Бинарни връзки. Примери за бинарни отношения

Определение. Бинарното отношение Rнаречена подмножество от двойки (a, b) ∈RДекартово произведение A × B, тоест R⊆A × B. Освен това комплектът Асе нарича област на дефиниране на релацията R, множеството B - област на стойностите.

Обозначение: aRb (т.е. a и b са във връзка с R). /

Коментирайте: ако A = B, тогава R се казва, че е релация на множеството A.

Методи за определяне на бинарни релации

1. Списък (изброяване на двойки), за които това отношение е изпълнено.

2. Матрица. Бинарна релация R ∈ A × A, където A = (a 1, a 2, ..., an), съответства на квадратна матрица от порядък n, в която елементът c ij в пресечната точка на i-тия ред и j-та колона, е равно на 1, ако има връзка R между ai и aj, или 0, ако тя липсва:

Свойства на връзката

Нека R е релация на множество A, R ∈ A × A. Тогава съотношението R:

рефлексивно, ако Ɐ a ∈ A: a R a (основният диагонал на матрицата на рефлексивните отношения съдържа само единици);

антирефлексивно, ако Ɐ a ∈ A: a R a (основният диагонал на матрицата на рефлексивните отношения съдържа само нули);

симетрично, ако Ɐ a, b ∈ A: a R b ⇒ b R a (матрицата на такова отношение е симетрична спрямо главния диагонал, т.е. c ij c ji);

антисиметрично, ако Ɐ a, b ∈ A: a R b & b R a ⇒ a = b (матрицата на такова отношение не съдържа единици, които са симетрични спрямо главния диагонал);

транзитивно, ако Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c линии, т.е. с ij = 1, тогава всички единици в j-тия ред (нека тези единици съответстват на k-ти координати, като че c jk = 1) трябва да съответства на единици в i-тия ред в същите k-ти координати, т.е. c ik = 1 (а може би и в други координати).

Задача 3.1.Определете свойствата на релацията R - "да бъде делител", дефинирана върху множеството от естествени числа.

Решение.

съотношение R = ((a, b): a делител b):

рефлексивно, а не антирефлексно, тъй като всяко число се дели без остатък: a / a = 1 за всички a∈N;

не симетричен, антисиметричен, например 2 е делител на 4, но 4 не е делител на 2;

транзитивно, тъй като ако b / a ∈ N и c / b ∈ N, то c / a = b / a ⋅ c / b ∈ N, например, ако 6/3 = 2∈N и 18/6 = 3∈N , тогава 18/3 = 18 / 6⋅6 / 3 = 6∈N.

Задача 3.2.Определете свойствата на отношението R - "да бъдеш брат", дадено върху набор от хора.
Решение.

Съотношение R = ((a, b): a - брат b):

неотразяващ, антирефлексен поради очевидното отсъствие на aRa за всички a;

не е симетрично, тъй като в общия случай между брат a и сестра b има aRb, но не и bRa;

не е антисиметрично, тъй като ако a и b са братя, тогава aRb и bRa, но a ≠ b;

преходно, ако хората, които имат общи родители (баща и майка) наричаме братя.

Задача 3.3.Определете свойствата на връзката R - "да бъде шеф", дадена върху набора от структурни елементи

Решение.

Съотношение R = ((a, b): a - шеф b):

не отразяващ, антирефлексен, ако няма смисъл в конкретна интерпретация;
не симетрични, антисиметрични, тъй като за всички a ≠ b, aRb и bRa не се изпълняват едновременно;
транзитивно, тъй като ако a е шефът на b и b е шефът на c, тогава a е шефът на c.

Определете свойствата на релацията R i, дефинирана на множество M i от матрицата, ако:

R 1 "има същия остатък, когато е разделен на 5"; M 1 е множеството от естествени числа.
R2 "да бъде равен"; M 2 е множеството от естествени числа.
R 3 „живеят в един град“; M 3 много хора.
R 4 "за да се запознаеш"; M 4 много хора.
R 5 ((a, b) :( a-b) - четно; M 5 е набор от числа (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
R 6 ((a, b) :( a + b) - четно; M 6 е набор от числа (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
R 7 ((a, b): (a + 1) - делител (a + b)); M 7 - комплект (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
R 8 ((a, b): a - делител (a + b), a ≠ 1); M 8 е множеството от естествени числа.
R 9 “да бъдеш сестра”; М 9 е много хора.
R 10 „да бъде дъщеря“; M 10 - много хора.

Операции върху бинарни отношения

Нека R 1, R 1 са отношения, дефинирани на множеството A.

съюз R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a, b): (a, b) ∈ R 1 или (a, b) ∈ R 2);

пресичане R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a, b): (a, b) ∈ R 1 и (a, b) ∈ R 2);

разлика R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a, b): (a, b) ∈ R 1 и (a, b) ∉ R 2);

универсално отношение U: = ((a; b) / a ∈ A & b ∈ A). ;

допълнение R 1 U \ R 1, където U = A × A;

съотношение на идентичност I: = ((a; a) / a ∈ A);

обратна връзка R -1 1 : R -1 1 = ((a, b): (b, a) ∈ R 1);

композиция R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a, b) / a ∈ A & b ∈ B & ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), където R 1 ⊂ A × C и R2 ⊂ C × B;

Определение. Степента на връзката R върху множество A се нарича неговата композиция със себе си.

Обозначаване:

Определение... Ако R ⊂ A × B, тогава се нарича R º R -1 ядрото на връзката R .

Теорема 3.1.Нека R ⊂ A × A е релация, дефинирана на множеството A.

R е рефлексивен тогава и само ако (в това, което следва се използва знакът ⇔), когато I ⊂ R.
R е симетричен ⇔ R = R -1.
R транзитивно ⇔ R º R ⊂ R
R е антисиметричен ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I.
R е антирефлексивен ⇔ R ⌒ I = ∅.

Задача 3.4 ... Нека R е отношението между множествата (1,2,3) и (1,2,3,4), дадено чрез изброяване на двойки: R = ((1,1), (2,3), (2,4) , (3.1), (3.4)). В допълнение, S е отношението между множествата S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). Изчислете R -1, S -1 и S º R. Проверете дали (S º R) -1 = R -1, S -1.

Решение.
R-1 = ((1.1), (1.3), (3.2), (4.2), (4.3));
S -1 = ((1.1), (1.2), (1.3), (2.1), (2.4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2, 1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) -1.

Задача 3.5 ... Нека R е отношението "... родител ...", а S отношението "... брат ..." на множеството на всички хора. Дайте кратко словесно описание на връзката:

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1 и R º R.

Решение.

R -1 - отношение "... дете ...";

S -1 - отношение "... брат или сестра ...";

R º S - релация "... родител ...";

S -1 º R -1 - отношение "... дете ..."

R º R - отношение "... баба или дядо ..."

Задачи за самостоятелно решаване

1) Нека R е отношението "... баща ...", а S - отношението "... сестра ..." на множеството на всички хора. Дайте устно описание на връзката:

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, R º R.

2) Нека R е отношението "... брат ...", а S - отношението "... майка ..." на множеството на всички хора. Дайте устно описание на връзката:

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, S º S.

3) Нека R е отношението "... дядо ...", а S - отношението "... син ..." на множеството на всички хора. Дайте устно описание на връзката:

4) Нека R е отношението "... дъщеря ...", а S - отношението "... баба ..." на множеството на всички хора. Дайте устно описание на връзката:

5) Нека R е отношението "... племенница ...", а S - отношението "... баща ..." на множеството на всички хора. Дайте устно описание на връзката:

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, R º R.

6) Нека R е отношението "сестра ..." и S - отношението "майка ..." на множеството на всички хора. Дайте устно описание на връзката:

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, S º S.

7) Нека R е отношението "... майка ...", а S - отношението "... сестра ..." на множеството на всички хора. Дайте устно описание на връзката:

R -1, S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Нека R е отношението "... син ...", а S - отношението "... дядо ..." на множеството на всички хора. Дайте устно описание на връзката:

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, R º R.

9) Нека R е отношението "... сестра ...", а S - отношението "... баща ..." на множеството на всички хора. Дайте устно описание на връзката:

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, S º S.

10) Нека R е отношението "... майка ...", а S - отношението "... брат ..." на множеството на всички хора. Дайте устно описание на връзката:

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, R º R.

1. Рефлексивност:

2. Слаба рефлексивност:

3. Силна рефлексивност:

4. Антирефлексност:

5. Слаба антирефлексивност:

6. Силна антирефлексност:

7. Симетрия:

8. Антисиметрия:

9. Асиметрия:

10. Силна линейност:

11. Слаба линейност:

12. Транзитивност:

Рефлексивност, свойство на двоичен (двуместен, двучленен) взаимоотношения,изразяващи тяхната осъществимост за двойки обекти със съвпадащи членове (така да се каже, между обекта и неговия "огледален образ"): отношението Рсе нарича рефлексивен, ако за всеки обект NSот областта на неговата дефиниция, xRx.Типични и най-важни примери за рефлексивни отношения: типови отношения равенство (идентичност, еквивалентност, сходствои други подобни: всеки обект е равен на себе си) и отношения на свободен ред (всеки обект е не по-малко и не повече от себе си). Интуитивни понятия за "равенство" (еквивалентност, сходство и т.н.), очевидно го придават със свойства симетрияи преходност,свойството на Р. също „принуждава”, тъй като последното свойство следва от първите две. Следователно, много отношения, използвани в математиката, които по дефиниция не притежават, естествено се предефинират по такъв начин, че стават рефлексивни, например, за да се приеме, че всяка права линия или равнина е успоредна на себе си и т.н.

Глава 1. Елементи на теорията на множествата

1.1 Комплекти

Най-простата структура от данни, използвана в математиката, възниква, когато няма връзки между отделни изолирани данни. Съвкупността от такива данни е Много... Понятието за множество е недефинирано понятие. Комплектът няма вътрешна структура. Множество може да се разглежда като колекция от елементи, които имат някакво общо свойство. За да може определен набор от елементи да бъде наречен набор, е необходимо да са изпълнени следните условия:

Трябва да съществува правило, за да се определи дали даден член принадлежи към дадена популация.

Трябва да има правило за разграничаване на елементите един от друг. (Това по-специално означава, че наборът не може да съдържа две същотоелементи).

Комплектите обикновено се обозначават с главни латински букви. Ако елемент

принадлежи на множеството, тогава това се означава:

Ако всеки елемент от множеството

е също елемент от множеството, тогава казват, че множеството е подмножествокомплекти:

Подмножество

набор се нарича собствено подмножество, ако

Използвайки концепцията за набор, можете да изграждате по-сложни и смислени обекти.

1.2 Задаване на операции

Основните операции върху множествата са съюз, пресичанеи разлика.

Определение 1. Консолидация

Определение 2. Пресичанедва набора се нарича нов набор

Определение 3. Разликатадва набора се нарича нов набор

Ако се обозначава класът от обекти, върху които са дефинирани различни множества

(Universum), тогава допълващимножества се наричат разликата подредени n-ku, се наричат властова връзка .

Коментирайте. Концепцията за връзката е много важна не само от математическа гледна точка. Концепцията за връзка всъщност е в основата на цялата теория на релационните бази данни. Както ще бъде показано по-долу, отношенията са математическият аналог маси... Самият термин "представяне на релационни данни", въведен за първи път от Код, идва от термина отношение, разбира се именно в смисъла на това определение.

Тъй като всяко множество може да се разглежда като декартово произведение от степен 1, то всяко подмножество, както и всяко множество, може да се счита за релация от степен 1. Това не е много интересен пример, който само свидетелства, че термините „отношение от степен 1 " и "подмножество" са синоними. Нетривиалността на концепцията за връзка се проявява, когато степента на връзката е по-голяма от 1. Тук има два ключови момента:

Първо, всички елементи на връзката са от същия типкортежи. Еднородността на кортежите ни позволява да ги считаме за аналогични на редовете в проста таблица, т.е. в таблица, в която всички редове се състоят от еднакъв брой клетки и съответните клетки съдържат едни и същи типове данни. Например, релация, състояща се от следните три кортежи ((1, "Иванов", 1000), (2, "Петров", 2000), (3, "Сидоров", 3000)), може да се счита за таблица, съдържаща данни за служители и техните заплати. Такава таблица ще има три реда и три колони и всяка колона съдържа данни от същия тип.

Обратно, разгледайте множеството ((1), (1,2), (1, 2,3)), състоящо се от разнообразенчислови кортежи. Този набор не е релация в никое

, нито вътре, нито вътре. Невъзможно е да се създаде проста таблица от кортежите, включени в този набор. Вярно е, че това множество може да се счита за отношение от степен 1 на множеството от всички възможни числови кортежи от всички възможни степени

Основи на дискретната математика.

Концепцията за комплект. Връзка между множества.

Комплект - съвкупност от обекти с определено свойство, обединени в едно цяло.

Обектите, които съставляват множеството, се наричат елементикомплекти. За да може определен набор от обекти да бъде наречен набор, трябва да са изпълнени следните условия:

· Трябва да има правило, според което е възможно да се определи дали даден елемент принадлежи към дадена популация.

· Трябва да има правило, чрез което елементите могат да бъдат разграничени един от друг.

Наборите са обозначени с главни букви, а елементите им са обозначени с малки букви. Методи за определяне на набори:

· Изброяване на елементите на множеството. - за крайни множества.

Спецификация на характерното свойство .

Празен комплект- се нарича множество, което не съдържа никакъв елемент (Ø).

Две множества се наричат равни, ако се състоят от едни и същи елементи. , А = Б

Много Бсе нарича подмножество на множеството А(, ако и само ако всички елементи от множеството Бпринадлежат към комплекта А.

Например: , Б =>

Имот:

Забележка: обикновено се разглежда подмножество от същия e набор, който се нарича универсален(u). Универсалният комплект съдържа всички елементи.

Операции върху множества.

1. Консолидация 2 множества A и B е множество, към което принадлежат елементите от множество A или множество B (елементи на поне едно от множествата).

2.Пресичане 2 множества се нарича ново множество, състоящо се от елементи, които едновременно принадлежат както на първото, така и на второто множество.

№:,,

Собственост: обединителни и пресечни операции.

· Комутативност.

· Асоциативност. ;

· Разпределителен. ;

4.Добавяне... Ако АЕ подмножество на универсалното множество У, след това допълнението на множеството Аза мнозина У(означено) се нарича множеството, състоящо се от тези елементи на множеството Укоито не принадлежат на набора А.

Бинарни отношения и техните свойства.

Нека бъде Аи Vтова са множества от производно естество, разгледайте подредена двойка елементи (а, в) a ϵ A, b ϵ Bпоръчани "енки" могат да бъдат разгледани.

(a 1, a 2, a 3, ... a n), където а 1 ϵ А 1; а 2 ϵ А 2; ...; ан ϵ А n;

Декартово (пряко) произведение на множества А 1, А 2, ..., А n, се нарича множество от числа, което се състои от подредени n k от вида.

№: М= {1,2,3}

M × M = M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Подмножества на декартово произведение наречено съотношение на степента нили енарна връзка. Ако н= 2, тогава разгледайте двоиченвръзка. Какво казват това а 1, а 2са в бинарна връзка Р, кога a 1 R a 2.

Бинарна връзка на множеството Мсе нарича подмножество на прякото произведение на множеството нсебе си.

M × M = M 2= {(а, б)| a, b ϵ M) в предишния пример съотношението е по-малко в комплекта Мгенерира следния набор: ((1,2); (1,3); (2,3))

Бинарните връзки имат различни свойства, включително:

Рефлексивност: .

· Антирефлексивност (иррефлексивност):.

· Симетрия:.

· Антисиметрия:.

· Транзитивност:.

· Асиметрия:.

Видове взаимоотношения.

· Коефициент на еквивалентност;

· Отношение на поръчката.

v Рефлексивна транзитивна връзка се нарича квази-редова връзка.

v Рефлексивна симетрична транзитивна релация се нарича релация на еквивалентност.

v Рефлексивна антисиметрична транзитивна релация се нарича (частична) връзка на ред.

v Антирефлексивна антисиметрична транзитивна релация се нарича строга подреждаща връзка.

Бинарни връзки.

Нека A и B са произволни множества. Вземете по един елемент от всеки набор, a от A, b от B и ги запишете така: (първо елемент от първото множество, след това елемент от второто множество - тоест редът, в който са взети елементите, е важен за нас). Такъв обект ще бъде наречен поръчана двойка. Равноще броим само онези двойки, за които елементите с еднакви номера са равни. = ако a = c и b = d. Очевидно, ако a ≠ b, тогава ≠ .

Декартов продуктпроизволни множества A и B (означени с: AB) се нарича множеството, състоящо се от всички възможни подредени двойки, първият елемент от които принадлежи на A, а вторият принадлежи на B. По дефиниция: AB = ( | aA и bB). Очевидно, ако A ≠ B, тогава AB ≠ BA. Декартовото произведение на множество A само по себе си n пъти се нарича Декартова степен A (означава се с: A n).

Пример 5. Нека A = (x, y) и B = (1, 2, 3).

AB = ( , , , , , }.

BA = (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA = A 2 = ( , , , }.

BB = B 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Бинарна връзкавърху множество M имаме предвид множеството от някои подредени двойки елементи от множеството M. Ако r е бинарна релация и двойката принадлежи на това отношение, тогава те пишат: r или x r y. Очевидно r Í M 2.

Пример 6. Множеството (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) е бинарна релация на множеството (1, 2, 3, 4, 5).

Пример 7. Връзката ³ на множеството цели числа е двоична релация. Това е безкраен брой подредени двойки от формата , където x ³ y, x и y са цели числа. Тази връзка включва например двойките<5, 3>, <2, 2>, <324, -23>и не принадлежат към двойка<5, 7>, <-3, 2>.

Пример 8. Връзката на равенство на множеството A е двоична релация: I A = ( | x Î A). I A се нарича диагоналмножеството А.

Тъй като бинарните отношения са множества, операциите на обединение, пресичане, допълнение и разлика са приложими към тях.

Обхватът нана бинарна релация r се нарича множество D (r) = (x | има y такова, че xry). Диапазон от стойностина бинарна релация r се нарича множество R (r) = (y | има x такова, че xry).

Поведение, обратенкъм бинарното отношение r Í M 2 се нарича бинарно отношение r -1 = ( | Î r). Очевидно D (r‑1) = R (r), R (r‑1) = D (r), r - 1 Í M 2.

Съставбинарни отношения r 1 и r 2, дадени на множество M, се нарича бинарна връзка r 2 o r 1 = ( | има y такова, че Î r 1 и Í r 2). Очевидно r 2 или r 1 Í M 2.

Пример 9. Нека на множеството M = (a, b, c, d) е дефинирана бинарна релация r, r = ( , , , ). Тогава D (r) = (a, c), R (r) = (b, c, d), r ‑1 = ( , , , ), r или r = ( , , , ), r ‑1 o r = ( , , , ), r или r ‑1 = ( , , , , , , }.

Нека r е бинарна релация на множество M. Извиква се релация r отразяващако x r x за всяко x Î M. Отношението r се нарича симетричниако заедно с всяка двойка също така съдържа двойка ... Съотношението r се нарича преходенако от факта, че x r y и y r z следва, че x r z. Съотношението r се нарича антисиметричниако не съдържа едновременно двойката и различни елементи x ¹ y от множеството M.

Нека посочим критериите за изпълнение на тези свойства.

Бинарно отношение r върху множество M е рефлексивно, ако и само ако I M Í r.

Бинарна релация r е симетрична, ако и само ако r = r ‑1.

Бинарна връзка r на множество M е антисиметрична, ако и само ако r Ç r ‑1 = I M.

Бинарна релация r е транзитивна тогава и само ако r o r Í r.

Пример 10. Връзката от пример 6 е антисиметрична, но не е симетрична, рефлексивна и преходна. Връзката в Пример 7 е рефлексивна, антисиметрична и преходна, но не и симетрична. Връзката I A има и четирите разглеждани свойства. Отношенията r ‑1 o r и r o r ‑1 са симетрични, преходни, но не антисиметрични и рефлексивни.

Поведение еквивалентностна множеството M се нарича транзитивно, симетрично и рефлексивно на M бинарно отношение.

Поведение частична поръчкана множеството M се нарича транзитивно, антисиметрично и рефлексивно върху M бинарно отношение r.

Пример 11. Връзката от пример 7 е релация на частично подреждане. Връзката I A е релация на еквивалентност и частично подреждане. Връзката на паралелизъм върху набор от прави е релация на еквивалентност.

Самото понятие "отношение" разбира се ви е познато. Често го използваме в речта. Например, можем да кажем, че съм в добри отношения с всички ученици от моята група.

В живота ние постоянно сме в различни отношения и влизаме в различни взаимоотношения. С членовете на нашето семейство сме в роднинска връзка, със съучениците - по отношение на приятелството, с ръководителите на институцията, в която учим или работим - по отношение на подчинение и т.н. В този смисъл отношението е определен характер на връзка.

В раздел 2.2 говорихме за връзките, които съществуват между математическите обекти. И така, един елемент във връзка с множество е в отношение на принадлежност, две множества могат да бъдат във връзка на включване или равенство.

Сега ще разгледаме връзките, които могат да съществуват между елементите на множествата. И така, казахме, че връзката, установена между елементите на множествата в разглеждания пример, се нарича двоична.

По същество в примера първо съставихме декартовото произведение на дадените множества, т.е. множеството от всички двойки елементи от тези множества, така че първият елемент от двойката да принадлежи на първото множество, а вторият на втория. След това от набора от тези двойки избрахме подмножество от тези двойки, които показват в кой факултет учи всеки студент.

Определение 2.8. Бинарна връзка между наборите на Лъжа V всяко подмножество на декартовото произведение се нарича Ах В.

Бинарните отношения обикновено се означават с буквите на гръцката азбука: p („ro“), a („sigma“), | / („psi“) и т.н.

Ако p е някаква двоична връзка между множества А и V, тогава, според дефиницията на бинарна релация, можем да запишем, че p c c A x B.

Ако двойката (а, б ) принадлежи на бинарното отношение p, т.е. (а, б ) e p, тогава казват, че елементът ае във връзка с p с елемента б, и напишете arb. Така че в примера по-горе се разглежда отношението „да се учи във факултета“. Тогава можем да кажем, че Петър е в тази връзка с Факултета по математика.

Има определени признаци за някои взаимоотношения в математиката. Например,

Поради факта, че бинарната връзка е набор от двойки, тогава, както всяко множество, тя може да бъде определена или чрез изброяване на тези двойки, или чрез посочване на характерно свойство за извличане на двойки от декартовия продукт, които принадлежат на тази връзка.

Пример 2.6

Нека са дадени два числови набора: А =(1, 3.5) и B =(2, 8, 10). Нека дефинираме двоична връзка o между тези изброяващи набори: а= ((1, 2), (5, 10)). Можем да посочим същата релация чрез характеристичното свойство: двоична връзка се формира от двойки числа, така че числото от първия набор да е два пъти по-малко от числото от второто множество.

Пример 2.7

Помислете за множеството студенти във вашата академична група. Нека установим в това множество отношението „да бъдеш приятел“. За всяка двойка студенти в академична група може да се каже дали са в дадена връзка или не. Може дори да се случи това бинарно отношение да образува празно множество. В какъв случай ще бъде?

В последния пример трябва да обърнете внимание на факта, че установихме връзка не между елементите на две множества, а между елементите на едно множество. Това също е възможно и не противоречи на определението за бинарна връзка. Само в този случай вместо декартовото произведение на две множества е необходимо да се разгледа декартовият квадрат на множеството.

Бинарна релация, дефинирана в множество, може да има различни свойства. Нека ги разгледаме.

1. Свойството на рефлексивност.

Определение 2.9. отразяващ ако за такъв а и Лдвойка (а> а) еР.

Поведение "

2. Свойство на симетрия.

Определение 2.10.Казват, че бинарно отношение p, дадено на множество A, е симетрични ако за някои елементи a и б от Л от факта, че двойката ( а , б ) е във връзка p, от това следва, че двойката ( б , а) е във връзка с п.

Например, релация на равенство, дефинирана върху набор от реални числа, е симетрична, тъй като ако числото к равно на числото NS ) след това числото NS равно на числото к. Отношението „да бъдеш приятел“ също е симетрично.

От друга страна, съотношението на подреждане по величина (

3. Свойство на антисиметрия.

Определение 2.11. Казват, че бинарно отношение p, дадено на множество A, е антисиметрични в ако за някакви елементи а и б от Л от факта, че двойките (i, /;) и (/ ;, а) са по отношение на p, следва, че а = Б.

Например, отношението на подреждане по големина върху множеството от реални числа е антисиметрично. В крайна сметка, ако се знае, че за числата NS и в Свършен NS и в тогава това означава, че x - y. Но съотношението на успоредност на правите линии не е антисиметрично, тъй като ако е права линия / успоредно на правата линия Tи направо Tуспоредно на правата линия /, тогава това не означава, че линиите / и T съвпада. Те могат да бъдат различни.

4. Свойство на транзитивност.

Определение 2.12.Казват, че бинарно отношение p, дадено на множество A, е преходен вако за някакви елементи а, б и сот L от факта, че двойки (i, б ) и (/ ?, c) са по отношение на p, от това следва, че двойката (а, в)е и във връзка с п.

Свойството на транзитивност притежават отношенията на подреждане по размер, паралелизъм, отношението „да бъдеш роднина”.

Съотношението на перпендикулярност на правите линии не е преходно (покажете това с помощта на фигурата). Също така връзката „да бъдеш приятел“ също не е по същество преходна (въпреки че има една поговорка, в която е изразено желанието за преходност на тази връзка: „Приятел на моя приятел е мой приятел“).

Ние разгледахме само основните свойства на бинарните отношения, които дефинират два често използвани типа релации.

Отношение на еквивалентност (или еквивалентност) е бинарна релация, която има свойствата на рефлексивност, симетрия и транзитивност.

Отношение на подреденост (или подреждане) е бинарна релация, която има свойствата на рефлексивност, антисиметрия и транзитивност.

Например отношението „да си съученик“ е еквивалентно, тъй като има свойството на рефлексивност, симетрия и преходност. Отношението „да не си по-висок“ в множество хора е отношение на подреденост.

Връзките за еквивалентност и подреждане са много важни в различни области на математиката и еквивалентността се използва при класифициране на различни обекти. За да разберем това, нека първо се обърнем към такова математическо понятие като разделяне на множество.

Определение 2.13. С раздялата комплекти /! се нарича представяне на това множество под формата на обединение от несвързани подмножества, които се наричат класове на дялове.

За да проверим дали имаме работа с дял от набор, трябва да проверим две условия:

обединението на подмножествата, получени по време на разделянето, е оригиналното множество;
пресечната точка на всякакви две различни подмножества е празна.

При извършване на класификацията класовете на дяла са т.нар класове на еквивалентност. Как се изграждат тези класове?

Нека на снимачната площадка А въвежда се някакво отношение на еквивалентност p. Да вземем всеки елемент а от А и всички артикули от А, които са с а във връзка с п. Всички тези елементи ще формират класа за еквивалентност на елементите а. Ясно е, че самият елемент а ще попадне в този клас. Всъщност, ако p е релация на еквивалентност, то тя има свойството на рефлексивност, т.е. (а) а) е p, а това означава, че самият елемент а принадлежи към класа на еквивалентност, който формира.

Може да се докаже, че класовете на еквивалентност на различни елементи от множеството или съвпадат, или не се пресичат. В тази връзка може да се приеме, че тези класове могат да се разглеждат като разделящи класове.

Всъщност има теорема, която казва, че ако е дадено отношение на еквивалентност върху множество, тогава множеството от всички класове на еквивалентност, съдържащи елементи от това множество, е дял от това множество.

От друга страна, може да се докаже, че ако има някакво деление на множеството и на това множество е дадено бинарно отношение, така че двойка елементи от множеството е в тази връзка само ако и двамата принадлежат към един и същ клас от дяла, тогава тази двоична връзка ще бъде еквивалентност.

Можете да опитате сами да докажете всяко от тези твърдения или да анализирате доказателството, което е дадено в работата.

Когато използваме класове за еквивалентност, ние разделяме набора на подмножества, всяко от които включва някакъв вид "идентични" елементи. Например, множеството от всички положителни дроби може да бъде разделено на класове на еквивалентност по този начин: 1) вземете всяка несвит

тимусна фракция (например -); 2) във всеки съответен клас на еквивалентност

2 4 6 8 h t

съответните дроби включват всички равни на него дроби - = - = - = 1

По този начин разделяме всички положителни дроби на съответните класове на еквивалентност. Всеки такъв клас е положително рационално число.

Голямата съветска енциклопедия казва, че „отношението е емоционално-волево отношение на човек към нещо, т.е. изразяване на нейната позиция; умствено сравнение на различни обекти или страни на даден обект." В тълковния речник на Д. Н. Ушаков „отношенията са взаимно общуване, общуване между хора, общества, държави и т.н., образувано от общуване на някаква почва“.