Elektrostatska energija sustava naboja. Energija međudjelovanja sustava točkastih naboja

(Kratke teorijske informacije)

Energija međudjelovanja točkastih naboja

Energija interakcije sustava točkastih naboja jednaka je radu vanjskih sila za stvaranje tog sustava (vidi sliku 1) kroz sporo (kvazi-statičko) kretanje naboja iz točaka beskonačno udaljenih jedna od druge do zadanih položaja. Ta energija ovisi samo o konačnoj konfiguraciji sustava, ali ne i o načinu na koji je taj sustav kreiran.

Na temelju ove definicije možemo dobiti sljedeću formulu za energiju interakcije dvaju točkastih naboja smještenih u vakuumu na udaljenosti r 12 odvojeno:

. (1)

Ako sustav sadrži tri stacionarna točkasta naboja, tada je energija njihove interakcije jednaka zbroju energija svih parnih interakcija:

Gdje r 12 – razmak između prvog i drugog, r 13 - između prvog i trećeg, r 23 – između drugog i trećeg punjenja. Električna energija međudjelovanja sustava izračunava se na sličan način iz N bodovne naknade:

Na primjer, za sustav od 4 naboja formula (2) sadrži 6 članova.

Električna energija nabijenih vodiča

Električna energija izoliranog nabijenog vodiča jednaka je radu koji se mora izvršiti da bi se na vodič primijenio određeni naboj polaganim pomicanjem u infinitezimalnim dijelovima od beskonačnosti, gdje u početku ti dijelovi naboja nisu međusobno djelovali. Električna energija usamljenog vodiča može se izračunati pomoću formule

, (3)

Gdje q– naboj vodiča,  – njegov potencijal. Konkretno, ako nabijeni vodič ima oblik lopte i nalazi se u vakuumu, tada njegov potencijal
i, kao što slijedi iz (3), električna energija je jednaka

,

Gdje R– radijus lopte, q- njegov naboj.

Slično se određuje i električna energija nekoliko nabijenih vodiča - jednaka je radu vanjskih sila da te naboje primijene na vodiče. Za elektroenergetski sustav od N nabijenih vodiča, možemo dobiti formulu:

, (4)

Gdje I - naboj i potencijal - th dirigent. Imajte na umu da formule (3), (4) vrijede iu slučaju kada nabijeni vodiči nisu u vakuumu, već u izotropnom neutralnom dielektriku.

Pomoću (4) izračunavamo električnu energija nabijenog kondenzatora. Označavanje naboja pozitivne ploče q, njezin potencijal  1 i potencijal negativne ploče  2, dobivamo:

,

Gdje
- napon na kondenzatoru. S obzirom na to
, formula za energiju kondenzatora također se može prikazati u obliku

, (5)

Gdje C– kapacitet kondenzatora.

Vlastita električna energija i energija interakcije

Promotrimo električnu energiju dviju vodljivih kuglica čiji su polumjeri R 1 , R 2 i optužbe q 1 , q 2. Pretpostavit ćemo da se kuglice nalaze u vakuumu na velikoj udaljenosti u odnosu na njihove radijuse l jedni od drugih. U ovom slučaju, udaljenost od središta jedne lopte do bilo koje točke na površini druge je približno jednaka l a potencijali kuglica mogu se izraziti formulama:

,
.

Električnu energiju sustava nalazimo pomoću (4):

.

Prvi član u dobivenoj formuli je energija međudjelovanja naboja koji se nalaze na prvoj lopti. Ta se energija naziva vlastitom električnom energijom (na prvu loptu). Slično, drugi član je vlastita električna energija druge lopte. Posljednji član je energija međudjelovanja naboja prve lopte s nabojima druge.

Na
električna energija međudjelovanja znatno je manja od zbroja vlastitih energija kuglica, međutim, kada se promijeni udaljenost između kuglica, vlastite energije ostaju praktički konstantne, a promjena ukupne električne energije približno je jednaka promjena energije interakcije. Ovaj zaključak vrijedi ne samo za vodljive lopte, već i za nabijena tijela proizvoljnog oblika koja se nalaze na velika udaljenost jedno od drugog: prirast električne energije sustava jednak je prirastu energije međudjelovanja nabijenih tijela sustava:
. Energija interakcije
međusobno udaljenih tijela ne ovisi o njihovom obliku i određuje se formulom (2).

Prilikom izvođenja formula (1), (2) svaki od točkastih naboja smatran je nečim cjelovitim i nepromjenjivim. U obzir je uzet samo rad učinjen kada su takvi konstantni naboji konvergirali, ali ne i njihov nastanak. Naprotiv, pri izvođenju formula (3), (4) uzet je u obzir i rad obavljen pri primjeni naboja q ja svakom od tijela sustava prenoseći električnu energiju u beskonačno malim obrocima iz beskonačno udaljenih točaka. Dakle, formule (3), (4) određuju ukupnu električnu energiju sustava naboja, a formule (1), (2) samo električnu energiju međudjelovanja točkastih naboja.

Volumetrijska gustoća energije električnog polja

Električna energija kondenzatora s paralelnim pločama može se izraziti u smislu jakosti polja između njegovih ploča:

,

Gdje
- volumen prostora koji zauzima polje, S– površina obloga, d– udaljenost između njih. Ispada da se električna energija proizvoljnog sustava nabijenih vodiča i dielektrika može izraziti kroz napetost:

, (5)

,

a integracija se provodi po cijelom prostoru koji zauzima polje (pretpostavlja se da je dielektrik izotropan i
). Veličina w predstavlja električnu energiju po jedinici volumena. Oblik formule (5) daje razlog za pretpostavku da električna energija nije sadržana u međudjelovanju naboja, već u prostoru koji ispunjava njihovo električno polje. U okviru elektrostatike ovu pretpostavku nije moguće eksperimentalno potvrditi niti teorijski potkrijepiti, ali razmatranje izmjeničnog električnog i magnetskog polja omogućuje provjeru ispravnosti interpretacije ovog polja formule (5).

Sile međudjelovanja između električnih naboja su konzervativne, stoga sustav električnih naboja ima potencijalnu energiju.

Neka su dana dva stacionarna točkasta naboja q 1 i q 2 koji se nalaze na udaljenosti r jedni od drugih. Svaki naboj u polju drugog naboja ima potencijalnu energiju

; , (4.1)

gdje su j 1.2 i j 2.1 potencijali stvoreni nabojem q 2 u točki gdje se nalazi naboj q 1 i nabojem q 1 u točki gdje se nalazi naboj q 2.

, A . (4.3)

Stoga,

. (4.4)

Kako bi oba naboja simetrično ušla u energetsku jednadžbu sustava, izraz (4.4) se može napisati u obliku

. (4.5)

Dodavanjem uzastopnih naboja q 3 , q 4 itd. sustavu naboja može se potvrditi da je u slučaju N naboja potencijalna energija sustava

, (4.6)

gdje je j i potencijal stvoren u točki gdje se nalazi q i od strane svih naboja osim i -tog.

Uz kontinuiranu raspodjelu naboja u elementarnom volumenu dV postoji naboj dq = r×dV. Da bismo odredili energiju interakcije naboja dq, možemo primijeniti formulu (4.6), prelazeći u njoj od zbroja do integrala:

, (4.7)

gdje je j potencijal u točki elementa volumena dV.

Treba napomenuti da postoji temeljna razlika između formula (4.6) i (4.7). Formula (4.6) uzima u obzir samo energiju međudjelovanja između točkastih naboja, ali ne uzima u obzir energiju međudjelovanja elemenata naboja svakog od točkastih naboja međusobno (vlastitu energiju točkastog naboja). Formula (4.7) uzima u obzir i energiju interakcije između točkastih naboja i vlastitu energiju tih naboja. Pri izračunavanju energije interakcije točkastih naboja ona se svodi na integrale po volumenu V i točkastih naboja:

, (4.8)

gdje je j i potencijal u bilo kojoj točki volumena i-tog točkastog naboja;

j i = j i ¢ + j i s, (4.9)

gdje je j i ¢ potencijal koji stvaraju drugi točkasti naboji u istoj točki;

j i s – potencijal koji stvaraju dijelovi i-tog točkastog naboja u danoj točki.

Budući da se točkasti naboji mogu prikazati kao sferno simetrični, onda

(4.10)

gdje je W ¢ određeno formulom (4.6).

Vrijednost vlastite energije naboja ovisi o zakonima raspodjele naboja i o veličini naboja. Na primjer, s jednolikom sfernom raspodjelom naboja površinske gustoće s

.

Stoga,

. (4.11)

Iz formule (4.11) jasno je da je pri R®0 vrijednost W s ®¥. To znači da je vlastita energija točkastog naboja jednaka beskonačnosti. To dovodi do ozbiljnih nedostataka koncepta "točkastog naboja".

Dakle, formula (4.6) se može koristiti za analizu međudjelovanja točkastih naboja, budući da ne sadrži njihovu vlastitu energiju. Formula (4.7) za kontinuiranu raspodjelu naboja uzima u obzir cjelokupnu energiju interakcije, pa je stoga općenitija.

U prisutnosti površinskih naboja, oblik formule (4.7) se donekle mijenja. Integrand ove formule jednak je i ima značenje potencijalne energije koju ima element naboja dq kada se nalazi u točki s potencijalom j. Ova potencijalna energija je neovisna o tome je li dq element prostornog naboja ili element površinskog naboja. Stoga je za raspodjelu površine dq = s×dS. Prema tome, za energiju polja površinskih naboja

Princip superpozicije.

Ako se električno polje koje stvara nekoliko nabijenih tijela proučava pomoću probnog naboja, tada se ispostavlja da je rezultirajuća sila jednaka geometrijskom zbroju sila koje djeluju na probni naboj iz svakog nabijenog tijela zasebno. Posljedično, jakost električnog polja stvorena sustavom naboja u danoj točki u prostoru jednaka je vektorskom zbroju jakosti električnog polja stvorenog u istoj točki odvojeno od naboja:

Ovo svojstvo električnog polja znači da se polje pokorava princip superpozicije. U skladu s Coulombovim zakonom, jakost elektrostatskog polja stvorenog točkastim nabojem Q na udaljenosti r od njega jednaka je po veličini:

Ovo polje se naziva Kulonovo polje. U Coulombovom polju smjer vektora intenziteta ovisi o predznaku naboja Q: ako je Q veći od 0, tada je vektor intenziteta usmjeren od naboja, ako je Q manji od 0, tada je vektor intenziteta usmjeren prema naboju. Veličina napetosti ovisi o veličini naboja, okolini u kojoj se naboj nalazi, a smanjuje se s povećanjem udaljenosti.

Jakost električnog polja koju stvara nabijena ravnina blizu svoje površine:

Dakle, ako problem zahtijeva određivanje jakosti polja sustava naboja, tada moramo nastaviti prema sljedećem algoritmu:

1. Nacrtaj sliku.

2. Nacrtajte jakost polja svakog naboja posebno u željenoj točki. Upamtite da je napetost usmjerena prema negativnom naboju, a od pozitivnog naboja.

3. Izračunajte svaku od napetosti pomoću odgovarajuće formule.

4. Zbrojite vektore naprezanja geometrijski (tj. vektorski).

Potencijalna energija međudjelovanja naboja.

Električni naboji djeluju međusobno i s električnim poljem. Svaka interakcija opisuje se potencijalnom energijom. Potencijalna energija međudjelovanja dva točkasta električna naboja izračunava se formulom:

Imajte na umu da naknade nemaju module. Za razliku od naboja, energija interakcije ima negativnu vrijednost. Ista formula vrijedi i za energiju međudjelovanja jednoliko nabijenih kuglica i kuglica. Kao i obično, u ovom slučaju se udaljenost r mjeri između središta kuglica ili sfera. Ako nema dva, već više naboja, tada energiju njihove interakcije treba izračunati na sljedeći način: podijeliti sustav naboja na sve moguće parove, izračunati energiju interakcije svakog para i zbrojiti sve energije za sve parove.

Zadaci iz ove teme rješavaju se kao i zadaci o zakonu održanja mehaničke energije: prvo se pronađe početna energija međudjelovanja, a zatim konačna. Ako se u zadatku traži da nađete rad učinjen za pomicanje naboja, tada će on biti jednak razlici između početne i konačne ukupne energije međudjelovanja naboja. Energija interakcije također se može pretvoriti u kinetičku energiju ili druge vrste energije. Ako su tijela na vrlo velikoj udaljenosti, tada se energija njihove interakcije uzima jednakom 0.

Imajte na umu: ako problem zahtijeva pronalaženje minimalne ili maksimalne udaljenosti između tijela (čestica) pri kretanju, tada će ovaj uvjet biti ispunjen u trenutku kada se čestice kreću u jednom smjeru istom brzinom. Stoga rješenje mora započeti zapisivanjem zakona održanja količine gibanja, iz kojeg se nalazi ta identična brzina. A onda bismo trebali napisati zakon održanja energije, uzimajući u obzir kinetičku energiju čestica u drugom slučaju.

Kada se naboj ukloni u beskonačnost

r2 = ∞ U=U2 = 0,

potencijalna energija naboja q2,

naboj koji se nalazi u polju q1

na daljinu r

17. Potencijal. Potencijal polja točkastog naboja.

Potencijalna energija naboja q u polju n naknade qi

Stav U/q ne ovisi o visini naknade q i je energetske karakteristike elektrostatičko polje, tzv potencijal.

Potencijal u točki u elektrostatskom polju je fizikalna veličina numerički jednaka potencijalnoj energiji jednog pozitivnog naboja smještenog u tu točku. Ovo je skalarna veličina.

U SI φ mjereno u voltima [V = J/C]

1 V je potencijal točke u polju u kojoj naboj od 1 C ima energiju od 1 J.

E - [N/C = N m/C m = (J/C) (1/m) = V/m].

Potencijal polja točkastog naboja

Potencijal je prikladnija fizikalna veličina u usporedbi s napetosti E

Potencijalna energija naboja u polju sustava naboja. Princip superpozicije za potencijale.

Sustav punjenja bodova: q1,q2, …qn.

Udaljenost od svakog naboja do određene točke u prostoru: r1,r2, …rn.

Radovi obavljeni na naplati q električno polje preostalih naboja kada se kreće od jedne točke do druge, jednako je algebarskom zbroju rada koji uzrokuje svaki od naboja zasebno

ri 1 – udaljenost od naboja qi na početni položaj punjenja q,

ri 2 – udaljenost od naboja qi do konačnog položaja punjenja q.

ri 2 → ∞

Potencijalna razlika. Ekvipotencijalne površine

Prilikom pomicanja naboja q 0+ u elektrostatičkom polju od točke 1 do točke 2

r2 = ∞ → U 2 = U∞ = 0

Potencijal– fizikalna veličina određena radom premještanja jediničnog pozitivnog naboja iz dane točke u beskonačnost.

Kada se govori o potencijalu, misli se na razliku potencijala ∆ φ između dotične točke i točke, potencijal φ koji se uzima kao 0.

Potencijal φ nema nikakvo fizičko značenje u danoj točki, jer je nemoguće odrediti rad u danoj točki.

Ekvipotencijalne površine (površine jednakog potencijala)

1) potencijal u svim točkama φ ima isto značenje

2) vektor jakosti električnog polja E uvijek normalno na ekvipotencijalne površine,

3) ∆φ između bilo koje dvije ekvipotencijalne površine je isti

– Za bodovnu naknadu

φ = konst.

r = konst.

Za uniformno polje, ekvipotencijalne površine su paralelne linije.

Rad učinjen za pomicanje naboja duž ekvipotencijalne površine jednak je nuli.

jer φ 1 = φ 2.

20. Veza vektora napetosti E i potencijalne razlike.

Rad na pomicanju naboja u električnom polju:

Potencijalna energija električnog polja ovisi o koordinatama x, g, z i funkcija je U(x,y,z).

Prilikom premještanja punjenja:

(x+dx), (y+dy), (z+dz).

Promjena i potencijalna energija:

Od (1)

Nabla operator (Hamiltonov operator).