Ikkilik munosabatlar. Ikkilik munosabatlarga misollar

Ta'rif. Ikkilik munosabat R juftlik kichik to'plami deb ataladi (a, b) ∈R Dekart mahsuloti A × B, ya'ni R⊆A × B. Bundan tashqari, to'plam A R munosabatni aniqlash sohasi, B to'plami - qiymatlar sohasi deyiladi.

Belgilash: aRb (ya'ni a va b R ga nisbatan). /

Izoh: agar A = B bo'lsa, u holda R A to'plamdagi munosabat deyiladi.

Ikkilik munosabatlarni belgilash usullari

1. Ushbu munosabat bajariladigan ro'yxat (juftlarni sanab o'tish).

2. Matritsa. Ikkilik munosabat R ∈ A × A, bu erda A = (a 1, a 2, ..., an) n tartibli kvadrat matritsaga mos keladi, bunda c ij elementi i-qatorning kesishmasida joylashgan. va j-ustun, agar ai va aj o'rtasida R munosabati mavjud bo'lsa, 1 ga, agar u mavjud bo'lmasa, 0 ga teng:

Munosabatlar xususiyatlari

A, R ∈ A × A to‘plamdagi R munosabati bo‘lsin. Keyin R nisbati:

refleksiv agar Ɐ a ∈ A bo'lsa: a R a (refleksiv munosabat matritsasining asosiy diagonali faqat bittasini o'z ichiga oladi);

antirefleksiv, agar Ɐ a ∈ A bo'lsa: a R a (refleksiv munosabat matritsasining asosiy diagonali faqat nollarni o'z ichiga oladi);

simmetrik agar Ɐ a, b ∈ A: a R b ⇒ b R a (bunday munosabat matritsasi bosh diagonalga nisbatan simmetrik, ya’ni c ij c ji);

antisimmetrik, agar Ɐ a, b ∈ A bo'lsa: a R b & b R a ⇒ a = b (bunday munosabat matritsasi asosiy diagonalga nisbatan simmetrik bo'lgan birliklarni o'z ichiga olmaydi);

tranzitiv tarzda, agar Ɐ a, b, c ∈ A: a R b & b R c ⇒ a R c chiziqlar, ya'ni ij = 1 bo'lsa, j-qatordagi barcha birliklar (bu birliklar k-koordinatalarga mos kelsin) ya'ni, c jk = 1) bir xil k-koordinatalardagi i-qatordagi birliklarga mos kelishi kerak, ya'ni c ik = 1 (va, ehtimol, boshqa koordinatalarda ham).

Vazifa 3.1. Natural sonlar to'plamida aniqlangan R - "bo'luvchi bo'lish" munosabatining xossalarini aniqlang.

Yechim.

nisbat R = ((a, b): a bo'luvchi b):

aks ettiruvchi emas, aks ettiruvchi emas, chunki har qanday son o'zini qoldiqsiz ajratadi: barcha a∈N uchun a / a = 1;

simmetrik emas, antisimmetrik, masalan, 2 4 ning bo'luvchisi, lekin 4 2 ning bo'luvchisi emas;

tranzitiv, chunki agar b / a ∈ N va c / b ∈ N bo'lsa, u holda c / a = b / a ⋅ c / b ∈ N, masalan, 6/3 = 2∈N va 18/6 = 3∈N bo'lsa. , keyin 18/3 = 18 / 6⋅6 / 3 = 6∈N.

Vazifa 3.2. Odamlar to'plamiga berilgan R - "birodar bo'lish" munosabatlarining xususiyatlarini aniqlang.
Yechim.

Nisbatan R = ((a, b): a - akasi b):

barcha a uchun aRa ning aniq yo'qligi sababli aks ettirmaydigan, aks ettiruvchi;

nosimmetrik emas, chunki umumiy holatda a va opa b o'rtasida aRb mavjud, lekin bRa emas;

antisimmetrik emas, chunki a va b aka-uka bo'lsa, aRb va bRa, lekin a ≠ b;

tranzit tarzda, umumiy ota-onasi (otasi va onasi) bo'lgan odamlarni aka-uka desak.

3.3-topshiriq. Tuzilish elementlari to'plamida berilgan R - "boshliq bo'lish" munosabatlarining xususiyatlarini aniqlang

Yechim.

Nisbatan R = ((a, b): a - boss b):

aks ettiruvchi emas, aks ettirishga qarshi, agar ma'lum bir talqinda mantiqiy bo'lmasa;
simmetrik emas, antisimmetrik, chunki hamma uchun a ≠ b, aRb va bRa bir vaqtning o'zida ushlab turmaydi;
tranzitiv, chunki agar a b ning boshi va b c ning boshi bo'lsa, u holda a c ning boshidir.

M i to‘plamda aniqlangan R i munosabatning xossalarini matritsa orqali aniqlang, agar:

R 1 "5 ga bo'linganda bir xil qoldiqga ega"; M 1 - natural sonlar to'plami.
R 2 "teng bo'lish"; M 2 - natural sonlar to'plami.
R 3 "bir shaharda yashash"; M 3 ko'p odamlar.
R 4 "tanish bo'lish"; M 4 ko'p odamlar.
R 5 ((a, b) :( a-b) - juft; M 5 - sonlar to'plami (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
R 6 ((a, b) :( a + b) - juft; M 6 - sonlar to'plami (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
R 7 ((a, b): (a + 1) - bo'luvchi (a + b)); M 7 - to'plam (1,2,3,4,5,6,7,8,9).
R 8 ((a, b): a - bo'luvchi (a + b), a ≠ 1); M 8 - natural sonlar to'plami.
R 9 "singil bo'lish"; M 9 - juda ko'p odamlar.
R 10 "qizi bo'lish"; M 10 - ko'p odamlar.

Ikkilik munosabatlardagi amallar

R 1, R 1 A to‘plamda aniqlangan munosabatlar bo‘lsin.

uyushma R 1 ∪ R 2: R 1 ∪ R 2 = ((a, b): (a, b) ∈ R 1 yoki (a, b) ∈ R 2);

kesib o'tish R 1 ∩ R 2: R 1 ∩ R 2 = ((a, b): (a, b) ∈ R 1 va (a, b) ∈ R 2);

farq R 1 \ R 2: R 1 \ R 2 = ((a, b): (a, b) ∈ R 1 va (a, b) ∉ R 2);

universal munosabat U: = ((a; b) / a ∈ A & b ∈ A). ;

qo'shimcha R 1 U \ R 1, bu erda U = A × A;

shaxs munosabati I: = ((a; a) / a ∈ A);

teskari munosabat R -1 1 : R -1 1 = ((a, b): (b, a) ∈ R 1);

tarkibi R 1 º R 2: R 1 º R 2: = ((a, b) / a ∈ A & b ∈ B & ∃ c ∈ C: aR 1 c & c R 2 b), bu erda R 1 ⊂ A × C va R 2 ⊂ C × B;

Ta'rif. Aloqa darajasi A to'plamdagi R uning o'zi bilan tarkibi deyiladi.

Belgilash:

Ta'rif... Agar R ⊂ A × B bo'lsa, u holda R º R -1 deyiladi R munosabatining yadrosi .

3.1 teorema. R ⊂ A × A A to'plamda aniqlangan munosabat bo'lsin.

I ⊂ R bo‘lganda (keyingi o‘rinda ⇔ belgisi qo‘llanilsa) R refleksiv hisoblanadi.
R simmetrik ⇔ R = R -1.
R o'tishli ⇔ R º R ⊂ R
R antisimmetrik ⇔ R ⌒ R -1 ⊂ I.
R antirefleksli ⇔ R ⌒ I = ∅.

3.4-topshiriq ... Juftlarni sanab o‘tish orqali berilgan (1,2,3) va (1,2,3,4) to‘plamlar orasidagi munosabat R bo‘lsin: R = ((1,1), (2,3), (2,4) , (3.1), (3.4)). Bundan tashqari, S - to'plamlar orasidagi bog'liqlik S = ((1,1), (1,2), (2,1), (3,1), (4,2)). R -1, S -1 va S º R ni hisoblang. (S º R) -1 = R -1, S -1 ekanligini tekshiring.

Yechim.
R -1 = ((1.1), (1.3), (3.2), (4.2), (4.3));
S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,4));
S º R = ((1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2));
(S º R) -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3));
R -1 º S -1 = ((1,1), (1,2), (1,3), (2, 1), (2,2), (2,3)) = (S º R ) - bitta.

3.5-topshiriq ... Barcha odamlar to'plamidagi R "... ota-ona ..." munosabati, S esa "... birodar ..." munosabati bo'lsin. O'zaro munosabatlarning qisqacha og'zaki tavsifini bering:

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1 va R º R.

Yechim.

R -1 - munosabat "... bola ...";

S -1 - munosabat "... birodar yoki opa-singil ...";

R º S - "... ota-ona ..." munosabati;

S -1 º R -1 - munosabat "... bola ..."

R º R - munosabat "... buvisi yoki bobosi ..."

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar

1) Barcha odamlar to'plamidagi R "... otasi ..." munosabati va S - "... opa ..." munosabati bo'lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, R º R.

2) Barcha odamlar to'plamidagi R "... birodar ..." munosabati va S - "... ona ..." munosabati bo'lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, S º S.

3) R - "... bobo ..." munosabati, S - barcha odamlar to'plamidagi "... o'g'il ..." munosabati bo'lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

4) Barcha odamlar to'plamidagi R "... qizi ...", S - "... buvi ..." munosabati bo'lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

5) R - "... jiyan ..." munosabati, S - barcha odamlar to'plamidagi "... ota ..." munosabati bo'lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, R º R.

6) Barcha odamlar to'plamidagi R "singil ..." munosabati va S - "ona ..." munosabati bo'lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, S º S.

7) R - "... ona ..." munosabati va S - barcha odamlar to'plamidagi "... opa ..." munosabati bo'lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1, S1, R º S, S1 º R1, S º S.

8) Barcha odamlar to‘plamidagi R "... o‘g‘il ...", S esa "... bobo ..." munosabati bo‘lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, R º R.

9) R - "... opa ..." munosabati, S - barcha odamlar to'plamidagi "... ota ..." munosabati bo'lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1, S -1, R º S, S -1 º R -1, S º S.

10) R - "... ona ..." munosabati, S - barcha odamlar to'plamidagi "... birodar ..." munosabati bo'lsin. O'zaro munosabatlarning og'zaki tavsifini bering:

R -1, S -1, S º R, R -1 º S -1, R º R.

1. Reflektorlik:

2. Zaif reflekslilik:

3. Kuchli reflektorlik:

4. Reflektsiyaga qarshi:

5. Zaif antireflektorlik:

6. Kuchli aks ettirishga qarshi:

7. Simmetriya:

8. Antisimmetriya:

9. Asimmetriya:

10. Kuchli chiziqlilik:

11. Zaif chiziqlilik:

12. Tranzitivlik:

Reflektorlik, ikkilik xususiyati (ikki o'rinli, ikki muddatli) munosabatlar, bir-biriga mos keladigan a'zolarga ega bo'lgan juftlik ob'ektlari uchun ularning maqsadga muvofiqligini ifodalash (bunday qilib aytganda, ob'ekt va uning "oyna tasviri" o'rtasidagi): munosabat R har qanday ob'ekt uchun refleksiv deyiladi X uning ta'rifi doirasidan, xRx. Refleksiv munosabatlarning tipik va eng muhim misollari: turdagi munosabatlar tenglik (o'xshashlik, tenglik, o'xshashlik). va shunga o'xshashlar: har qanday ob'ekt o'ziga teng) va bo'sh tartibli munosabatlar (har qanday ob'ekt o'zidan kam va ko'p emas). "Tenglik" (ekvivalentlik, o'xshashlik va boshqalar) haqidagi intuitiv tushunchalar, shubhasiz, unga xossalar beradi. simmetriya va tranzitivlik, R.ning mulki ham "majbur qiladi", chunki oxirgi xususiyat birinchi ikkitadan kelib chiqadi. Shuning uchun, matematikada qo'llaniladigan, ta'rifiga ko'ra, ega bo'lmagan ko'plab munosabatlar tabiiy ravishda shunday qayta belgilanadiki, ular refleksga aylanadi, masalan, har bir to'g'ri chiziq yoki tekislik o'ziga parallel deb taxmin qilish va hokazo.

1-bob. To‘plamlar nazariyasi elementlari

1.1 to'plamlar

Matematikada qo'llaniladigan eng oddiy ma'lumotlar strukturasi alohida ajratilgan ma'lumotlar o'rtasida aloqalar mavjud bo'lmaganda yuzaga keladi. Bunday ma'lumotlarning yig'indisi bir guruh... To‘plam tushunchasi aniqlanmagan tushunchadir. To'plam ichki tuzilishga ega emas. To'plamni qandaydir umumiy xususiyatga ega bo'lgan elementlar to'plami deb hisoblash mumkin. Muayyan elementlar to'plamini to'plam deb atash uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

Belgilangan a'zo ma'lum bir populyatsiyaga tegishli yoki yo'qligini aniqlash uchun qoida mavjud bo'lishi kerak.

Elementlarni bir-biridan farqlash uchun qoida bo'lishi kerak. (Bu, xususan, to'plam ikkitadan iborat bo'lmasligini anglatadi xuddi shu elementlar).

To'plamlar odatda katta lotin harflarida ko'rsatiladi. Agar element

to'plamga tegishli bo'lsa, u quyidagicha belgilanadi:

Agar to'plamning har bir elementi

to'plamning elementi ham bo'lsa, unda ular to'plam ekanligini aytadilar pastki to'plam to'plamlar:

Kichik toʻplam

to'plam deyiladi o'zining kichik to'plami, agar

To'plam tushunchasidan foydalanib, siz murakkabroq va mazmunli ob'ektlarni qurishingiz mumkin.

1.2 Operatsiyalarni sozlash

To'plamlardagi asosiy operatsiyalar quyidagilardir uyushma, kesib o'tish va farq.

Ta'rif 1. Mustahkamlash

Ta'rif 2. Kesib o'tish ikkita to'plam yangi to'plam deb ataladi

Ta'rif 3. Farq ikkita to'plam yangi to'plam deb ataladi

Agar turli to'plamlar aniqlangan ob'ektlar sinfi belgilansa

(Universum), keyin to'ldiruvchi to'plamlar ayirma tartibli n-ku deyiladi, deyiladi kuch munosabatlari .

Izoh. Aloqa tushunchasi nafaqat matematik nuqtai nazardan juda muhimdir. Aloqa tushunchasi aslida barcha relyatsion ma'lumotlar bazasi nazariyasining markazida. Quyida ko'rsatilgandek, munosabatlar matematik tengdir jadvallar... Birinchi marta Codd tomonidan kiritilgan "relational ma'lumotlarni taqdim etish" atamasi ushbu atamadan kelib chiqqan munosabat, bu ta'rifning ma'nosida aniq tushuniladi.

Har qanday to'plamni 1-darajali Dekart mahsuloti sifatida ko'rib chiqish mumkin bo'lganligi sababli, har qanday kichik to'plamni, har qanday to'plam kabi, 1-darajali munosabatlar deb hisoblash mumkin. Bu juda qiziq misol emas, bu faqat "1-darajali munosabatlar" atamalarining guvohlik beradi. " va "kichik to'plam " sinonimdir. Munosabatlar kontseptsiyasining ahamiyatsizligi munosabatlar darajasi 1 dan katta bo'lganda namoyon bo'ladi. Bu erda ikkita asosiy nuqta bor:

Birinchidan, munosabatlarning barcha elementlari bir xil turdagi kortejlar. Tuplarning bir xilligi ularni oddiy jadvaldagi satrlarga o'xshash deb hisoblash imkonini beradi, ya'ni. jadvaldagi barcha qatorlar bir xil sonli kataklardan iborat bo'lib, tegishli katakchalarda bir xil ma'lumotlar turlari mavjud. Masalan, quyidagi uchta kortejdan tashkil topgan munosabat ((1, "Ivanov", 1000), (2, "Petrov", 2000), (3, "Sidorov", 3000)) haqidagi ma'lumotlarni o'z ichiga olgan jadval deb hisoblanishi mumkin. xodimlar va ularning ish haqi. Bunday jadval uchta satr va uchta ustundan iborat bo'ladi va har bir ustun bir xil turdagi ma'lumotlarni o'z ichiga oladi.

Bundan farqli ravishda, ((1), (1,2), (1, 2,3)) dan iborat toʻplamni koʻrib chiqing. xilma-xil raqamli kortejlar. Bu to'plam hech qanday munosabat emas

, na ichida, na ichida. Ushbu to'plamga kiritilgan kortejlardan oddiy jadval yaratish mumkin emas. To'g'ri, bu to'plamni barcha mumkin bo'lgan darajalarning barcha mumkin bo'lgan raqamli kortejlari to'plamiga 1 darajali munosabat deb hisoblash mumkin.

Diskret matematikaning asoslari.

To'plam tushunchasi. To'plamlar orasidagi munosabat.

To'plam - ma'lum bir xususiyatga ega bo'lgan, bir butunga birlashtirilgan ob'ektlar to'plami.

To'plamni tashkil etuvchi ob'ektlar deyiladi elementlar to'plamlar. Muayyan ob'ektlar to'plamini to'plam deb atash uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

· Elementning berilgan populyatsiyaga tegishli ekanligini aniqlash mumkin bo'lgan qoida bo'lishi kerak.

· Elementlarni bir-biridan ajratish mumkin bo'lgan qoida bo'lishi kerak.

To'plamlar bosh harflar bilan, uning elementlari esa kichik harflar bilan ko'rsatilgan. To'plamlarni belgilash usullari:

· To'plam elementlarini sanab o'tish. - chekli to'plamlar uchun.

Xarakterli xususiyatning spetsifikatsiyasi .

Bo'sh to'plam- hech qanday elementni (Ø) o'z ichiga olmaydigan to'plam deyiladi.

Ikki to'plam bir xil elementlardan iborat bo'lsa, ular teng deyiladi. , A = B

Bir guruh B to‘plamning kichik to‘plami deyiladi A(, agar va faqat to'plamning barcha elementlari bo'lsa B to'plamga tegishli A.

Masalan: , B =>

Mulk:

Eslatma: odatda deyiladi bir xil e to'plamning kichik to'plamini ko'rib chiqing universal(u). Universal to'plam barcha elementlarni o'z ichiga oladi.

To'plamlarda operatsiyalar.

1. Mustahkamlash 2 to'plam A va B to'plamlari A yoki B to'plamning elementlari (to'plamlardan kamida bittasining elementlari) tegishli bo'lgan to'plamdir.

2.Kesib o'tish 2 to'plam bir vaqtning o'zida birinchi va ikkinchi to'plamlarga tegishli bo'lgan elementlardan tashkil topgan yangi to'plam deb ataladi.

Nr:,,

Mulk: birlashma va kesishish operatsiyalari.

· Kommutativlik.

· Assotsiativlik. ;

· Distributiv. ;

4.Qo'shish... Agar A Umumjahon to'plamning kichik to'plamidir U, keyin to‘plamning to‘ldiruvchisi A ko'pchilikka U(belgilangan) to‘plamning o‘sha elementlaridan tashkil topgan to‘plam deyiladi U to'plamga tegishli emas A.

Binar munosabatlar va ularning xossalari.

Mayli A va V bu hosila tabiatli to'plamlar, tartiblangan juft elementlarni ko'rib chiqing (a, c) a s A, b s B buyurtma qilingan "enki" deb hisoblash mumkin.

(a 1, a 2, a 3, ... a n), qayerda a 1 s A 1; a 2 s A 2; ...; a n s A n;

To'plamlarning dekart (to'g'ridan-to'g'ri) mahsuloti A 1, A 2, ..., A n, ko'rinishdagi tartiblangan n k dan iborat bo'lgan sonlar ko'pligi deyiladi.

№: M= {1,2,3}

M × M = M 2= {(1,1);(1,2);(1,3); (2,1);(2,2);(2,3); (3,1);(3,2);(3,3)}.

Dekart mahsulotining kichik to'plamlari daraja nisbati deyiladi n yoki o'zaro munosabatlar. Agar n= 2, keyin o'ylab ko'ring ikkilik munosabat. Bunga nima deyishadi a 1, a 2 ikkilik munosabatda R, qachon a 1 R a 2.

To'plamdagi ikkilik munosabat M to'plamning to'g'ridan-to'g'ri mahsulotining kichik to'plami deyiladi n o'zingiz.

M × M = M 2= {(a, b)| a, b s M) oldingi misolda nisbat to'plamda kichikroq M quyidagi to‘plamni hosil qiladi: ((1,2); (1,3); (2,3))

Ikkilik munosabatlar turli xil xususiyatlarga ega, jumladan:

Reflektorlik: .

· Refleksga qarshi (refleksivlik):.

· Simmetriya:.

· Antisimmetriya:.

· Tranzitivlik:.

· Asimmetriya:.

Munosabatlar turlari.

· Ekvivalentlik nisbati;

· Tartibga munosabat.

v Refleksiv o'tish munosabati kvazitartibli munosabat deyiladi.

v Refleksiv simmetrik tranzitiv munosabat ekvivalentlik munosabati deyiladi.

v Refleksiv antisimmetrik o'tish munosabati (qisman) tartib munosabati deyiladi.

v Antirefleksiv antisimmetrik o'tish munosabati qat'iy tartibli munosabat deyiladi.

Ikkilik munosabatlar.

A va B ixtiyoriy to'plamlar bo'lsin. Har bir to'plamdan bitta elementni, A dan a, B dan b oling va ularni quyidagicha yozing: (avval birinchi to'plamning elementi, keyin ikkinchi to'plamning elementi - ya'ni elementlarni olish tartibi biz uchun muhim). Bunday ob'ekt chaqiriladi buyurtma qilingan juftlik. Teng biz faqat bir xil raqamlarga ega bo'lgan elementlar teng bo'lgan juftlarni hisoblaymiz. = a = c va b = d bo'lsa. Shubhasiz, agar a ≠ b bo'lsa, u holda ≠ .

Dekart mahsuloti ixtiyoriy A va B to'plamlar (belgilangan: AB) birinchi elementi A ga, ikkinchisi esa B ga tegishli bo'lgan barcha mumkin bo'lgan tartiblangan juftlardan iborat to'plam deb ataladi. Ta'rifi bo'yicha: AB = ( | aA va bB). Shubhasiz, agar A ≠ B bo'lsa, u holda AB ≠ BA bo'ladi. A to'plamning o'z-o'zidan n marta kartezian ko'paytmasi deyiladi Dekart darajasi A (belgilangan: A n).

5-misol. A = (x, y) va B = (1, 2, 3) bo'lsin.

AB = ( , , , , , }.

BA = (<1, x>, <2, x>, <3, x>, <1, y>, <2, y>, <3, y>}.

AA = A 2 = ( , , , }.

BB = B 2 = (<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}.

Ikkilik munosabat M to'plamda M to'plamning ba'zi tartiblangan juft elementlari to'plamini tushunamiz. Agar r ikkilik munosabat va juftlik bo'lsa. bu munosabatga tegishli bo'lsa, ular shunday yozadilar: r yoki x r y. Shubhasiz, r Í M 2.

Misol 6. To'plam (<1, 2>, <2, 2>, <3, 4>, <5, 2>, <2, 4>) toʻplamdagi ikkilik munosabatdir (1, 2, 3, 4, 5).

7-misol. Butun sonlar to'plamidagi ³ munosabati ikkilik munosabatdir. Bu shaklning cheksiz miqdordagi tartiblangan juftliklari , bu yerda x ³ y, x va y butun sonlar. Bu munosabat, masalan, juftlarni o'z ichiga oladi<5, 3>, <2, 2>, <324, -23>va juftlikka tegishli emas<5, 7>, <-3, 2>.

8-misol. A to’plamdagi tenglik munosabati ikkilik munosabatdir: I A = ( | x Î A). I A deb ataladi diagonal to'plam A.

Ikkilik munosabatlar to'plam bo'lgani uchun ularga birlashma, kesishish, to'ldiruvchi va ayirma amallari qo'llaniladi.

Qo'llanish doirasi ikkilik munosabatning r to'plami D (r) = (x | xry bo'ladigan y mavjud) deyiladi. Qiymatlar diapazoni ikkilik munosabatning r to'plami R (r) = (y | xry bo'ladigan x mavjud) deyiladi.

munosabat, teskari ikkilik munosabatga r Í M 2 ikkilik munosabat deyiladi r -1 = ( | Î r). Shubhasiz, D (r ‑1) = R (r), R (r ‑1) = D (r), r - 1 Í M 2.

Tarkibi M to‘plamda berilgan r 1 va r 2 ikkilik munosabatlar r 2 o r 1 = ( binar munosabat deyiladi. | shunday y bor Î r 1 va Í r 2). Shubhasiz, r 2 o r 1 Í M 2.

9-misol. M = (a, b, c, d), r = ( to'plamda r ikkilik munosabat aniqlansin. , , , ). Keyin D (r) = (a, c), R (r) = (b, c, d), r ‑1 = ( , , , ), r o r = ( , , , ), r ‑1 o r = ( , , , ), r o r ‑1 = ( , , , , , , }.

M to‘plamdagi r ikkilik munosabat bo‘lsin. Munosabat r deyiladi aks ettiruvchi har qanday x Î M uchun x r x bo'lsa. r munosabati deyiladi simmetrik har bir juftlik bilan birga bo'lsa u ham juftlikni o'z ichiga oladi ... r nisbati deyiladi o'tish davri agar x r y va y r z ekanligidan x r z kelib chiqadi. r nisbati deyiladi antisimmetrik agar u bir vaqtning o'zida juftlikni o'z ichiga olmasa va M to‘plamning x ¹ y turli elementlari.

Keling, ushbu xususiyatlarni bajarish mezonlarini ko'rsatamiz.

M to‘plamdagi r ikkilik munosabat, agar I M Í r bo‘lsagina refleksli hisoblanadi.

Ikkilik munosabat r simmetrik bo'ladi, agar r = r ‑1 bo'lsa.

M to‘plamdagi ikkilik r munosabati antisimmetrik bo‘ladi, agar r Ç r ‑1 = I M bo‘lsa.

Ikkilik munosabat r o'tishli bo'ladi, agar r o r Í r bo'lsa.

10-misol. 6-misoldagi munosabat antisimmetrik, lekin simmetrik, refleksiv va tranzitiv emas. 7-misoldagi munosabat refleksiv, antisimmetrik va tranzitivdir, lekin simmetrik emas. I A munosabati ko'rib chiqilayotgan barcha to'rtta xususiyatga ega. r ‑1 o r va r o r ‑1 munosabatlari simmetrik, tranzitiv, lekin antisimmetrik va refleksiv emas.

Munosabat ekvivalentlik M to'plamdagi M ikkilik munosabatda o'tish, simmetrik va refleksiv deyiladi.

Munosabat qisman buyurtma M to'plamda M ikkilik munosabat r bo'yicha o'tish, antisimmetrik va refleksiv deyiladi.

11-misol. 7-misoldagi munosabat qisman tartibli munosabatdir. I A munosabati ekvivalentlik va qisman tartiblash munosabatidir. Chiziqlar to'plamidagi parallellik munosabati ekvivalentlik munosabatidir.

“Munosabat” tushunchasining o‘zi, albatta, sizga tanish. Biz uni nutqda tez-tez ishlatamiz. Masalan, guruhimdagi barcha talabalar bilan yaxshi munosabatdaman, deyishimiz mumkin.

Hayotda biz doimo turli xil munosabatlarda bo'lamiz va turli munosabatlarga kirishamiz. Oilamiz a'zolari bilan qarindoshlik, sinfdoshlar bilan - do'stlik nuqtai nazaridan, biz o'qiyotgan yoki ishlayotgan muassasa rahbarlari bilan - bo'ysunish nuqtai nazaridan va hokazo. Shu ma'noda munosabat bog'lanishning ma'lum bir belgisidir.

2.2-bo'limda biz matematik ob'ektlar o'rtasida mavjud bo'lgan munosabatlar haqida gapirdik. Demak, to‘plamga nisbatan element mansublik munosabatida bo‘ladi, ikkita to‘plam qo‘shish yoki tenglik munosabatida bo‘lishi mumkin.

Endi biz to'plamlar elementlari o'rtasida mavjud bo'lishi mumkin bo'lgan munosabatlarni ko'rib chiqamiz. Shunday qilib, biz ko'rib chiqilayotgan misoldagi to'plamlar elementlari o'rtasida o'rnatilgan munosabatlar ikkilik deyiladi, dedik.

Aslini olganda, misolda biz birinchi navbatda berilgan to'plamlarning Dekart mahsulotini tuzdik, ya'ni. bu to'plamlarning barcha juft elementlar to'plami, shuning uchun juftlikning birinchi elementi birinchi to'plamga, ikkinchisi esa ikkinchisiga tegishli. Keyin, bu juftliklar to‘plamidan har bir talaba qaysi fakultetda tahsil olayotganini ko‘rsatadigan o‘sha juftliklarning bir qismini tanladik.

Ta'rif 2.8. Ikkilik munosabat Lie to'plamlari orasida V Dekart mahsulotining har qanday kichik to'plami deyiladi Ah V.

Ikkilik munosabatlar odatda yunon alifbosi harflari bilan belgilanadi: p ("ro"), a ("sigma"), | / ("psi") va boshqalar.

Agar p to'plamlar orasidagi qandaydir ikkilik munosabat bo'lsa A va V, u holda, ikkilik munosabatning ta'rifiga ko'ra, biz p c c A x B deb yozishimiz mumkin.

Agar juftlik (a, b ) p ikkilik munosabatga tegishli, ya'ni. (a, b ) e p, keyin ular element deb aytishadi a element bilan p ga nisbatan b, va arb yozing. Shunday qilib, yuqoridagi misolda "fakultetda o'qishga" munosabat ko'rib chiqiladi. Shunda biz Piterning matematika fakulteti bilan bu munosabatda ekanligini aytishimiz mumkin.

Matematikada ba'zi munosabatlar uchun ma'lum belgilar mavjud. Masalan,

Ikkilik munosabat juftliklar to'plami bo'lganligi sababli, u har qanday to'plam kabi, bu juftlarni sanab o'tish orqali yoki bu munosabatga tegishli bo'lgan juftlarni Dekart ko'paytmasidan ajratib olish uchun xarakterli xususiyatni ko'rsatish orqali aniqlanishi mumkin.

2.6-misol

Ikkita raqamli toʻplam berilgan boʻlsin: A =(1, 3.5) va B =(2, 8, 10). Keling, ushbu sanab o'tish to'plamlari o'rtasidagi ikkilik munosabatni aniqlaymiz: a= ((1, 2), (5, 10)). Xuddi shu munosabatni xarakteristik xususiyatga ko'ra ko'rsatishimiz mumkin: ikkilik munosabat birinchi to'plamdagi raqam ikkinchi to'plamdagi raqamdan ikki baravar kam bo'ladigan sonlar juftligidan hosil bo'ladi.

2.7-misol

Akademik guruhingizdagi ko'plab talabalarni ko'rib chiqing. Keling, ushbu to'plamda "do'st bo'lish" munosabatini o'rnatamiz. Akademik guruhdagi har qanday juftlik talabalari uchun ular ma'lum bir munosabatda yoki yo'qligini aniqlash mumkin. Hattoki, bu ikkilik munosabat bo'sh to'plam hosil qilishi mumkin. Qanday holatda bo'ladi?

Oxirgi misolda, biz ikkita to'plamning elementlari o'rtasida emas, balki bitta to'plamning elementlari o'rtasida aloqa o'rnatganimizga e'tibor berishingiz kerak. Bu ham mumkin va ikkilik munosabatlarning ta'rifiga zid kelmaydi. Faqat bu holatda, ikkita to'plamning dekart ko'paytmasi o'rniga, to'plamning dekart kvadratini hisobga olish kerak.

To'plamda aniqlangan ikkilik munosabat turli xil xususiyatlarga ega bo'lishi mumkin. Keling, ularni ko'rib chiqaylik.

1. Reflektorlik xossasi.

Ta'rif 2.9. aks ettiruvchi har qanday bo'lsa a e L juft (a> a) f R.

munosabat "

2. Simmetriya xossasi.

Ta'rif 2.10. Aytishlaricha, A to'plamda berilgan p ikkilik munosabat simmetrik har qanday elementlar uchun a va b L dan juftlik ( a , b ) p munosabatda bo‘ladi, shundan kelib chiqadiki, juftlik ( b , a) p ga nisbatan.

Masalan, haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan tenglik munosabati simmetrikdir, chunki agar raqam k soniga teng P ) keyin raqam P soniga teng k. "Do'st bo'lish" munosabati ham nosimmetrikdir.

Boshqa tomondan, kattalikdagi tartib nisbati (

3. Antisimmetriya xossasi.

Ta'rif 2.11. Aytishlaricha, A to'plamda berilgan p ikkilik munosabat antisimmetrik in har qanday elementlar uchun bo'lsa a va b L dan (i, /;) va (/ ;,) juftlari mavjudligidan kelib chiqadi. a) p ga nisbatan bo'lsa, bundan kelib chiqadi a = B.

Masalan, haqiqiy sonlar to'plamidagi kattalikdagi tartib munosabatlari antisimmetrikdir. Axir, agar ma'lum bo'lsa, raqamlar uchun X va da bajarildi X va da keyin bu shuni anglatadi x - y. Ammo to'g'ri chiziqlarning parallellik nisbati antisimmetrik emas, chunki agar to'g'ri chiziq bo'lsa / to'g'ri chiziqqa parallel t va to'g'ri t to'g'ri chiziqqa parallel /, keyin bu chiziqlar / va degani emas t moslashish. Ular har xil bo'lishi mumkin.

4. Tranzitivlik xossasi.

Ta'rif 2.12. Aytishlaricha, A to'plamda berilgan p ikkilik munosabat o'tish davri da har qanday elementlar uchun bo'lsa a, b va Bilan L dan juftlar ekanligidan (i, b ) va (/ ?, c) p ga nisbatan bo’lib, juftlik kelib chiqadi (a, c) p ga nisbatan ham.

O'tish xususiyatiga o'lchamdagi tartib munosabatlari, parallellik, "qarindosh bo'lish" munosabati kiradi.

Chiziqlarning perpendikulyarlik nisbati o'tish xususiyatiga ega emas (buni rasm yordamida ko'rsating). Bundan tashqari, "do'st bo'lish" munosabatlari ham o'tkinchi emas (garchi bu munosabatlarning o'tish istagi ifodalangan: "Do'stimning do'sti - mening do'stim" degan maqol bor).

Biz faqat ikkilik munosabatlarning asosiy xususiyatlarini ko'rib chiqdik, ular ikkita tez-tez ishlatiladigan munosabatlar turini belgilaydi.

Ekvivalentlik munosabati (yoki ekvivalentlik) - reflekslik, simmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega bo'lgan ikkilik munosabat.

Tartibga munosabat (yoki tartiblash) - refleksivlik, antisimmetriya va tranzitivlik xususiyatlariga ega bo'lgan ikkilik munosabat.

Masalan, "sinfdosh bo'lish" munosabati ekvivalentdir, chunki u refleksivlik, simmetriya va tranzitivlik xususiyatiga ega. Ko'p odamlarda "bo'y bo'lmaslik" munosabati tartiblilik munosabatidir.

Ekvivalentlik va tartiblash munosabatlari matematikaning turli sohalarida juda muhimdir va ekvivalentlik turli ob'ektlarni tasniflashda qo'llaniladi. Buni tushunish uchun, avvalo, to'plamning bo'linishi kabi matematik tushunchaga murojaat qilaylik.

Ta'rif 2.13. Ajralish orqali to'plamlar /! deyiladi, bu to'plamning ajratilgan kichik to'plamlar birlashmasi ko'rinishidagi tasviri deyiladi bo'lim sinflari.

To'plamning bo'limi bilan ishlayotganimizni tekshirish uchun ikkita shartni tekshirishimiz kerak:

bo'linish paytida olingan kichik to'plamlarning birlashuvi asl to'plamdir;
har qanday ikkita alohida kichik to'plamning kesishmasi bo'sh.

Tasniflashni amalga oshirayotganda, bo'limning sinflari deb ataladi ekvivalentlik sinflari. Bu sinflar qanday tuzilgan?

To'plamga qo'ying A qandaydir ekvivalentlik munosabati p kiritiladi. Keling, har qanday elementni olaylik a dan A va barcha elementlar A, kimlar bilan a p ga nisbatan. Bu elementlarning barchasi element ekvivalentlik sinfini tashkil qiladi a. Elementning o'zi aniq a bu sinfga kiradi. Haqiqatan ham, agar p ekvivalentlik munosabati bo'lsa, u holda u reflekslik xususiyatiga ega, ya'ni. (a) a) f p, va bu elementning o'zini anglatadi a hosil qiladigan ekvivalentlik sinfiga kiradi.

To'plamning turli elementlarining ekvivalentlik sinflari mos kelishi yoki kesishmasligi isbotlanishi mumkin. Shu munosabat bilan, bu sinflarni bo'linuvchi sinflar deb hisoblash mumkin, deb taxmin qilish mumkin.

Haqiqatan ham, agar to'plamda ekvivalentlik munosabati berilgan bo'lsa, unda ushbu to'plamning elementlarini o'z ichiga olgan barcha ekvivalentlik sinflari to'plami ushbu to'plamning bir qismidir, degan teorema mavjud.

Boshqa tomondan, isbotlash mumkinki, agar to'plamning qandaydir bo'linishi mavjud bo'lsa va bu to'plamda ikkilik munosabat berilgan bo'lsa, to'plamning bir juft elementi ikkalasi bir xil sinfga tegishli bo'lgan taqdirdagina shu munosabatda bo'ladi. bo'lim, keyin bu ikkilik munosabat ekvivalent bo'ladi.

Siz ushbu bayonotlarning har birini mustaqil ravishda isbotlashga harakat qilishingiz yoki ishda keltirilgan dalillarni tahlil qilishingiz mumkin.

Ekvivalentlik sinflaridan foydalanganda biz to'plamni kichik to'plamlarga ajratamiz, ularning har biri qandaydir "bir xil" elementlarni o'z ichiga oladi. Masalan, barcha musbat kasrlar to'plamini ekvivalentlik sinflariga quyidagicha ajratish mumkin: 1) har bir qisqarilmagan kasrni oling.

timik fraktsiya (masalan, -); 2) har bir mos keladigan ekvivalentlik sinfida

2 4 6 8 soat t

mos keladigan kasrlar unga teng barcha kasrlarni o'z ichiga oladi - = - = - = 1

Shunday qilib, biz barcha musbat kasrlarni mos keladigan ekvivalentlik sinflariga ajratamiz. Har bir bunday sinf ijobiy ratsional sondir.

Buyuk Sovet Entsiklopediyasida aytilishicha, "munosabat - bu odamning biror narsaga hissiy-irodaviy munosabati, ya'ni. o'z pozitsiyasini ifodalash; turli ob'ektlarni yoki berilgan ob'ektning tomonlarini aqliy taqqoslash. D. N. Ushakovning izohli lug'atida "munosabat - bu qandaydir tuproqdagi muloqotdan shakllangan o'zaro muloqot, odamlar, jamiyatlar, mamlakatlar va boshqalar o'rtasidagi muloqotdir".