고조파 진동에서의 에너지 변환. 고조파 진동에서의 에너지 변환 - Knowledge Hypermarket

기계적 진동은 일정한 간격으로 정확히 또는 대략적으로 반복되는 신체 움직임입니다. 기계적 진동의 주요 특성은 변위, 진폭, 주파수, 주기입니다. 변위는 평형 위치에서 신체의 편차입니다. 진폭은 평형 위치에서 최대 편차의 계수입니다. 주파수는 단위 시간당 완전한 진동의 수입니다. 주기는 한 번의 완전한 진동 시간, 즉 프로세스가 반복되는 최소 시간 기간입니다. 주기와 빈도는 v = 1 / T의 비율로 관련됩니다. 가장 단순한 보기진동 운동 - 사인 또는 코사인의 법칙에 따라 진동 값이 시간에 따라 변하는 조화 진동(그림 9). 자유 진동은 진동을 수행하는 시스템에 외부 영향이 없는 상태에서 초기에 부여된 에너지로 인해 발생하는 진동이라고 합니다. 예를 들어, 나사산에 가해지는 하중의 진동(그림 10). 나사산에 가해지는 하중의 진동을 예로 들어 에너지 변환 과정을 살펴보겠습니다(그림 10 참조). 진자가 평형 위치에서 벗어나면 0 레벨에 대해 높이 h까지 상승하므로 점 A에서 진자는
mgh의 퍼텐셜 에너지를 갖는다. 평형 위치로 이동할 때 점 O로 높이가 0으로 감소하고 하중의 속도가 증가하며 점 O에서 모든 위치 에너지 mgh는 운동 에너지 mv ^ 2/2로 바뀝니다. 평형 위치에서 운동 에너지는 최대이고 위치 에너지는 가장 낮습니다. 평형 위치를 통과한 후 운동 에너지가 전위로 변환되고 진자의 속도가 감소하고 평형 위치로부터의 최대 편차에서 0이 됩니다. 진동 운동 중에는 운동 에너지와 위치 에너지의 주기적인 변환이 항상 발생합니다.
자유로운 기계적 진동으로 인해 저항력을 극복하기 위해 필연적으로 에너지가 손실됩니다. 주기적인 외력의 영향으로 진동이 발생하면 이러한 진동을 강제 진동이라고합니다. 예를 들어, 부모는 그네에서 아이를 휘두르고, 피스톤은 자동차 엔진 실린더에서 움직이고, 전기 면도날과 재봉틀 바늘은 진동합니다. 강제 진동의 성질은 외력 작용의 성질, 크기, 방향, 작용 빈도에 의존하며 진동체의 크기와 성질에 의존하지 않는다. 예를 들어, 모터가 고정되어 있는 기초는 모터의 회전수로만 결정되는 주파수로 강제 진동을 하며 기초의 크기에 의존하지 않습니다.

외력의 주파수와 신체의 자연진동의 주파수가 일치하면 강제진동의 진폭이 급격히 증가한다. 이 현상을 기계적 공진이라고 합니다. 그래픽으로 외부 힘의 주파수에 대한 강제 진동 진폭의 의존성은 그림 11에 나와 있습니다.
공진 현상은 고유 주파수가 주기적으로 작용하는 힘의 주파수와 일치하는 경우 자동차, 건물, 교량의 파괴를 유발할 수 있습니다. 따라서 예를 들어 자동차의 엔진은 특수 완충 장치에 설치되고 군대는 다리를 건너면서 속도를 유지하는 것이 금지됩니다.
마찰이 없을 때 공진 시 강제 진동의 진폭은 시간이 지남에 따라 무한정 증가해야 합니다. 실제 시스템에서 정상 상태 공진 모드의 진폭은 일정 기간 동안의 에너지 손실 조건과 같은 시간 동안의 외력 작용에 의해 결정됩니다. 마찰이 낮을수록 공진 진폭이 커집니다.

변동- 이것은 일정한 간격으로 반복되는 모든 과정이나 움직임입니다.

자유로운 진동평형 위치에서 제거된 후 내부 힘의 영향으로 시스템에서 발생합니다.

자유 진동 조건:

1 ... 평형 위치에서 시스템을 제거한 후 평형 위치로 되돌리는 경향이 있는 힘이 발생해야 합니다.

2 ... 시스템의 마찰과 저항은 충분히 낮아야 합니다.

고조파 진동- 사인 또는 코사인의 법칙에 따라 시간에 따른 주기적인 물리량 변화.

감쇠 진동- 시스템의 마찰력과 저항을 고려할 때 발생하는 진동입니다.

진동 진폭(A)평형 위치에서 몸체의 가장 큰 변위의 계수입니다.

진동주기(T)- 이것은 하나의 완전한 진동의 시간입니다. 측정 단위는 [s]입니다.

T = t / N, 여기서 t는 시간이고 N은 진동 수입니다.

진동 주파수(ν)단위 시간당 진동 수입니다.

측정 단위는 [Hz]입니다.

순환(원형) 주파수(ω 0) 2π초 동안의 진동 수입니다. 측정 단위 - [rad / s]. ω 0 = 2π ν = 2π / Т.

조화 방정식 x = A sin(ω 0 t + φ 0), x = A cos(ω 0 t + φ 0),

φ - 초기 단계(단위 - [기쁜]).

조화 진동의 예로는 수학적 진자와 스프링 진자의 진동이 있습니다.

수학 진자길고 무거우며 늘어나지 않는 실에 매달린 물질 포인트입니다. 수학적 진자에 작용하는 힘의 다이어그램이 그림에 나와 있습니다.

F = F t + F 제어

수학적 진자의 경우 순환 주파수는 다음과 같습니다.

진동 ω 0 = √g / l

진동 주기 Т = 2π√l / g,

여기서 l은 스레드의 길이이고,

g는 중력 가속도입니다.

스프링 진자강성 계수가 k인 스프링에서 진동하는 질량 m의 물체입니다. 스프링 진자용

주기적 진동 주파수 ω 0 = √k / m,

진동 주기 Т = 2π√m / k.

스프링을 직렬로 연결하면 총 강성 계수

합계 = (k 1 ∙ k 2) / (k 1 + k 2).

스프링이 병렬로 연결된 경우 총 강성 계수는 ​​k total = k 1 + k 2입니다.

고조파 진동에 대한 에너지 보존 법칙:

E 맥스 팟 = E 팟 + E kin = E 맥스 킨;

여기서 E max 땀은 최대 위치 에너지이고,

E 땀은 위치 에너지,

E kin - 운동 에너지,

E max kin은 최대 운동 에너지입니다.

강제 진동- 외부의 주기적으로 작용하는 힘의 영향으로 발생하는 진동입니다. 강제 진동의 경우 공진 현상이 특징적입니다.

공명진폭의 급격한 증가입니다.

우연의 일치의 경우 강제 진동

주파수가 있는 외력의 작용 주파수

시스템의 자연스러운 진동.

강제된 진폭의 증가

공진시의 진동은 다음과 같이 표현됩니다.

더 명확하게, 시스템의 마찰이 적습니다.

그림의 곡선 2는

시스템의 더 많은 마찰,

곡선 1 - 마찰이 적습니다. 쌀. 14.12

자체 진동시스템 내부에 에너지원이 있기 때문에 감쇠하지 않는 진동이라고 합니다. 자체 진동이 존재하는 시스템을 자체 진동 시스템이라고 합니다. 이 경우 진동 시스템에 대한 에너지 공급은 피드백 채널을 통한 조절기의 도움으로 시스템 자체에 의해 조절됩니다.

기계적 진동은 탄성 매체에서 전파됩니다. 매질의 입자가 진동하기 시작하면 매질의 입자 사이의 상호 작용으로 인해 진동이 모든 방향으로 전파되기 시작하므로 파동이 발생합니다.

파도- 시간이 지남에 따라 공간에 전파되는 진동입니다.

파도라고 한다 세로입자의 진동이 파동의 전파 방향을 따라 발생하는 경우. 종파는 고체, 액체 및 기체 매체에서 전파될 수 있습니다.

파도라고 한다 횡축입자의 진동이 파동 전파 방향에 수직으로 발생하는 경우. 전단파는 고체 매질에서만 전파될 수 있습니다.

파장(λ)동일한 위상에서 진동하는 서로 가장 가까운 두 점 사이의 거리입니다. 한 주기에서 파동은 파장과 같은 거리로 공간에서 전파됩니다.

비디오 자습서에 대한 설명

스프링 힘의 작용에 따라 매끄러운 수평 막대에 매달린 공의 진동에 대한 방정식을 작성해 보겠습니다. 뉴턴의 두 번째 법칙에 따르면 가속 벡터에 의한 물체 질량의 곱은 물체에 적용된 모든 힘의 결과입니다. 볼에 작용하는 힘은 늘어나거나 압축된 스프링의 탄성력입니다. Hooke의 법칙에 따른 투영은 스프링 강성과 공의 변위를 반대 부호로 곱한 것과 같습니다. 탄성력에 대한 표현을 뉴턴의 두 번째 법칙에 대입하면 볼의 질량과 가속도의 곱은 스프링의 강성과 볼의 변위를 곱한 값과 반대 부호로 취한 값과 같습니다. 방정식의 양변을 체질량으로 나눕니다. 가속도의 투영은 반대 부호로 취한 평형 위치에 대한 몸체의 변위에 의한 몸체 질량에 대한 스프링 강성의 비율의 곱과 같습니다. 체질량과 스프링 강성은 일정한 값이므로 이들의 비율도 일정합니다. 우리는 탄성력의 작용하에 신체의 진동을 설명하는 방정식을 얻었습니다. 신체 가속도의 투영은 반대 부호로 취한 좌표에 정비례합니다.

수학 진자의 운동 방정식은 비슷한 방식으로 얻을 수 있습니다. 탄성력의 영향을 받는 신체의 진동을 설명하는 방정식과 형태가 유사합니다. 수학적 진자의 가속도 투영은 반대 부호로 취한 실의 길이에 대한 중력 가속도의 비율과 평형 위치에 대한 몸체의 변위의 곱과 같습니다. 중력 가속도와 실의 길이는 주어진 진자에 대해 일정한 값이므로 그 비율도 일정한 값입니다. 이것은 수학 진자의 가속도 투영이 반대 부호로 취한 좌표에 정비례한다는 것을 의미합니다. 두 개의 고려되는 진동 시스템의 경우 운동 방정식은 형태가 동일합니다. 진동을 수행하는 물체의 가속도는 반대 부호로 취한 평형 위치로부터의 변위에 정비례합니다.
수학 과정에서 한 점의 가속도는 시간에 대한 속도의 미분 또는 시간에 대한 좌표의 이차 미분이라는 사실이 알려져 있습니다. 따라서 탄성력의 작용하에 진동 운동을 수행하는 물체의 운동 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 시간에 대한 물체 좌표의 2차 도함수는 강성 비율의 곱과 같습니다. 반대 기호로 취한 몸체 좌표에 의한 몸체 질량에 대한 스프링. 그들의 인수에 대한 사인과 코사인의 2차 도함수는 반대 부호로 취해진 함수 자체에 비례하며 다른 함수에는 이 속성이 없습니다. 이것은 자유 진동을 수행하는 물체의 좌표가 사인 또는 코사인 법칙에 따라 시간이 지남에 따라 변한다는 것을 의미합니다.
코사인 함수를 사용하여 이 방정식을 작성해 보겠습니다. 그러면 받아들일 것이다. 다음보기: 탄성력의 영향으로 진동하는 몸체의 좌표는 질량에 대한 스프링 강성 비율의 제곱근 곱의 코사인에 의해 평형 위치에서 몸체의 최대 편차의 곱과 같습니다. 진동 시간에 의한 하중. 우리는 시간에 진동을 수행하는 신체 좌표의 의존성에 대한 방정식을 얻었습니다.그림은 코사인 법칙에 따른 한 점의 좌표 변화를 시간에 따라 나타낸 것이다. 사인 또는 코사인의 법칙에 따라 시간에 따른 물리량의 주기적인 변화를 조화진동이라고 합니다. 진동 운동을 특징짓는 많은 양이 있습니다. 평형 위치에서 몸체의 편차를 변위라고 합니다. 고조파 진동의 진폭은 몸체가 평형 위치에서 벗어나는 최대 거리입니다. 진폭은 진동의 초기 조건에 따라 다릅니다. 한 번의 완전한 진동 시간을 진동 주기라고 합니다. 진동 주기는 초 단위로 측정됩니다. 진동 주파수는 단위 시간당 진동 수입니다. 국제 단위계에서 진동 주파수의 단위는 헤르츠입니다. 1 헤르츠(Hz) - 진동 운동의 주파수
진동하는 물체는 1초에 하나의 완전한 진동을 만듭니다.
순환 또는 원형 주파수는 2π초 동안 신체가 얼마나 많은 진동을 만드는지를 나타내는 양입니다. 순환 주파수의 단위는 초당 라디안입니다. 평형 상태에서 벗어난 진동 시스템은 특정 주파수로 자유 진동을 수행하므로 진동 시스템의 고유 진동수라고합니다. 스프링 진자의 경우 고유 진동 주파수는 하중 질량에 대한 스프링 강성 비율의 제곱근으로 정의됩니다. 수학 진자의 고유 진동수는 진자의 길이에 대한 중력 가속도 비율의 제곱근과 같습니다. 고유 진동수에 대한 표현을 시간에 따라 진동을 수행하는 신체 좌표의 의존성에 대한 방정식 공식으로 대체하면이 방정식은 다음과 같은 형식을 취합니다. 진동체의 좌표는 다음의 곱과 같습니다. 시스템의 주기적 주파수와 진동 시간의 곱의 코사인에 의한 평형 위치에서 몸체의 최대 편차.
자유 진동 기간은 시스템 자체의 매개 변수에 따라 다릅니다. 스프링에 하중이 진동할 때 주기는 스프링의 강성과 하중의 무게에 따라 달라집니다. 스프링의 강성이 클수록 진동 주기는 짧아집니다. 부하가 클수록 변동 기간이 길어집니다. 수학적 진자의 경우 진동 주기는 스레드의 길이에만 의존합니다. 스레드가 길수록 진동 주기도 길어집니다. 그것은 진자의 질량에 의존하지 않습니다.
자유 진동을 설명하는 방정식에서 코사인 기호 아래는 순환 진동 주파수와 시간의 곱입니다. 이 작업을 진동 위상이라고 합니다. 위상은 라디안의 각도 단위로 표시됩니다. 위상은 좌표 및 기타 물리량(예: 속도 및 가속도)의 값을 결정하며, 이 역시 조화 법칙에 따라 변경됩니다. 따라서 위상은 주어진 진폭에서 언제든지 진동 시스템의 상태를 결정한다고 말할 수 있습니다. 진동 운동을 수행할 때 시스템의 에너지는 한 형태에서 다른 형태로 전달됩니다. 스프링에서 볼의 진동을 고려하고 단순성을 위해 진동 시스템에 마찰력이 없다고 가정합니다. 스프링에 부착된 볼을 최대 거리 x만큼 오른쪽으로 이동시킴으로써 진동 시스템에 평형 위치로부터의 거리의 제곱에 의한 스프링 강성의 곱의 절반과 같은 위치 에너지를 부여합니다. 탄성력의 작용으로 볼은 왼쪽으로 움직이기 시작하고 스프링의 변형은 줄어들고 시스템의 위치 에너지는 감소합니다. 그러나 동시에 속도가 증가하고 결과적으로 운동 에너지가 증가합니다. 공이 평형점을 지나면 스프링의 변형은 0이 되므로 진동 시스템의 위치 에너지는 0이 됩니다. 이 지점에서 공의 속도는 최대이며, 이는 운동 에너지가 최대에 도달함을 의미합니다. 더 움직이면 볼의 속도가 감소하고 스프링의 변형이 증가합니다. 운동 에너지는 포텐셜로 변환됩니다. 가장 왼쪽 지점에서 최대값에 도달하고 운동 에너지는 0이 됩니다. 볼이 스프링 위에서 진동할 때 위치 에너지가 주기적으로 운동 에너지로 변환되고 그 반대의 경우도 마찬가지입니다. 스프링에 부착된 몸체의 진동 동안 총 기계적 에너지는 진동 시스템의 운동 에너지와 위치 에너지의 합과 같습니다. 보존법칙에 따르면 기계적 에너지마찰이 없으면 고립된 시스템의 전체 기계적 에너지는 변하지 않습니다.
마찰력은 항상 실제 진동 시스템에서 작용합니다. 그들은 부정적인 작업을 수행하여 시스템의 기계적 에너지를 줄입니다. 시스템의 기계적 에너지의 일부는 마찰력을 극복하는 데 사용되며 시스템 본체와 환경의 내부 에너지로 전달됩니다. 따라서 시간이 지남에 따라 평형 위치에서 신체의 최대 편차가 점점 작아집니다. 기계적 에너지의 공급이 소진되면 진동이 완전히 멈춥니다. 모든 자유 진동은 감쇠됩니다.

>> 고조파 진동에 의한 에너지 변환

§24 고조파 진동 중 에너지 변환

두 가지 경우에 고조파 진동 동안 에너지 변환을 고려해 보겠습니다. 시스템에 마찰이 없습니다. 시스템에 마찰이 있습니다.

마찰이 없는 시스템의 에너지 변환.스프링에 부착된 볼(그림 3.3 참조)을 거리 x m만큼 오른쪽으로 이동시켜 진동 시스템에 위치 에너지를 전달합니다.

볼이 왼쪽으로 이동하면 스프링의 변형이 줄어들고 시스템의 위치 에너지가 감소합니다. 그러나 동시에 속도가 증가하고 결과적으로 운동 에너지가 증가합니다. 공이 평형 위치를 통과하는 순간 진동 시스템의 위치 에너지는 0이 됩니다(x = 0에서 W n = 0). 운동 에너지가 최대에 도달합니다.

평형 위치를 지나면 공의 속도가 감소하기 시작합니다. 결과적으로 운동 에너지도 감소합니다. 시스템의 잠재적 에너지가 다시 증가합니다. 가장 왼쪽 지점에서 최대값에 도달하고 운동 에너지는 0이 됩니다. 따라서 진동하는 동안 위치 에너지는 주기적으로 운동 에너지로 또는 그 반대로 변환됩니다. 한 유형에서 다른 유형으로의 기계적 에너지의 동일한 변환이 수학적 진자의 경우에 발생한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

스프링에 부착된 몸체의 진동 중 총 기계적 에너지는 진동 시스템의 운동 에너지와 위치 에너지의 합과 같습니다.

운동 에너지와 잠재적 에너지는 주기적으로 바뀝니다. 그러나 저항력이없는 고립 된 시스템의 전체 기계적 에너지는 (기계적 에너지 보존 법칙에 따라) 변하지 않습니다. 평형 위치에서 최대 편차가 발생하는 순간의 위치 에너지 또는 신체가 평형 위치를 통과하는 순간의 운동 에너지와 같습니다.

진동체의 에너지는 좌표 진동 진폭의 제곱 또는 속도 진동 진폭의 제곱에 정비례합니다(공식 (3.26) 참조).

감쇠 진동.스프링이나 진자에 부착된 하중의 자유진동은 마찰이 없을 때만 조화를 이룬다. 그러나 마찰력, 더 정확하게는 환경의 저항력은 비록 작지만 항상 진동체에 작용합니다.

저항력은 부정적인 일을 하여 시스템의 기계적 에너지를 줄입니다. 따라서 시간이 지남에 따라 평형 위치에서 신체의 최대 편차가 점점 작아집니다. 결국 기계적 에너지 공급이 고갈되면 진동이 완전히 멈춥니다. 저항력이 있는 상태에서 진동이 감쇠됩니다.

감쇠 진동이있는 시간에 대한 신체 좌표의 의존성 그래프가 그림 3.10에 나와 있습니다. 진자와 같은 진동체 자체로 유사한 그래프를 그릴 수 있습니다.

그림 3.11은 샌드박스가 있는 진자를 보여줍니다. 한 방울의 모래와 함께 판지 아래에서 고르게 움직이는 판지의 진자는 시간에 대한 좌표 그래프를 그립니다. 이것은 진동 운동의 과정에 대한 상당히 완전한 그림을 제공하는 진동의 시간 스위프의 간단한 방법입니다. 작은 저항으로 여러 기간에 걸친 진동의 감쇠는 작습니다. 그러나 저항력을 높이기 위해 서스펜션 나사산에 두꺼운 종이 한 장을 붙이면 감쇠가 현저해집니다.

자동차에서는 고르지 않은 도로를 주행할 때 신체 진동을 완화하기 위해 특수 장치가 사용됩니다. 몸체가 진동하면 연결된 피스톤이 액체로 채워진 실린더에서 움직입니다. 액체는 피스톤의 구멍을 통해 흐르므로 큰 저항력이 나타나고 진동이 빠르게 감쇠됩니다.

마찰력이 없을 때 진동체의 에너지는 변하지 않습니다.

저항력이 시스템 본체에 작용하면 진동이 감쇠됩니다.

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정현파 법칙에 따른 시간 변화:

어디 엑스- 순간의 변동량의 값 티, ㅏ- 진폭, ω - 원형 주파수, φ - 진동의 초기 단계, ( φt + φ ) - 진동의 전체 단계. 이 경우 수량 ㅏ, ω 그리고 φ - 영구적 인.

기계적 진동의 경우 변동량 엑스특히 전압 및 전류와 같은 전기적 진동에 대한 변위 및 속도입니다.

고조파 진동은 모든 유형의 진동 중에서 특별한 위치를 차지합니다. 이것이 유일한 유형의 진동이기 때문에 균일한 매질을 통과할 때 형태가 왜곡되지 않습니다. 즉, 고조파 진동의 근원에서 전파되는 파동도 고조파입니다 . 모든 비고조파 진동은 다양한 고조파 진동의 합(적분)으로 나타낼 수 있습니다(고조파 진동 스펙트럼의 형태로).

고조파 진동 중 에너지 변환.

진동 과정에서 위치 에너지의 전이가 발생합니다. 승운동으로 승그 반대. 평형 위치에서 최대 편차 위치에서 위치 에너지는 최대이고 운동 에너지는 0입니다. 평형 위치로 돌아감에 따라 진동체의 속도가 증가하고 운동 에너지도 함께 증가하여 평형 위치에서 최대값에 도달합니다. 그러면 위치 에너지는 0으로 떨어집니다. 목이 더 긴 움직임은 속도 감소와 함께 발생하며 편향이 두 번째 최대값에 도달하면 0으로 떨어집니다. 여기에서 위치 에너지는 마찰이 없을 때 초기(최대) 값으로 증가합니다. 따라서 운동 에너지와 위치 에너지의 진동은 두 배(진자 자체의 진동과 비교하여) 주파수로 발생하고 역위상입니다(즉, 다음과 같은 위상 이동이 있습니다. π ). 총 진동 에너지 여변경되지 않은 상태로 유지됩니다. 탄성력의 영향으로 진동하는 물체의 경우 다음과 같습니다.

어디 vm- 최대 신체 속도(평형 위치에서), x m = ㅏ진폭입니다.

매체의 마찰과 저항으로 인해 자유 진동이 약해집니다. 시간이 지남에 따라 에너지와 진폭이 감소합니다. 따라서 실제로는 종종 자유가 아닌 강제 진동을 사용합니다.