Енергийни трансформации при хармонични вибрации. Преобразуване на енергия при хармонични вибрации - Хипермаркет на знанието

Механичните вибрации са движения на тялото, които се повтарят точно или приблизително на равни интервали. Основните характеристики на механичните вибрации са: преместване, амплитуда, честота, период. Преместването е отклонението на тялото от равновесното положение. Амплитудата е модулът на максималното отклонение от положението на равновесие. Честотата е броят на пълните вибрации за единица време. Периодът е времето на едно пълно трептене, т.е. минималният период от време, след който процесът се повтаря. Периодът и честотата са свързани чрез съотношението: v = 1 / T. Най-простият изгледосцилаторно движение - хармонични трептения, при които трептящата стойност се променя с времето според закона на синуса или косинуса (фиг. 9). Свободни вибрации се наричат ​​вибрации, които възникват поради първоначално придадената енергия с последващо отсъствие на външни влияния върху системата, извършваща вибрации. Например, вибрации на товара върху резбата (фиг. 10). Нека разгледаме процеса на преобразуване на енергия, като използваме примера на вибрации на товар върху нишка (виж фиг. 10). Когато махалото се отклони от положението на равновесие, то се издига на височина h спрямо нулевото ниво, следователно в точка А махалото
има потенциална енергия от mgh. При преместване в равновесно положение, до точка O, височината намалява до нула, а скоростта на товара се увеличава, а в точка O цялата потенциална енергия mgh ще се превърне в кинетична енергия mv ^ 2/2. В положение на равновесие кинетичната енергия е най-висока, а потенциалната енергия е най-ниската. След преминаване на положението на равновесие настъпва трансформация на кинетичната енергия в потенциална, скоростта на махалото намалява и при максимално отклонение от положението на равновесие става равна на нула. При осцилаторно движение винаги се случват периодични трансформации на неговата кинетична и потенциална енергия.
При свободни механични вибрации енергията неизбежно се губи за преодоляване на съпротивителните сили. Ако трептенията възникват под въздействието на периодична външна сила, тогава такива трептения се наричат ​​принудени. Например родителите люлеят дете на люлка, бутало се движи в цилиндъра на автомобилния двигател, електрическото ножче за бръснач и иглата на шевната машина вибрират. Естеството на принудителните вибрации зависи от естеството на действието на външната сила, от нейната величина, посока, честота на действие и не зависи от размера и свойствата на вибриращото тяло. Например основата на двигателя, върху която е фиксиран, прави принудителни вибрации с честота, определена само от броя на оборотите на двигателя, и не зависи от размера на основата.

Когато честотата на външната сила и честотата на естествените вибрации на тялото съвпадат, амплитудата на принудителните вибрации се увеличава рязко. Това явление се нарича механичен резонанс. Графично зависимостта на амплитудата на принудителните вибрации от честотата на външната сила е показана на фигура 11.
Феноменът резонанс може да причини разрушаване на автомобили, сгради, мостове, ако техните собствени честоти съвпадат с честотата на периодично действаща сила. Ето защо, например, двигателите в автомобилите са инсталирани на специални амортисьори, а на военните части е забранено да поддържат темп, докато се движат по моста.
При липса на триене амплитудата на принудителните трептения при резонанс трябва да се увеличава с времето за неопределено време. В реалните системи амплитудата в стационарния резонансен режим се определя от състоянието на загубите на енергия през даден период и работата на външна сила за същото време. Колкото по-ниско е триенето, толкова по-голяма е амплитудата при резонанс.

Флуктуации- това са всякакви процеси или движения, които се повтарят на равни интервали.

Безплатни вибрациивъзникват в системата под въздействието на нейните вътрешни сили след извеждане от равновесното положение.

Безплатни условия на вибрации:

1 ... След изваждането на системата от положение на равновесие трябва да възникне сила, която има тенденция да я върне в равновесно положение;

2 ... Триенето и съпротивлението в системата трябва да са достатъчно ниски.

Хармонични вибрации- това са периодични промени във физическо количество в зависимост от времето, протичащи по закона на синуса или косинуса.

Затихване на трептения- това са вибрации, които възникват при отчитане на силите на триене и съпротивление в системата.

Амплитуда на трептене (A)е модулът на най-голямото изместване на тялото от равновесното положение.

Период на трептене (T)- това е времето на едно пълно трептене. Мерната единица е [s].

T = t / N, където t е времето, N е броят на трептенията.

Честота на трептене (ν)Това е броят на трептенията за единица време.

Мерната единица е [Hz].

Циклична (кръгова) честота (ω 0)Това е броят на трептенията за 2π секунди. Мерни единици - [rad / s]. ω 0 = 2π ν = 2π / Т.

Хармонично уравнение x = A sin (ω 0 t + φ 0), x = A cos (ω 0 t + φ 0),

φ - начална фаза (единици - [радвам се]).

Примери за хармонични трептения са трептения на математически и пружинни махала.

Математическо махалоТова е материална точка, окачена върху дълга, безтегловна, неразтеглива нишка. Диаграмата на силите, действащи върху математическото махало, е показана на фигурата.

F = F t + F контрол

За математическо махало цикличната честота е

трептения ω 0 = √g / l

период на трептене Т = 2π√l / g,

където l е дължината на нишката,

g е ускорението на гравитацията.

Пружинно махалоТова е тяло с маса m, което вибрира върху пружина с коефициент на коравина k. За пружинно махало

честота на циклична вибрация ω 0 = √k / m,

период на трептене Т = 2π√m / k.

Когато пружините са свързани последователно, общият коефициент на твърдост

до общо = (k 1 ∙ k 2) / (k 1 + k 2).

Когато пружините са свързани паралелно, общият коефициент на твърдост е k total = k 1 + k 2.

Закон за запазване на енергията за хармонични трептения:

E max pot = E pot + E kin = E max kin;

където E max sweat е максималната потенциална енергия,

E потта е потенциална енергия,

E kin - кинетична енергия,

E max kin е максималната кинетична енергия.

Принудителни вибрации- това са вибрации, възникващи под въздействието на външна, периодично действаща сила. За принудителните вибрации е характерно явлението резонанс.

РезонансИма рязко увеличаване на амплитудата

принудителни трептения в случай на съвпадение

честотата на действие на външна сила с честота

естествени вибрации на системата.

Увеличаване на амплитудата на принудителното

вибрациите при резонанс се изразяват с

по-ясно, толкова по-малко триене в системата.

Крива 2 на фигурата съответства на

повече триене в системата,

крива 1 - по-малко триене. Ориз. 14.12

Автоколебаниянаричат ​​се вибрации, които не са затихващи поради наличието на енергиен източник вътре в системата. Системите, в които съществуват автоколебания, се наричат ​​автоосцилиращи системи. В този случай подаването на енергия към осцилаторната система се регулира от самата система с помощта на регулатор през канала за обратна връзка.

Механичните вибрации се разпространяват в еластична среда. Ако някоя частица от средата започне да вибрира, тогава поради взаимодействието между частиците на средата, вибрациите започват да се разпространяват във всички посоки, следователно възниква вълна.

Вълна- Това са вибрации, които се разпространяват в пространството във времето.

Вълната се нарича надлъжнаако трептенията на частиците възникват по посоката на разпространение на вълната. Надлъжните вълни могат да се разпространяват в твърди, течни и газообразни среди.

Вълната се нарича напреченако вибрациите на частиците възникват перпендикулярно на посоката на разпространение на вълната. Срязващите вълни могат да се разпространяват само в твърда среда.

Дължина на вълната (λ)Дали разстоянието между две точки, най-близо една до друга, осцилира в едни и същи фази. В един период вълната се разпространява в пространството на разстояние, равно на дължината на вълната.

Описание на видео урока

Нека съставим уравнението за трептене на топка, нанизана на гладка хоризонтална пръчка под действието на пружинната сила. Според втория закон на Нютон произведението на масата на тялото от вектора на ускорението е резултатът от всички сили, приложени към тялото. Силата, действаща върху топката, е еластичната сила на опъната или компресирана пружина. Неговата проекция според закона на Хук е равна на произведението от коравината на пружината и преместването на топката, взето с противоположен знак. Замествайки израза за еластичната сила във втория закон на Нютон, получаваме: произведението на масата на топката и нейното ускорение е равно на произведението на коравината на пружината и преместването на топката, взето с противоположен знак. Разделете двете страни на уравнението на телесна маса. Получаваме, че проекцията на ускорението е равна на произведението на съотношението на твърдостта на пружината към масата на тялото от изместването на тялото спрямо равновесното положение, взето с обратен знак. Тъй като телесната маса и твърдостта на пружината са постоянни стойности, тяхното съотношение също е постоянно. Получихме уравнение, описващо вибрациите на тяло под действието на еластична сила: проекцията на ускорението на тялото е право пропорционална на неговата координата, взета с обратен знак.

По подобен начин може да се получи уравнението на движението на математическо махало. По форма е подобно на уравнението, което описва вибрациите на тяло под въздействието на еластична сила. Проекцията на ускорението на математическо махало е равна на произведението на съотношението на ускорението на гравитацията към дължината на нишката и преместването на тялото спрямо равновесното положение, взето с обратен знак. Тъй като ускорението на гравитацията и дължината на нишката са постоянни стойности за дадено махало, тяхното съотношение също е постоянна стойност. Това означава, че проекцията на ускорението на математическо махало е право пропорционална на неговата координата, взета с противоположен знак. За двете разглеждани осцилаторни системи уравненията на движението са идентични по форма: ускорението на тяло, извършващо трептения, е право пропорционално на изместването от равновесното положение, взето с противоположен знак.
От курса на математиката е известно, че ускорението на точка е производна на нейната скорост спрямо времето или втората производна на координатата спрямо времето. Следователно уравненията за движение на тяло, извършващо осцилаторни движения под действието на еластична сила, могат да се запишат по следния начин: втората производна на координатата на тялото по отношение на времето е равна на произведението на съотношението на твърдостта на пружината към масата на тялото по координатата на тялото, взета с противоположен знак. Вторите производни на синус и косинус по отношение на техния аргумент са пропорционални на самите функции, взети с противоположен знак, и никакви други функции нямат това свойство. Това означава, че координатата на тяло, извършващо свободни трептения, се променя с течение на времето в съответствие със закона на синуса или косинуса.
Нека напишем това уравнение с помощта на функцията косинус. Тогава ще приеме следващ изглед: координатата на тялото, вибриращо под въздействието на еластичната сила, е равна на произведението на максималното отклонение на тялото от равновесното положение от косинуса на произведението от корен квадратен от отношението на твърдостта на пружината към масата на натоварването към момента на вибрация. Получихме уравнение за зависимостта на координатите на тяло, извършващо трептения от времето.Фигурата показва промяната в координатата на точка с времето според косинусния закон. Периодичните промени във физическата величина в зависимост от времето, протичащи според закона на синуса или косинуса, се наричат ​​хармонични трептения. Има редица величини, които характеризират осцилаторното движение. Отклонението на тялото от равновесното положение се нарича изместване. Амплитудата на хармоничните вибрации е максималното разстояние, на което тялото се отклонява от положението на равновесие. Амплитудата зависи от началните условия на трептенията. Времето на едно пълно трептене се нарича период на трептене. Периодът на трептене се измерва в секунди. Честотата на трептенията е броят на трептенията за единица време. Единицата за честота на вибрациите в международната система от единици е херц. 1 херц (Hz) - честотата на такова осцилаторно движение, при което
трептящо тяло прави едно пълно трептене за една секунда.
Циклична или кръгова честота е величина, която показва колко вибрации прави тялото за 2π секунди. Единицата за циклична честота е радиани в секунда. Осцилаторната система, изведена от състояние на равновесие, извършва свободни трептения с определена честота, поради което се нарича собствена честота на трептящата система. За пружинно махало, честотата на естествените вибрации се определя като корен квадратен от съотношението на твърдостта на пружината към масата на товара. Естествената честота на математическото махало е равна на корен квадратен от отношението на ускорението на гравитацията към дължината на махалото. Ако заместим израза за естествената честота във формулата на уравнението за зависимостта на координатите на тялото, извършващо трептения от времето, тогава това уравнение ще придобие следния вид: координатата на осцилиращото тяло е равна на произведението на максималното отклонение на тялото от равновесното положение от косинуса на произведението на цикличната честота на системата и времето на трептене.
Периодът на свободните трептения зависи от параметрите на самата система. Когато товар осцилира върху пружина, периодът зависи от коравината на пружината и теглото на товара. Колкото по-голяма е твърдостта на пружината, толкова по-кратък е периодът на трептене; колкото по-масивно е натоварването, толкова по-дълъг е периодът на колебания. За математическо махало периодът на трептене зависи само от дължината на нишката: колкото по-дълга е нишката, толкова по-дълъг е периодът на трептене. Не зависи от масата на махалото.
В уравнението, описващо свободните трептения, под знака косинус е продуктът на цикличната честота на трептене и времето. Тази работа се нарича фаза на трептене. Фазата се изразява в ъглови единици радиани. Фазата определя стойността на координатата и други физически величини, например скорост и ускорение, които също се променят по хармоничен закон. Следователно можем да кажем, че фазата определя, при дадена амплитуда, състоянието на осцилаторната система по всяко време. При извършване на осцилаторни движения енергията на системата преминава от една форма в друга. Помислете за вибрациите на топка върху пружина и приемете за простота, че в вибрационната система няма сили на триене. Чрез изместване на топката, прикрепена към пружината надясно с максималното разстояние x, ние предаваме на осцилаторната система потенциална енергия, равна на половината от произведението на коравината на пружината на квадрата на разстоянието от равновесното положение. Под действието на еластичната сила топката ще започне да се движи наляво, докато деформацията на пружината ще стане по-малка, а потенциалната енергия на системата ще намалее. Но в същото време скоростта ще се увеличи и следователно ще се увеличи кинетичната енергия. Когато топката премине точката на равновесие, деформацията на пружината ще бъде равна на нула, следователно потенциалната енергия на осцилаторната система ще стане равна на нула. Скоростта на топката в този момент е максимална, което означава, че кинетичната енергия достига своя максимум. С по-нататъшно движение скоростта на топката ще намалее, а деформацията на пружината ще се увеличи. Кинетичната енергия ще се преобразува в потенциална. В крайната лява точка достига максимум и кинетичната енергия става нула. Виждаме, че когато топка осцилира върху пружина, потенциалната енергия периодично се превръща в кинетична енергия и обратно. Общата механична енергия по време на вибрации на тяло, прикрепено към пружина, е равна на сумата от кинетичната и потенциалната енергия на вибрационната система. Според закона за опазване механична енергияпри липса на триене общата механична енергия на изолираната система остава непроменена.
Силите на триене винаги действат в реални осцилаторни системи. Те извършват отрицателна работа и по този начин намаляват механичната енергия на системата. Част от механичната енергия на системата се изразходва за преодоляване на силите на триене и преминава във вътрешната енергия на телата на системата и околната среда. Следователно с течение на времето максималните отклонения на тялото от равновесното положение стават все по-малко. След изчерпване на запаса от механична енергия, трептенията ще спрат напълно. Всички свободни вибрации се заглушават.

>> Преобразуване на енергия с хармонични вибрации

§24 ПРЕОБРАЗУВАНЕ НА ЕНЕРГИЯТА ПО ВРЕМЕ НА ХАРМОНИЧНИ ВИБРАЦИИ

Нека разгледаме трансформацията на енергията при хармонични трептения в два случая: няма триене в системата; има триене в системата.

Преобразуване на енергия в системи без триене.Чрез изместване на топката, прикрепена към пружината (виж фиг. 3.3) надясно на разстояние x m, ние предаваме потенциална енергия на осцилаторната система:

Когато топката се движи наляво, деформацията на пружината става по-малка и потенциалната енергия на системата намалява. Но в същото време скоростта се увеличава и следователно се увеличава кинетичната енергия. В момента, в който топката премине положението на равновесие, потенциалната енергия на осцилаторната система става равна на нула (W n = 0 при x = 0). Кинетичната енергия достига своя максимум.

След преминаване на равновесното положение скоростта на топката започва да намалява. Следователно кинетичната енергия също намалява. Потенциалната енергия на системата отново нараства. В крайната лява точка достига максимум и кинетичната енергия става нула. Така по време на трептения потенциалната енергия периодично се трансформира в кинетична енергия и обратно. Лесно е да се види, че едни и същи трансформации на механична енергия от един вид в друг се случват в случая на математическо махало.

Общата механична енергия по време на вибрации на тяло, прикрепено към пружина, е равна на сумата от кинетичната и потенциалната енергия на вибрационната система:

Кинетичната и потенциалната енергия се променят периодично. Но общата механична енергия на изолирана система, в която няма съпротивителни сили, остава (според закона за запазване на механичната енергия) непроменена. Тя е равна или на потенциалната енергия в момента на максимално отклонение от положението на равновесие, или на кинетичната енергия в момента, когато тялото премине равновесното положение:

Енергията на трептящо тяло е право пропорционална на квадрата на амплитудата на координатните трептения или на квадрата на амплитудата на трептенията на скоростта (виж формула (3.26)).

Затихване на трептения.Свободните вибрации на товар, прикрепен към пружина или махало, са хармонични само когато няма триене. Но силите на триене или, по-точно, силите на съпротивление на околната среда, макар и може би малки, винаги действат върху осцилиращо тяло.

Силите на съпротивление извършват отрицателна работа и по този начин намаляват механичната енергия на системата. Следователно с течение на времето максималните отклонения на тялото от равновесното положение стават все по-малко. В крайна сметка, след изчерпване на запаса от механична енергия, трептенията ще спрат напълно. Трептенията при наличие на съпротивителни сили са затихващи.

Графиката на зависимостта на координатите на тялото от времето при затихващи трептения е показана на фигура 3.10. Подобна графика може да бъде начертана от самото трептящо тяло, например махало.

Фигура 3.11 показва махало с пясъчник. Махалото върху лист картон, равномерно движещо се под него, с струйка пясък, чертае графика на своята координата спрямо времето. Това е прост метод за времеви размах на трептения, който дава доста пълна картина на процеса на осцилаторно движение. При малко съпротивление затихването на трептенията за няколко периода е малко. Ако обаче лист дебела хартия е прикрепен към нишките на окачването, за да се увеличи силата на съпротивление, затихването ще стане значително.

В автомобилите се използват специални за овлажняване на вибрациите на тялото при шофиране по неравен път. Когато тялото вибрира, свързаното бутало се движи в цилиндър, пълен с течност. Течността протича през отворите в буталото, което води до появата на големи съпротивителни сили и бързо затихване на трептенията.

Енергията на трептящо тяло при липса на сили на триене остава непроменена.

Ако върху телата на системата действат съпротивителни сили, тогава трептенията се затихват.

Съдържание на урока план на урокаподкрепа рамка презентация урок ускорителни методи интерактивни технологии Практика задачи и упражнения семинари за самопроверка, обучения, казуси, куестове домашни задачи дискусия въпроси реторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, диаграми, таблици, схеми хумор, вицове, вицове, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любопитните cheat sheets учебници основни и допълнителен речник на термини други Подобряване на учебниците и уроцитекорекции на грешки в урокаактуализиране на фрагмент в учебника, елементи на иновация в урока, замяна на остарелите знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен планза година насокидневен ред за обсъждане Интегрирани уроци

Промени във времето според синусоидален закон:

където NS- стойността на флуктуиращото количество в момента T, А- амплитуда, ω - кръгова честота, φ - началната фаза на трептения, ( φt + φ ) - пълна фаза на трептения. В този случай количествата А, ω и φ - постоянен.

За механични вибрации, колебливото количество NSса по-специално преместването и скоростта, за електрическите трептения - напрежение и ток.

Хармоничните вибрации заемат специално място сред всички видове вибрации, тъй като това е единственият вид вибрации, чиято форма не се изкривява при преминаване през хомогенна среда, тоест вълните, разпространяващи се от източник на хармонични вибрации, също ще бъдат хармонични . Всяка нехармонична вибрация може да бъде представена като сбор (интеграл) от различни хармонични вибрации (под формата на спектър от хармонични вибрации).

Енергийни трансформации по време на хармонични вибрации.

В процеса на трептения възниква преход на потенциална енергия W стрв кинетичен W kи обратно. В положение на максимално отклонение от положението на равновесие потенциалната енергия е максимална, кинетичната енергия е равна на нула. С връщането му в равновесно положение скоростта на осцилиращото тяло нараства, а с него нараства и кинетичната енергия, достигайки максимум в равновесно положение. Тогава потенциалната енергия пада до нула. Движението с по-далечно врат се случва с намаляване на скоростта, която пада до нула, когато отклонението достигне втория си максимум. Потенциалната енергия тук нараства до първоначалната си (максимална) стойност (при липса на триене). По този начин трептенията на кинетичната и потенциалната енергия възникват с удвоена (в сравнение с трептенията на самото махало) честота и са в противофаза (тоест има фазово изместване между тях, равно на π ). Обща енергия на вибрации Уостава непроменен. За тяло, което вибрира под въздействието на еластичната сила, тя е равна на:

където v m- максимална скорост на тялото (в равновесно положение), x m = ААмплитудата ли е.

Поради наличието на триене и съпротивление на средата, свободните трептения се овлажняват: тяхната енергия и амплитуда намаляват с времето. Следователно на практика те често използват не свободни, а принудителни трептения.