 경우 교대 급수는 조건부 수렴한다고 합니다.

정의 9. 교대 급수 자체와 그 항의 절대값으로 구성된 급수가 수렴하면 교대 급수는 절대적으로 수렴한다고 합니다.

예.

계열 수렴의 성격 확립

이 급수는 라이프니츠의 기준에 따라 수렴하는 것이 분명합니다. 실제로 : 그리고 너=

주어진 급수의 항의 절대값으로 구성된 급수는 발산형 조화 급수입니다. 따라서 이 급수는 조건부로 수렴합니다.

정의 6.1 무한한 수의 양수와 무한한 수의 음수를 포함하는 수열을 교대(alternating)라고 합니다. 교대 계열의 특별한 경우는 교대 계열, 즉 연속적인 항이 반대 부호를 갖는 계열입니다.

라이프니츠의 테스트

서로 옆에 교대로 표시되는 기호의 경우 라이프니츠 수렴에 대한 충분한 기준이 적용됩니다.

(an)을 다음과 같은 숫자 시퀀스로 둡니다.

1. +1< an ;

그런 다음 교대 계열이 수렴됩니다.

절대 및 조건부 수렴

정의 6.2 계열도 수렴하면 계열이 절대적으로 수렴한다고 합니다. 계열이 절대적으로 수렴하면 (일반적인 의미에서) 수렴합니다. 반대 진술은 사실이 아닙니다.

급수 자체가 수렴하는 경우 조건부 수렴이라고 하며 해당 구성원의 계수로 구성된 급수는 발산합니다.

교대 급수에 대해 라이프니츠의 충분 검정을 적용해 보겠습니다. 우리는 얻는다

왜냐하면. 그러므로 이 계열은 수렴한다.

계열의 수렴을 조사합니다.

라이프니츠의 기준을 적용해 보겠습니다.

n > ?에 대해 일반 항의 모듈러스가 0이 되는 경향이 없음을 알 수 있습니다. 그러므로 이 시리즈는 다양하다.

해당 용어의 모듈로 구성된 시리즈에 d'Alembert의 테스트를 적용하면 다음을 찾을 수 있습니다.

그러므로 이 급수는 절대적으로 수렴한다.

계열이 절대적으로 수렴하는지, 조건부 수렴하는지, 발산하는지 확인하세요.

먼저 라이프니츠의 기준을 이용하여 극한을 구해보자. L'Hopital의 법칙을 사용하여 이 극한을 계산해 보겠습니다.

따라서 원래 시리즈는 다양합니다.

계열의 수렴을 조사합니다.

이 계열의 공통항은 동일합니다. d'Alembert의 테스트를 모듈로 구성된 시리즈에 적용해 보겠습니다.

따라서. 원래 시리즈는 절대적으로 수렴합니다.

계열이 절대적으로 수렴하는지, 조건부 수렴하는지, 발산하는지 조사해 보세요.

라이프니츠의 기준을 적용하면 급수가 수렴한다는 것을 알 수 있습니다.

이제 해당 항의 모듈러스로 구성된 계열의 수렴을 고려해 보겠습니다. 수렴에 대한 적분 기준을 사용하여 우리는 다음을 얻습니다.

따라서 원래 계열은 조건부로 수렴합니다.

계열이 절대적으로 수렴하는지, 조건부 수렴하는지, 발산하는지 확인하세요.

먼저 라이프니츠의 기준을 적용합니다.

그러므로 이 계열은 수렴한다. 이 수렴이 절대적인 것인지 조건적인 것인지 알아 보겠습니다. 제한 비교 기준을 사용하여 해당 모듈 시리즈를 다양한 고조파 시리즈와 비교해 보겠습니다.

모듈로 구성된 계열은 발산하므로 원래 교대 계열은 조건부 수렴합니다.

1. 긍정적인 용어가 포함된 시리즈. 수렴의 징후

급수(1.1)의 수렴을 결정하고 부분합 시퀀스의 극한인 정의 1.1을 통해 수렴의 경우 해당 합을 직접 찾는 것은 매우 어렵습니다. 따라서 계열이 수렴하는지 발산하는지를 결정하는 데 충분한 기준이 있습니다. 수렴하는 경우 정확도에 상관없이 해당 합계의 대략적인 값은 계열의 처음 n 항에 해당하는 수의 합이 될 수 있습니다.

여기서 우리는 양수(음수가 아닌) 용어가 있는 계열(1.1), 즉 이러한 계열을 양수 계열이라고 부르는 계열을 고려할 것입니다.

정리 3.1. (비교 기호)

두 개의 양의 계열이 주어지자

모든 n=1,2,…에 대해 조건이 충족됩니다.

그런 다음: 1) 계열의 수렴(3.2)에서 계열의 수렴(3.1)이 이어집니다.

2) 계열의 발산(3.1)으로부터 계열의 발산(3.2)이 따른다.

증거. 1. 급수(3.2)가 수렴하고 그 합이 B와 같다고 가정합니다. 급수(3.1)의 부분합 수열은 위에서 숫자 B로 제한되지 않습니다. 즉

그런 다음 그러한 수열의 특성으로 인해 유한한 한계가 있습니다. 즉, 급수(3.1)가 수렴합니다.

2. 급수(3.1)가 발산되도록 하세요. 그런 다음 급수(3.2)가 수렴하면 위에서 증명된 점 1에 의해 원래 급수도 수렴하게 되며 이는 우리의 조건과 모순됩니다. 결과적으로 계열(3.2)도 발산됩니다.

이 기준은 수렴이 이미 알려진 계열과 비교하여 계열의 수렴을 결정하는 데 적용하는 것이 편리합니다.

예제 3.1. 계열의 수렴을 조사합니다.

급수의 항은 양수이고 기하급수 수렴 급수의 해당 항보다 작습니다.

왜냐하면 , n=1,2,…

따라서 이에 비해 원본 시리즈도 수렴됩니다.

예제 3.2. 계열의 수렴을 조사합니다.

이 급수의 항은 양수이고 발산 고조파 급수의 해당 항보다 큽니다.

결과적으로 비교 기준에 따라 원본 시리즈가 분기됩니다.

정리 3.2. (D'Alembert의 한계 기호).

그런 다음: 1) q에서< 1 ряд (1.1) сходится;

• 2) q > 1인 경우 계열(1.1)이 발산됩니다.

참고: 시리즈(1.1)은 다음과 같은 경우에도 분기됩니다.

예제 3.3. 계열의 수렴을 조사합니다.

d'Alembert의 한계 검정을 적용해 보겠습니다.

우리의 경우.

예제 3.4. 계열의 수렴을 조사합니다.

따라서 원래 계열은 수렴합니다.

예제 3.5. 계열의 수렴을 조사합니다.

D'Alembert의 한계 테스트를 적용해 보겠습니다.

결과적으로 원래 시리즈가 분기됩니다.

논평. 고조파 급수에 d'Alembert의 한계 테스트를 적용하면 이 급수의 수렴에 대한 답을 얻을 수 없습니다.

정리 3.3. (Cauchy의 한계 테스트 Cauchy Augustin Louis(1789 - 1857), 프랑스 수학자.).

양수 급수(1.1)의 항은 한계가 있도록 합시다.

그런 다음: 1) q에서< 1 ряд (1.1) сходится;

• 2) q > 1인 경우 계열(1.1)이 발산됩니다.
• 3) q = 1인 경우 계열의 수렴(1.1)에 대해 아무 것도 말할 수 없으며 추가 연구가 필요합니다.

예제 3.6. 계열의 수렴을 조사합니다.

Cauchy의 한계 테스트를 적용해 보겠습니다.

따라서 원래 계열은 수렴합니다.

정리 3.4. (적분 코시 테스트).

함수 f(x)를 구간에서 연속 비-음-증가 함수로 둡니다.

그런 다음 급수와 부적절한 적분은 동시에 수렴하거나 발산합니다.

예제 3.7. 수렴을 위해 조화 계열을 조사합니다.

통합 Cauchy 테스트를 적용해 보겠습니다.

우리의 경우 함수는 정리 3.4의 조건을 만족합니다. 수렴을 위한 부적절한 적분을 조사합니다.

부적절한 적분은 발산하므로 원래의 조화 계열도 발산합니다.

예제 3.8. 수렴을 위해 일반화된 조화 계열을 검토합니다.

이 함수는 정리 3.4의 조건을 만족합니다.

수렴을 위한 부적절한 적분을 조사합니다.

다음과 같은 경우를 고려하십시오.

• 1) 그러면 일반화된 고조파 급수는 예제 3.7에서 볼 수 있듯이 발산하는 고조파 급수입니다.
• 2) 그럼

부적절한 적분이 발산하므로 급수가 발산됩니다.

3) 그럼

부적절한 적분은 수렴하므로 급수는 수렴합니다.

마침내 우리는

노트. 1. 일반화된 고조파 급수는 다음에서 발산할 것입니다. 이 경우 수렴에 필요한 기준이 충족되지 않기 때문입니다. 급수의 일반 항은 0이 되는 경향이 없습니다.

2. 일반화조파급수는 비교기준을 적용할 때 사용하기 편리하다.

예제 3.9. 계열의 수렴을 조사합니다.

급수의 항은 양수이고 수렴 일반화 조화 급수의 해당 항보다 작습니다.

왜냐하면 그리고 매개변수

결과적으로 원래 계열은 (비교를 통해) 수렴됩니다.

계속해서 양수와 음수가 모두 가능한 계열을 고려해 보겠습니다.

이 섹션은 내가 이 작품을 작가 자신에게 소개하고 싶었던 작품을 읽은 많은 작가들 덕분에 특별한 모습을 보였습니다. 사실 이 주제는 최종적으로 준비가 된 후에야 전체를 게시할 계획이었지만 질문이 너무 많아서 지금 몇 가지 사항을 간략하게 설명하겠습니다. 이후 자료는 보완되고 확대될 예정이다. 정의부터 시작해 보겠습니다.

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$(여기서 $u_n>0$) 형식의 일련을 교대라고 합니다.

교대 시리즈 구성원의 표시는 엄격하게 번갈아 표시됩니다.

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+u_5-u_6+u_7-u_8+\ldots $$

예를 들어, $1-\frac(1)(2)+\frac(1)(3)-\frac(1)(4)+\ldots$는 교대 계열입니다. 부호의 엄격한 교대는 첫 번째 요소에서 시작되지 않지만 융합 연구에서는 중요하지 않습니다.

첫 번째 요소로 시작하지 않는 교대 문자가 왜 중요하지 않습니까? 표시\숨기기

사실 숫자 계열의 속성 중에는 계열의 "추가" 구성원을 삭제할 수 있는 명령문이 있습니다. 다음은 속성입니다.

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ 급수는 나머지 $r_n=\sum\limits_(k=n+1)^(\infty)u_k가 $로 수렴하는 경우에만 수렴합니다. . 따라서 특정 계열에 한정된 수의 항을 버리거나 추가해도 계열의 수렴이 변경되지 않습니다.

특정 교대 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$이 주어지고 이 계열에 대해 라이프니츠 테스트의 첫 번째 조건이 충족된다고 가정하겠습니다. , 즉. $\lim_(n\to(\infty))u_n=0$. 그러나 두 번째 조건, 즉 $u_n≥u_(n+1)$는 특정 숫자 $n_0\in(N)$부터 실행됩니다. $n_0=1$이면 라이프니츠 기준의 두 번째 조건에 대한 일반적인 공식을 얻습니다. 따라서 급수 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n $가 수렴됩니다. $n_0>1$이면 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ 계열을 두 부분으로 나눕니다. 첫 번째 부분에서는 숫자가 $n_0$보다 작은 모든 요소를 ​​선택합니다.

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=\sum\limits_(n=1)^(n_0-1)(-1)^(n +1)u_n+\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n $$

$\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ 계열에 대해 라이프니츠 검정의 두 조건이 모두 충족되므로 계열 $\sum\limits_(n= n_0)^(\ infty)(-1)^(n+1)u_n$이 수렴합니다. 나머지가 수렴하므로 원래 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$도 수렴합니다.

따라서 첫 번째 요소부터 시작하여 라이프니츠 테스트의 두 번째 조건이 충족되는지 또는 1000번째 요소부터 충족되는지는 전혀 중요하지 않습니다. 계열은 여전히 ​​수렴됩니다.

라이프니츠의 기준은 교대급수의 수렴에 대한 충분조건이지만 필요조건은 아니라는 점에 주목하겠습니다. 즉, 라이프니츠 기준의 조건을 만족하면 급수의 수렴이 보장되지만, 이러한 조건을 만족하지 못한다고 해서 수렴이나 발산이 보장되는 것은 아닙니다. 물론 첫 번째 조건을 충족하지 못하는 경우도 있습니다. $\lim_(n\to(\infty))u_n\neq(0)$는 계열 $\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+의 발산을 의미합니다. 1)u_n$ 그러나 두 번째 조건을 만족하지 못하는 경우는 수렴 계열과 발산 계열 모두에서 발생할 수 있습니다.

일련의 교대 기호는 표준 표준 계산에서 흔히 발견되므로, 나는 표준 교대 기호 계열의 수렴을 검사할 수 있는 체계를 작성했습니다.

물론 일련의 모듈에 대한 수렴 확인을 우회하여 라이프니츠 테스트를 직접 적용할 수도 있습니다. 그러나 표준 교육 예제의 경우 일련의 모듈을 확인하는 것이 필요합니다. 대부분의 표준 계산 작성자는 계열이 수렴되는지 여부를 알아내는 것뿐만 아니라 수렴의 특성(조건부 또는 절대)을 결정해야 하기 때문입니다. 예제로 넘어 갑시다.

예 1

수렴을 위해 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ 계열을 조사합니다.

먼저, 이 계열이 정말 번갈아 나오는지 알아봅시다. $n≥1$이므로 $4n-1≥3>0$ 및 $n^2+3n≥4>0$, 즉 모든 $n\in(N)$에 대해 $\frac(4n-1)(n^2+3n)>0$이 있습니다. 따라서 주어진 계열은 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ 형식을 갖습니다. 여기서 $u_n=\frac(4n-1)(n^ 2 +3n)>0$, 즉 고려중인 시리즈가 번갈아 나타납니다.

일반적으로 이러한 확인은 구두로 수행되지만 건너뛰는 것은 매우 바람직하지 않습니다. 표준 계산의 오류는 드문 일이 아닙니다. 특정 시리즈의 구성원 기호가 시리즈의 첫 번째 구성원이 아닌 교대로 시작되는 경우가 종종 있습니다. 이 경우 계열의 "간섭" 항을 버리고 나머지의 수렴을 조사할 수 있습니다(이 페이지 시작 부분의 참고 사항 참조).

그래서 우리에게는 신호 교대 시리즈가 제공됩니다. 위의 내용을 따르겠습니다. 먼저 이 시리즈의 구성원으로 구성된 일련의 모듈을 만들어 보겠습니다.

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n) $$

컴파일된 일련의 모듈이 수렴되는지 확인해 보겠습니다. 비교기준을 적용해보자. 모든 $n\in(N)$에 대해 $4n-1=3n+n-1≥3n$ 및 $n^2+3n≤n^2+3n^2=4n^2$이 있으므로 다음과 같습니다.

$$ \frac(4n-1)(n^2+3n)≥ \frac(3n)(4n^2)=\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n) $$

조화 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$은 발산하므로 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left 계열은 다음과 같습니다. 또한 (\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n)\right)$로 분기됩니다. 따라서 비교 기준에 따라 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ 계열은 발산합니다. $u_n=\frac(4n-1)(n^2+3n)$을 표시하고 라이프니츠 테스트의 조건이 원래 교대 계열에 대해 충족되는지 확인하겠습니다. $\lim_(n\to(\infty))u_n$을 찾아봅시다:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(4n-1)(n^2+3n) =\lim_(n\to(\infty ))\frac(\frac(4)(n)-\frac(1)(n^2))(1+\frac(3)(n)) =0. $$

라이프니츠 검정의 첫 번째 조건이 충족되었습니다. 이제 부등식 $u_n≥u_(n+1)$이 성립하는지 알아내야 합니다. 상당수의 저자는 계열의 처음 몇 항을 기록한 다음 부등식 $u_n≥u_(n+1)$이 충족된다는 결론을 내리는 것을 선호합니다.

즉, 이 계열에 대한 "증명"은 다음과 같습니다: $\frac(2)(3)≤\frac(5)(8)≤\frac(8)(15)≤\ldots$. 처음 몇 개의 항을 비교한 후 결론이 도출됩니다. 나머지 항의 경우 불평등이 유지되고 이후의 각 항은 이전 항보다 크지 않습니다. 이 "증명 방법"이 어디서 나온 것인지 모르겠지만 잘못된 것입니다. 예를 들어, $v_n=\frac(10^n)(n) 시퀀스의 경우$ получим такие первые члены: $v_1=10$, $v_2=50$, $v_3=\frac{500}{3}$, $v_4=\frac{1250}{3}$. Как видите, они возрастают, т.е., если ограничиться сравнением нескольких первых членов, то можно сделать вывод, что $v_{n+1}>v_n$ для всех $n\in{N}$. Однако такой вывод будет категорически неверным, так как начиная с $n=10$ элементы последовательности будут убывать.!}

불평등 $u_n≥u_(n+1)$을 증명하는 방법은 무엇입니까? 일반적으로 이를 수행하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 우리의 경우 가장 간단한 방법은 $u_n-u_(n+1)$의 차이를 고려하여 그 부호를 찾는 것입니다. 다음 예에서는 해당 함수의 감소를 증명하는 다른 방법을 고려해 보겠습니다.

$$ u_n-u_(n+1) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4(n+1)-1)((n+1)^2+3(n +1)) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4n+3)(n^2+5n+4)=\\ =\frac((4n-1)\cdot \왼쪽(n^2+5n+4\오른쪽)-\왼쪽(n^2+3n\오른쪽)\cdot(4n+3))(\왼쪽(n^2+3n\오른쪽)\cdot\왼쪽( n^2+5n+4\right)) =\frac(4n^2+2n-4)(\left(n^2+3n\right)\cdot\left(n^2+5n+4\right) ). $$

$n≥1$이므로 $4n^2-4≥0$이므로 $4n^2+2n-4>0$이 됩니다. 즉, $u_n-u_(n+1)>0$, $u_n>u_(n+1)$. 물론 부등식 $u_n≥u_(n+1)$이 계열의 첫 번째 항에서 충족되지 않는 경우가 있지만 이는 중요하지 않습니다(페이지 시작 부분 참조).

따라서 라이프니츠 기준의 두 조건을 모두 만족합니다. 이 경우에는 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right | $가 발산하면 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ 계열은 조건부로 수렴합니다.

답변: 계열은 조건부로 수렴합니다.

예 2

수렴을 위해 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$를 조사합니다.

먼저 $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ 표현식을 고려해 보세요. 조건이 올바른지 확인하기 위해 약간의 검사를 수행하는 것이 좋습니다. 사실은 표준 표준 계산 조건에서 근호 표현이 음수이거나 $n$의 일부 값에 대해 분모에 0이 나타날 때 오류가 발생할 수 있다는 것입니다.

이러한 문제를 피하기 위해 간단한 사전 조사를 해보자. $n≥1$에 대해 $2n^3≥2$가 있고 $2n^3-1≥1$이 있습니다. 즉, 루트 아래의 표현식은 음수이거나 0과 같을 수 없습니다. 따라서 조건은 매우 정확합니다. $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ 표현식은 모든 $n≥1$에 대해 정의됩니다.

$n≥1$에 대해 부등식 $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))>0$이 참이라는 점을 추가하겠습니다. 즉, 신호 교대 시리즈가 제공됩니다. 위 내용을 토대로 알아보겠습니다. 먼저 이 시리즈의 구성원으로 구성된 일련의 모듈을 만들어 보겠습니다.

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) $$

주어진 계열의 구성원들의 계수로 구성된 계열이 수렴하는지 확인해 보겠습니다. 비교 기호를 적용해 보겠습니다. 이전 예를 풀 때 첫 번째 비교 기준을 사용했습니다. 여기서는 순전히 다양성을 위해 두 번째 비교 기호(제한적 형태의 비교 기호)를 적용합니다. $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ 계열을 발산 계열 $\sum\limits_(n과 비교해 보겠습니다. =1)^ (\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)))(\frac(1)(\sqrt(n))) =\lim_ (n\to\infty)\frac(5n\sqrt(n)-4\sqrt(n))(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac (5n\sqrt(n))(n\sqrt(n))-\frac(4\sqrt(n))(n\sqrt(n)))(\sqrt(\frac(2n^3-1)( n^3))) \lim_(n\to\infty)\frac(5-\frac(4)(n))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =\frac (5)(\sqrt(2)). $$

$\frac(5)(\sqrt(2))\neq(0)$ 및 $\frac(5)(\sqrt(2))\neq\infty$부터 $\sum\limits_ 계열과 동시에 (n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$는 발산하고 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4) ( \sqrt(2n^3-1))$.

따라서 주어진 교번 계열은 절대 수렴을 갖지 않습니다. $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$를 표시하고 라이프니츠 테스트의 조건이 만족되는지 확인하겠습니다. $\lim_(n\to(\infty))u_n$을 찾아봅시다:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\ to(\infty))\frac(\frac(5n)(n^(\frac(3)(2)))-\frac(4)(n^(\frac(3)(2))))( \sqrt(\frac(2n^3-1)(n^3))) =\lim_(n\to(\infty))\frac(\frac(5)(\sqrt(n))-\frac( 4)(n^(\frac(3)(2))))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =0. $$

라이프니츠 검정의 첫 번째 조건이 충족되었습니다. 이제 부등식 $u_n≥u_(n+1)$이 성립하는지 알아내야 합니다. 이전 예에서 우리는 차이 $u_n-u_(n+1)$의 부호를 찾아 이 부등식을 증명하는 방법 중 하나를 살펴보았습니다. 이번에는 다른 방법을 사용해 보겠습니다. $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ 대신 $y(x)=\frac(5x-4)( \sqrt( 2x^3-1))$는 $x≥1$을 제공했습니다. $x 조건에서 이 함수의 동작은 다음과 같습니다.<1$ нам совершенно безразлично.

우리의 목표는 $y(x)$ 함수가 증가하지 않음(또는 감소함)임을 증명하는 것입니다. $y(x)$ 함수가 증가하지 않는다는 것을 증명하면 모든 값 $x_2>x_1$에 대해 $y(x_1)≥y(x_2)$가 됩니다. $x_1=n$ 및 $x_2=n+1$을 가정하면, $n+1>n$ 부등식은 $y(n)≥y(n+1)$ 부등식의 진실을 암시한다는 것을 알 수 있습니다. $y(n)=u_n$이므로 부등식 $y(n)≥y(n+1)$는 $u_(n)≥u_(n+1)$와 같습니다.

$y(x)$가 감소 함수임을 보여주면 부등식 $n+1>n$은 부등식 $y(n)>y(n+1)$의 진실로 이어질 것입니다. 즉, $u_(n)>u_(n+1)$.

도함수 $y"(x)$를 찾고 $x$의 해당 값에 대한 부호를 알아봅시다.

$$ y"(x)=\frac((5x-4)"\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\left(\sqrt(2x^3-1)\right )")(\left(\sqrt(2x^3-1)\right)^2) =\frac(5\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\frac(1 )(2\sqrt(2x^3-1))\cdot(6x^2))(2x^3-1)=\\ =\frac(5\cdot\left(2x^3-1\right)- (5x-4)\cdot(3x^2))(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) =\frac(-5x^3+12x^2- 5)(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) $$

$x≥1$의 충분히 큰 양수 값의 경우 분모의 다항식은 0보다 작을 것임이 분명하다고 생각합니다. $-5x^3+12x^2-5<0$. Эту "очевидность" несложно обосновать формально - если вспомнить курс алгебры. Дело в том, что согласно лемме о модуле старшего члена, при достаточно больших значениях $|x|$ знак многочлена совпадает с знаком его старшего члена. Адаптируясь к нашей задаче получаем, что существует такое число $c≥1$, то для всех $x≥c$ будет верным неравенство $-5x^3+12x^2-5<0$. В принципе, существования такого числа $c$ уже вполне достаточно для дальнейшего решения задачи.

그러나 이 문제에 대해 덜 공식적으로 접근해 보겠습니다. 대수학에서 불필요한 보조정리를 포함하지 않기 위해 $-5x^3+12x^2-5$ 표현식의 값을 대략적으로 추정하겠습니다. $-5x^3+12x^2-5=x^2(-5x+12)-5$를 고려해 보겠습니다. $x≥3$의 경우 $-5x+12가 됩니다.<0$, посему $x^2(-5x+12)-5<0$.

따라서 $x≥3$에 대해 $y"(x)가 됩니다.<0$, т.е. функция $y(x)$ убывает. А это, в свою очередь, означает, что при $n≥3$ верно неравенство $u_n>u_(n+1)$, 즉 라이프니츠 검정의 두 번째 조건이 충족되었습니다. 물론 $n=1$이 아닌 $n=3$로 두 번째 조건의 충족을 보여주었지만 이는 중요하지 않습니다(페이지 시작 부분 참조).

따라서 라이프니츠 기준의 두 조건을 모두 만족합니다. 이 경우에는 계열 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1) ) )\right|$가 발산하면 급수 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n) $는 조건부로 수렴합니다.

답변: 계열은 조건부로 수렴합니다.

예 3

수렴을 위해 $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)$ 계열을 조사합니다.

이 예는 그다지 흥미롭지 않으므로 간략하게 쓰겠습니다. 교대 계열이 주어지며 이를 다시 사용하여 살펴보겠습니다. 이 시리즈의 구성원으로 일련의 모듈을 만들어 보겠습니다.

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n+4)(2^n) $$

D'Alembert의 부호를 적용해 $u_n=\frac(3n+4)(2^n)$를 나타내면 $u_(n+1)=\frac(3n+7)(2^(n+1)을 얻습니다. )$ .

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_(n)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+7)(2^ (n+1)))(\frac(3n+4)(2^n)) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3n+7)(3n+4 ) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(7)(n))(3+\frac(4)(n)) =\frac(1 )(2)\cdot(1)=\frac(1)(2). $$

$\frac(1)(2) 이후<1$, то согласно признаку Д"Аламбера ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится. Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}\right|$, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится, причём сходится абсолютно.

주어진 예를 해결하기 위해 라이프니츠 테스트가 필요하지 않다는 점에 주목합니다. 그렇기 때문에 먼저 일련의 모듈의 수렴을 확인한 다음 필요한 경우 원래 교대 계열의 수렴을 조사하는 것이 편리합니다.

답변: 계열은 절대적으로 수렴합니다.