سلسلة رقمية متناوبة تقارب المتسلسلات المتناوبة

المتسلسلات المتناوبة هي متسلسلات تكون حدودها موجبة وسالبة بالتناوب. . في أغلب الأحيان، يتم النظر في سلسلة متناوبة، حيث تتناوب المصطلحات واحدة تلو الأخرى: كل إيجابي يتبعه سلبي، وكل سلبي يتبعه إيجابي. ولكن هناك صفوف متناوبة يتناوب فيها الأعضاء من خلال اثنين وثلاثة وهكذا.

لنأخذ مثالاً على سلسلة متناوبة تبدو بدايتها كما يلي:

3 − 4 + 5 − 6 + 7 − 8 + ...

وعلى الفور القواعد العامة لتسجيل الصفوف المتناوبة.

كما هو الحال مع أي سلسلة، لمواصلة سلسلة معينة، تحتاج إلى تحديد وظيفة تحدد الحد المشترك للسلسلة. في حالتنا هو عليه ن + 2 .

كيفية ضبط تناوب علامات أعضاء السلسلة؟ ضرب الدالة في سالب واحد إلى حد ما. في أي درجة؟ دعونا نؤكد على الفور أنه ليست كل درجة تضمن تناوب العلامات لشروط السلسلة.

لنفترض أننا نريد أن يكون للحد الأول من المتسلسلة المتناوبة إشارة موجبة، كما هو الحال في المثال أعلاه. ثم ناقص واحد يجب أن يكون للقوة ن- 1 . ابدأ باستبدال الأرقام بدءًا من الواحد في هذا التعبير وستحصل على ذلك كأساس لناقص واحد، سواء كان رقمًا زوجيًا أو فرديًا. هذا شرط ضروري لتناوب العلامات! نحصل على نفس النتيجة عندما ن+ 1 . إذا أردنا أن يكون الحد الأول من المتسلسلة المتناوبة بإشارة سالبة، فيمكننا تعريف هذه المتسلسلة عن طريق ضرب دالة الحد المشترك في واحد أس ن. نحصل على عدد زوجي، وعدد فردي، وهكذا. كما نرى، تم استيفاء الشرط الموصوف بالفعل للعلامات البديلة.

وهكذا يمكننا كتابة المتسلسلة المتناوبة أعلاه بشكل عام:

لتبديل علامات عضو السلسلة، يمكن أن تكون القوة ناقص واحد هي المجموع نوأي رقم موجب أو سالب، زوجي أو فردي. الأمر نفسه ينطبق على 3 ن , 5ن، ... أي أن تناوب علامات أعضاء المتسلسلة المتناوبة يوفر الدرجة عند سالب واحد على شكل مجموع ن، مضروبًا في أي عدد فردي وأي رقم.

ما هي القوى عند ناقص واحد التي لا تضمن تناوب علامات شروط السلسلة؟ تلك الموجودة في النموذج ن، مضروبًا في أي رقم زوجي، تمت إضافة أي رقم إليه، بما في ذلك الصفر أو الزوجي أو الفردي. أمثلة على مؤشرات هذه الدرجات: 2 ن , 2ن + 1 , 2ن − 1 , 2ن + 3 , 4ن+ 3 ... في حالة مثل هذه القوى، اعتمادًا على الرقم الذي يضاف إليه "en"، مضروبًا في رقم زوجي، يتم الحصول على أرقام زوجية أو فردية فقط، والتي، كما اكتشفنا بالفعل، لا إعطاء تناوب علامات شروط السلسلة .

سلسلة بالتناوب - حالة خاصة سلسلة بالتناوب . السلاسل المتناوبة هي سلاسل ذات علامات عشوائية أي تلك التي يمكن أن تكون إيجابية وسلبية بأي ترتيب. مثال على سلسلة متناوبة:

3 + 4 + 5 + 6 − 7 + 8 − ...

بعد ذلك، سننظر في علامات تقارب المتسلسلات المتناوبة والمتناوبة. يمكن إثبات التقارب الشرطي لسلسلة العلامات المتناوبة باستخدام اختبار لايبنيز. وبالنسبة لمجموعة أوسع من المتسلسلات - المتسلسلات المتناوبة (بما في ذلك المتسلسلات المتناوبة) - ينطبق معيار التقارب المطلق.

تقارب سلسلة متناوبة من العلامات. اختبار لايبنتز

بالنسبة لسلسلة من العلامات المتناوبة، ينطبق معيار التقارب التالي - معيار لايبنيز.

نظرية (اختبار لايبنتز).تتقارب المتسلسلة ولا يتجاوز مجموعها الحد الأول إذا تحقق الشرطان التاليان في وقت واحد:

• تنخفض القيم المطلقة لشروط السلسلة المتناوبة: ش1 > ش 2 > ش 3 > ... > شن>...;
• حد الحد المشترك مع زيادة غير محدودة نيساوي الصفر.

عاقبة. إذا أخذنا مجموع المتسلسلة المتناوبة كمجموع لها نحيث أن الخطأ المسموح به لن يتجاوز القيمة المطلقة للحد الأول المهمل.

مثال 1.التحقيق في تقارب السلسلة

حل. هذه سلسلة متناوبة. تنخفض القيم المطلقة لأعضائها:

وحد المصطلح المشترك

يساوي الصفر:

تم استيفاء شرطي اختبار لايبنتز، وبالتالي فإن المتسلسلة متقاربة.

مثال 2.التحقيق في تقارب السلسلة

حل. هذه سلسلة متناوبة. أولا نثبت أن:

, .

لو ن= 1، ثم للجميع ن > نعدم المساواة 12 يحمل ن − 7 > ن. بدوره للجميع ن. وبالتالي، فإن شروط المتسلسلة تنخفض قيمتها المطلقة. دعونا نجد نهاية الحد العام للسلسلة (باستخدام قاعدة لوبيتال):

حد الحد المشترك هو صفر. وقد تحقق كلا شرطي اختبار لايبنتز، وبالتالي فإن الإجابة على سؤال التقارب إيجابية.

مثال 3.التحقيق في تقارب السلسلة

حل. نظرا لسلسلة بالتناوب. دعونا نكتشف ما إذا كان الشرط الأول لمعيار لايبنيز قد تم استيفاءه، وهو المطلب. وحتى يتحقق المطلب لا بد من ذلك

لقد تأكدنا من تلبية المتطلبات للجميع ن > 0 . تم استيفاء معيار لايبنتز الأول. لنجد نهاية الحد العام للمتسلسلة:

.

الحد ليس صفراً وبالتالي فإن الشرط الثاني من معيار لايبنتز غير متحقق، وبالتالي فإن التقارب غير وارد.

مثال 4.التحقيق في تقارب السلسلة

حل. في هذه السلسلة، هناك حدان سلبيان يتبعهما حدان إيجابيان. هذه السلسلة تتناوب أيضًا. دعونا نكتشف ما إذا كان الشرط الأول لاختبار لايبنتز قد تم استيفاءه.

تم تلبية الطلب للجميع ن > 1 . تم استيفاء معيار لايبنتز الأول. لنكتشف ما إذا كانت نهاية الحد العام تساوي الصفر (بتطبيق قاعدة لوبيتال):

.

لقد حصلنا على الصفر. وبذلك يتم استيفاء شرطي معيار لايبنتز. يجري التقارب.

مثال 5.التحقيق في تقارب السلسلة

حل. هذه سلسلة متناوبة. دعونا نكتشف ما إذا كان الشرط الأول لاختبار لايبنتز قد تم استيفاءه. لأن

,

لأن ن ≥ 0 ، ثم 3 ن+ 2 > 0 . بدوره للجميع ن، لهذا . وبالتالي، فإن شروط السلسلة تنخفض في القيمة المطلقة. تم استيفاء معيار لايبنتز الأول. لنكتشف ما إذا كانت نهاية الحد العام للمتسلسلة تساوي الصفر (بتطبيق قاعدة لوبيتال):

.

لقد حصلنا على قيمة صفر. تم استيفاء شرطي اختبار لايبنتز، وبالتالي تتقارب هذه المتسلسلة.

مثال 6.التحقيق في تقارب السلسلة

حل. دعونا نعرف ما إذا كان الشرط الأول لاختبار لايبنتز قد تحقق لهذه السلسلة المتناوبة:

شروط السلسلة تنخفض في القيمة المطلقة. تم استيفاء معيار لايبنتز الأول. لنكتشف ما إذا كانت نهاية الحد المشترك تساوي صفرًا:

.

نهاية الحد المشترك ليست صفراً. لم يتم استيفاء الشرط الثاني من معيار لايبنتز. لذلك، تتباعد هذه السلسلة.

اختبار لايبنتز هو علامة التقارب الشرطي للمتسلسلة. وهذا يعني أنه يمكن استكمال الاستنتاجات حول تقارب وتباعد المتسلسلة المتناوبة المذكورة أعلاه: هذه المتسلسلة تتلاقى (أو تتباعد) بشكل مشروط.

التقارب المطلق للمتسلسلات المتناوبة

دع الصف

- علامة بالتناوب. دعونا ننظر إلى سلسلة مكونة من القيم المطلقة لأعضائها:

تعريف. يقال أن المتسلسلة متقاربة تقاربا مطلقا إذا تقاربت المتسلسلة المكونة من القيم المطلقة لأعضائها. إذا تقاربت متسلسلة متناوبة، وتباعدت المتسلسلة المكونة من القيم المطلقة لأعضائها، فإن هذه المتسلسلة المتناوبة تسمى متقاربة بشكل مشروط أو غير مطلق .

نظرية.إذا كانت المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق، فإنها تتقارب بشكل مشروط.

مثال 7.تحديد ما إذا كانت السلسلة متقاربة

حل. ويقابل هذه السلسلة بجانب العبارات الإيجابية سلسلة هذه المتسلسلة التوافقية المعممة، حيث تتباعد السلسلة. دعونا نتحقق من استيفاء شروط اختبار لايبنتز.

لنكتب القيم المطلقة للحدود الخمسة الأولى من المتسلسلة:

.

وكما نرى، فإن حدود المتسلسلة تنخفض قيمتها المطلقة. تم استيفاء معيار لايبنتز الأول. لنكتشف ما إذا كانت نهاية الحد المشترك تساوي صفرًا:

لقد حصلنا على قيمة صفر. تم استيفاء كلا شرطي اختبار لايبنتز. أي أنه وفقا لمعيار لايبنيز يحدث التقارب. والمتسلسلة المقابلة ذات الحدود الموجبة تتباعد. ولذلك، فإن هذه السلسلة تتقارب بشكل مشروط.

مثال 8.تحديد ما إذا كانت السلسلة متقاربة

مطلقا أو مشروطا أو مخالفا.

حل. ويقابل هذه المتسلسلة بجانب الحدود الموجبة المتسلسلة وهي متسلسلة توافقية معممة، وبالتالي تتباعد المتسلسلة. دعونا نتحقق من استيفاء شروط اختبار لايبنتز.

دعونا نفكر في المتسلسلات التي تحتوي مصطلحاتها على علامات اعتباطية، وسنسميها متسلسلات بالتناوب(لاحظ أنه في الأدبيات الرياضية، مصطلحات المتسلسلات المتناوبة والمتناوبة - ستتم مناقشة هذه المتسلسلة لاحقًا - تعني نفس الشيء؛ لكننا هنا اعتمدنا المصطلحات التي استخدمها ن.س. بيسكونوف في كتابه "حساب التفاضل والتكامل" فقط لتقصير الترميز : بدلاً من عبارة "سلسلة أعضائها علامات تعسفية" سنقول "سلسلة متناوبة"). إذا كانت سلسلة معينة تحتوي فقط على عدد محدود من الحدود السالبة، فعند التخلص منها، يمكننا تقليل الأمر إلى دراسة سلسلة ذات حدود موجبة. الأمر نفسه ينطبق على السلسلة التي لا يوجد فيها سوى عدد محدود من الحدود الإيجابية. لذلك، سنفترض بوضوح أنه يوجد بين أعضاء السلسلة عدد لا نهائي من الأعضاء الإيجابية والسلبية.

النظرية التالية صحيحة

نظرية 30. 8.(اختبار التقارب المطلق)

دعونا نعطي سلسلة بشروط العلامات التعسفية. إذا كانت السلسلة متقاربة

مكونة من القيم المطلقة لحدودها، ثم تتقارب المتسلسلة المعطاة. حيث .

التعريف 30.4.إذا تقاربت المتسلسلة وتقاربت تسمى متسلسلة متقاربة تماما. إذا تقاربت متسلسلة وتباعدت متسلسلة تسمى متسلسلة متقاربة بشكل مشروط (وليس على الاطلاق)..

لتحديد التقارب المطلق لسلسلة معينة مع سلسلة من وحداتها يمكن تطبيق المعايير التي ناقشناها في الفقرة السابقة. ولكن عليك أن تكون حذرا مع علامات التباعد: إذا تباعدت سلسلة من الوحدات، فقد تتقارب السلسلة الأصلية (بشكل مشروط). الاستثناء الوحيد هو اختبار دالمبيرت واختبار كوشي الجذري، حيث أنه عندما تشير هذه العلامات إلى تباعد المتسلسلة، فهذا يعني ذلك، ولكن بعد ذلك و، وهو ما يعني تباعد المتسلسلة.

دعونا نصيغ هذه الخصائص فيما يتعلق بالسلسلة المتناوبة

علامة دالمبرت. ، الذي - التي

في د < 1 ряд сходится абсолютно,

في د> 1 صف يتباعد،

في د= هناك حاجة إلى مزيد من البحث.

علامة كوشي جذرية.إذا كان هناك سلسلة متناوبة ، الذي - التي

في ك< 1 ряд сходится абсолютно,

في ك> 1 صف يتباعد،

في ك= 1 بحث إضافي مطلوب

مثال. نحن نتحقق من تقارب السلسلة . ولنطبق عليها اختبار كوشي: – المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق .

من بين المسلسلات المتناوبة، يتم لعب دور خاص من قبل ما يسمى صفوف متناوبة. السلسلة المتناوبة هي سلسلة يكون لأعضائها علامات إيجابية وسلبية بالتناوب (انظر المثال السابق). عادة ما تتم كتابة مثل هذه السلسلة في النموذج

ومن المفترض أن كل شيء ص > 0.

لسلسلة بالتناوب لدينا

نظرية 30.9.(نظرية لايبنتز)

إذا انخفضت شروط السلسلة المتناوبة في القيمة المطلقة، أي. ص | ن| >| ن+1 |، ثم تتقارب المتسلسلة. في هذه الحالة، مجموع المتسلسلة بالقيمة المطلقة لا يتجاوز معامل الحد الأول من المتسلسلة، أي. ولها نفس علامة الفصل الأول من السلسلة.

تسمى المتسلسلة التي تستوفي شروط نظرية لايبنتز متسلسلة النوع اللايبنيزي.

مثال. دعونا نفكر في تقارب السلسلة . لنتأكد من استيفاء شروط النظرية 5.9: | ن| >| ن+1 |، في الواقع، > " ص³1، وأيضا مما يعني أن السلسلة متقاربة. وبما أن متسلسلة القيم المطلقة لهذه المتسلسلة هي متسلسلة توافقية متباعدة، فإن المتسلسلة الأصلية تتقارب شرطيا.

تعليق.وبما أن أي ما تبقى من سلسلة من نوع لايبنيز هو أيضاً سلسلة من نوع لايبنيز، ففي حالة تقارب السلسلة، فإن باقي السلسلة في القيمة المطلقة لا يتجاوز معامل حدها الأول:

|آر إن| = |س – س ن| £ | ن +1 |.

يعد هذا مناسبًا للاستخدام لتقييم دقة الحساب التقريبي لمجموع سلسلة معينة.

سلسلة بالتناوب

التعريف 5.تسمى سلاسل الأرقام التي تحتوي على مصطلحات إيجابية وسلبية بالسلاسل المتناوبة.

المتسلسلة، التي جميع أعضائها أرقام سالبة، لا تمثل أي شيء جديد بالمقارنة مع المتسلسلة ذات الإشارة الموجبة، حيث يتم الحصول عليها عن طريق ضرب سلسلة الإشارة الموجبة في – 1.

لنبدأ بدراسة المتسلسلات المتناوبة مع حالة خاصة - المتسلسلات المتناوبة.

التعريف 6.سلسلة أرقام النموذج ش 1 -ش 2 +ش 3 -ش 4 +…+ +(- 1) ن - 1. ش ن +…، أين ش ن- يُسمى معامل أحد أعضاء السلسلة بسلسلة أرقام متناوبة.

النظرية 9. (اختبار لايبنيز )

إذا كان لسلسلة أرقام متناوبة

ويتحقق شرطان:

شروط السلسلة تنخفض في المعامل ش 1>ش 2>…>ش ن>…,

ثم تتقارب المتسلسلة (19) ويكون مجموعها موجباً ولا يتجاوز الحد الأول من المتسلسلة.

دليل. خذ بعين الاعتبار المجموع الجزئي لعدد زوجي من حدود المتسلسلة S2n=(ش 1 -ش 2)+(ش 3 -ش 4)+…+(ش 2 ن -1 -ش 2 ن).

بالشرط ش 1>ش 2>…>ش 2 ن -1>ش 2 نأي أن جميع الفروق بين القوسين إيجابية، وبالتالي، S2nيزيد مع الزيادة نو S2n>0 لأي ن.

على الجانب الآخر S2n=u 1 -[(u 2 -u 3)+(u 4 -u 5)+…+(u 2 n -2 -u 2 n -1)+u 2 n ].التعبير بين قوسين مربعين إيجابي و S2n> 0، لذلك S2n<ش 1لأي احد ن. وهكذا، تسلسل المبالغ الجزئية S2nيزيد وهو محدود، لذلك هناك محدود S2n=س. وفي نفس الوقت 0<س≤ش 1.

دعونا الآن نفكر في المجموع الجزئي لعدد فردي من حدود المتسلسلة س2ن+1=S2n+ش 2 ن +1. دعونا نمر في المساواة الأخيرة إلى الحد الأقصى عند ن → ∞: ق 2 ن +1 = ق 2 ن + ش 2 ن +1 = س+ 0=س.وبالتالي، فإن المجاميع الجزئية لكل من الأعداد الزوجية والفردية لحدود المتسلسلة لها نفس النهاية س، لهذا س ن=سأي أن هذه المتسلسلة متقاربة. لقد تم إثبات النظرية.

مثال.

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

دعونا نطبق اختبار لايبنتز.

ش ن= >ش +1=

تم استيفاء كلا شرطي معيار لايبنتز، وبالتالي تتقارب المتسلسلة.

ملحوظات.

1. نظرية لايبنتز صحيحة حتى لو كان الشرط ش ن > ش ن +يتم تنفيذ 1 بدءًا من رقم ما ن.

2. الحالة ش ن > ش ن +1ليس ضروري. قد تتقارب السلسلة إذا لم تصمد. على سبيل المثال، سلسلة
يتقارب كالفرق بين سلسلتين متقاربتين على الرغم من الشرط ش ن > ش ن +1لم يتم تنفيذه.

التعريف 8. إذا تقاربت متسلسلة متناوبة، ولكن تباعدت سلسلة مكونة من القيم المطلقة لحدود هذه المتسلسلة، يقال أن المتسلسلة المتناوبة تتقارب شرطيا.

التعريف 9. إذا تقاربت كل من المتسلسلة المتناوبة نفسها والمتسلسلة المكونة من القيم المطلقة لحدودها، يقال أن المتسلسلة المتناوبة تتقارب بشكل مطلق.

مثال.

تحديد طبيعة تقارب السلسلة

ومن الواضح أن هذه المتسلسلة تتقارب وفق معيار لايبنتز. حقا: و ش ن=

المتسلسلة المكونة من قيم مطلقة لحدود متسلسلة معينة هي متسلسلة توافقية متباعدة. ولذلك، فإن هذه السلسلة تتقارب بشكل مشروط.

التعريف 6.1 تسمى سلسلة الأرقام التي تحتوي على عدد لا حصر له من الحدود الموجبة وعدد لا حصر له من الحدود السالبة بالتناوب. حالة خاصة من المتسلسلة المتناوبة هي المتسلسلة المتناوبة، أي المتسلسلة التي يكون لحدودها المتعاقبة إشارات متضادة.

اختبار لايبنتز

بالنسبة للإشارات المتناوبة بجانب بعضها البعض، ينطبق معيار كافٍ لتقارب لايبنتز.

دع (an) يكون تسلسلاً رقميًا هكذا

1.+1< an ;

ثم تتقارب المتسلسلة المتناوبة.

التقارب المطلق والمشروط

التعريف 6.2 يقال إن المتسلسلة متقاربة تمامًا إذا كانت المتسلسلة متقاربة أيضًا. إذا كانت المتسلسلة متقاربة تقاربًا مطلقًا، فهي متقاربة (بالمعنى المعتاد). البيان العكسي غير صحيح.

تسمى المتسلسلة متقاربة شرطيًا إذا كانت هي نفسها متقاربة، وكانت المتسلسلة المكونة من وحدات أعضائها متباعدة.

دعونا نطبق اختبار لايبنتز الكافي للمتسلسلات المتناوبة. نحن نحصل

بسبب ال. ولذلك، تتقارب هذه السلسلة.

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب.

دعونا نحاول تطبيق معيار لايبنيز:

ويمكن ملاحظة أن معامل الحد العام لا يميل إلى الصفر بالنسبة لـ n > ?. لذلك تتباعد هذه السلسلة

وبتطبيق اختبار دالمبيرت على سلسلة مكونة من وحدات المصطلحات المقابلة نجد

ولذلك فإن هذه المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق.

تحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق، أو متقاربة شرطيًا، أو متباعدة؟

أولاً، دعونا نستخدم معيار لايبنيز ونوجد النهاية. لنحسب هذا الحد باستخدام قاعدة L'Hopital:

وهكذا تتباعد السلسلة الأصلية.

افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

الحد المشترك لهذه السلسلة يساوي. دعونا نطبق اختبار دالمبيرت على سلسلة مكونة من وحدات:

لذلك. السلسلة الأصلية تتقارب تمامًا.

تحقق مما إذا كانت المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق، أو متقاربة شرطيًا، أو متباعدة؟

وبتطبيق معيار لايبنتز نجد أن المتسلسلة متقاربة:

دعونا الآن نفكر في تقارب المتسلسلة المكونة من وحدات الحدود المتناظرة. وباستخدام معيار التكامل للتقارب، نحصل على

ولذلك، فإن المتسلسلة الأصلية تتقارب بشكل مشروط.

تحديد ما إذا كانت المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق، أو متقاربة شرطيًا، أو متباعدة؟

أولاً نطبق معيار لايبنتز:

ولذلك، تتقارب هذه السلسلة. دعونا نعرف ما إذا كان هذا التقارب مطلقًا أم مشروطًا. دعونا نستخدم معيار المقارنة الحدية ونقارن سلسلة الوحدات المقابلة بسلسلة توافقية متباينة:

بما أن السلسلة المكونة من وحدات متباعدة، فإن السلسلة المتناوبة الأصلية تكون متقاربة بشكل مشروط.

1. سلسلة ذات مصطلحات إيجابية. بوادر التقارب

من الصعب جداً تحديد تقارب المتسلسلة (1.1) وإيجاد مجموعها في حالة التقارب المباشر بالتعريف 1.1 كحد لسلسلة من المجاميع الجزئية. لذلك، هناك معايير كافية لتحديد ما إذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة. إذا تقاربت، فإن القيمة التقريبية لمجموعها بأي درجة من الدقة يمكن أن تكون مجموع العدد المقابل للحدود n الأولى من السلسلة.

سنتناول هنا المتسلسلة (1.1) بمصطلحات موجبة (غير سالبة)، أي المتسلسلة التي سنسميها متسلسلة موجبة.

نظرية 3.1. (علامة المقارنة)

دعونا نعطي سلسلتين إيجابيتين

ويتم استيفاء الشروط لجميع n = 1،2، ...

ثم: 1) من تقارب المتسلسلة (3.2) يتبع ذلك تقارب المتسلسلة (3.1)؛

2) من تباعد السلسلة (3.1) يتبع تباعد السلسلة (3.2).

دليل. 1. دع السلسلة (3.2) تتقارب ومجموعها يساوي B. تسلسل المجاميع الجزئية للسلسلة (3.1) غير متناقص ويحده من الأعلى الرقم B، أي.

ومن ثم، ونظرًا لخصائص هذه المتتابعات، يترتب على ذلك أن لها حدًا منتهيًا، أي أن المتسلسلة (3.1) تتقارب.

2. دع المتسلسلة (3.1) تتباعد. ثم إذا تقاربت المتسلسلة (3.2)، فبموجب النقطة 1 الموضحة أعلاه، تتقارب المتسلسلة الأصلية أيضًا، وهو ما يخالف شرطنا. وبالتالي، تتباعد المتسلسلة (3.2) أيضًا.

من السهل تطبيق هذا المعيار لتحديد تقارب المتسلسلات، ومقارنتها بالمتسلسلات التي يكون تقاربها معروفًا بالفعل.

مثال 3.1. افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

حدود المتسلسلة موجبة وأقل من الحدود المقابلة لها في المتسلسلة المتقاربة للمتتابعة الهندسية

لأن ، ن = 1،2، ...

ولذلك، بالمقارنة، فإن المتسلسلة الأصلية تتقارب أيضًا.

مثال 3.2. افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

حدود هذه المتسلسلة موجبة وأكبر من الحدود المقابلة لها في المتسلسلة التوافقية المتباعدة

وبالتالي، وفقا لمعيار المقارنة، تتباعد السلسلة الأصلية.

نظرية 3.2. (علامة حد دالمبرت).

ثم: 1) في ف< 1 ряд (1.1) сходится;

• 2) بالنسبة لـ q > 1، تتباعد السلسلة (1.1)؛

ملحوظة: المتسلسلة (1.1) سوف تتباعد أيضًا في الحالة التي

مثال 3.3. افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

دعونا نطبق اختبار حد دالمبيرت.

في حالتنا هذه.

مثال 3.4. افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

وبالتالي فإن المتسلسلة الأصلية تتقارب.

مثال 3.5. افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

دعونا نطبق اختبار حد دالمبيرت:

ونتيجة لذلك، تتباين السلسلة الأصلية.

تعليق. إن تطبيق اختبار نهاية دالمبيرت على متسلسلة توافقية لا يعطي إجابة حول تقارب هذه المتسلسلة، لأن هذه المتسلسلة

نظرية 3.3. (اختبار كوشي المحدد كوشي أوغسطين لويس (1789 - 1857)، عالم رياضيات فرنسي.).

لتكن حدود السلسلة الموجبة (1.1) بحيث يكون هناك نهاية

ثم: 1) في ف< 1 ряд (1.1) сходится;

• 2) بالنسبة لـ q > 1، تتباعد السلسلة (1.1)؛
• 3) بالنسبة لـ q = 1، لا يمكن قول أي شيء عن تقارب المتسلسلة (1.1)؛ هناك حاجة إلى مزيد من البحث.

مثال 3.6. افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

دعونا نطبق اختبار حد كوشي:

وبالتالي فإن المتسلسلة الأصلية تتقارب.

نظرية 3.4. (اختبار كوشي المتكامل).

دع الدالة f(x) تكون دالة مستمرة غير سالبة وغير متزايدة على الفترة

ثم تتلاقى المتسلسلة والتكامل غير الحقيقي أو يتباعدان في وقت واحد.

مثال 3.7. افحص المتسلسلة التوافقية لمعرفة التقارب

دعونا نطبق اختبار كوشي للتكامل.

في حالتنا، الدالة تلبي شروط النظرية 3.4. نحن نفحص التكامل غير الصحيح للتقارب

يتباعد التكامل غير الصحيح، وبالتالي تتباعد المتسلسلة التوافقية الأصلية أيضًا.

مثال 3.8. دراسة المتسلسلة التوافقية المعممة للتقارب

الدالة تستوفي شروط النظرية 3.4.

نحن نفحص التكامل غير الصحيح للتقارب

النظر في الحالات التالية:

• 1) لنفترض إذن أن المتسلسلة التوافقية المعممة هي متسلسلة توافقية متباعدة، كما هو موضح في المثال 3.7.
• 2) دع ثم

التكامل غير الصحيح يتباعد، وبالتالي تتباعد السلسلة؛

3) دع ثم

التكامل غير الصحيح يتقارب، وبالتالي تتقارب المتسلسلة.

وأخيرا لدينا

ملحوظات. 1. سوف تتباعد المتسلسلة التوافقية المعممة، لأنه في هذه الحالة لم يتوفر معيار التقارب اللازم: الحد العام للمتسلسلة لا يميل إلى الصفر.

2. تعتبر السلسلة التوافقية المعممة ملائمة للاستخدام عند تطبيق معيار المقارنة.

مثال 3.9. افحص المتسلسلة لمعرفة التقارب

حدود السلسلة موجبة وأقل من الحدود المقابلة لها في السلسلة التوافقية المعممة المتقاربة

لأن والمعلمة

وبالتالي، تتقارب المتسلسلة الأصلية (بالمقارنة).

دعونا ننتقل إلى النظر في المتسلسلة التي يمكن أن تكون حدودها موجبة وسالبة.

يدين هذا القسم بمظهره الاستثنائي للعديد والعديد من المؤلفين الذين قرأوا أعمالهم وأردت إطلاق هذه الأعمال على الكتاب أنفسهم. في الواقع، خططت لنشر هذا الموضوع بالكامل فقط عندما يصبح جاهزًا أخيرًا، ولكن نظرًا لكثرة الأسئلة حوله، سأوضح بعض النقاط الآن. وبعد ذلك، سيتم استكمال المادة وتوسيعها. لنبدأ بالتعاريف.

سلسلة من النموذج $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$، حيث $u_n>0$، تسمى بالتناوب.

تتناوب علامات أعضاء السلسلة المتناوبة بشكل صارم:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=u_1-u_2+u_3-u_4+u_5-u_6+u_7-u_8+\ldots $$

على سبيل المثال، $1-\frac(1)(2)+\frac(1)(3)-\frac(1)(4)+\ldots$ هي سلسلة متناوبة. يحدث أن التناوب الصارم للإشارات لا يبدأ بالعنصر الأول، لكن هذا ليس مهمًا لدراسات التقارب.

لماذا لا تكون الأحرف المتناوبة التي تبدأ بالعنصر الأول غير مهمة؟ اظهر المخفي

الحقيقة هي أنه من بين خصائص سلسلة الأرقام هناك عبارة تسمح لنا بتجاهل الأعضاء "الإضافيين" في السلسلة. هذه هي الخاصية:

تتقارب المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ إذا وفقط إذا كان أي من بواقيها $r_n=\sum\limits_(k=n+1)^(\infty)u_k يتقارب $ . ويترتب على ذلك أن استبعاد أو إضافة عدد محدود من الحدود إلى متسلسلة معينة لا يغير من تقارب المتسلسلة.

دعونا نحصل على متسلسلة متناوبة معينة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$، ولنتحقق الشرط الأول من اختبار لايبنتز لهذه المتسلسلة ، أي. $\lim_(n\to(\infty))u_n=0$. غير أن الشرط الثاني، أي: $u_n≥u_(n+1)$، يتم تنفيذه بدءًا من رقم معين $n_0\in(N)$. إذا كان $n_0=1$، فسنحصل على الصيغة المعتادة للشرط الثاني لمعيار لايبنيز، وبالتالي فإن المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n $ سوف تتقارب. إذا كان $n_0>1$، فسنقوم بتقسيم السلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ إلى جزأين. في الجزء الأول، نختار جميع العناصر التي يقل عددها عن $n_0$:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n=\sum\limits_(n=1)^(n_0-1)(-1)^(n +1)u_n+\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n $$

بالنسبة للمتسلسلة $\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ يتم استيفاء شرطي اختبار لايبنتز، وبالتالي فإن المتسلسلة $\sum\limits_(n= n_0)^(\ infty)(-1)^(n+1)u_n$ يتقارب. وبما أن الباقي يتقارب، فإن السلسلة الأصلية $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$ سوف تتقارب أيضًا.

وبالتالي، لا يهم على الإطلاق ما إذا كان الشرط الثاني من اختبار ليبنيز قد تم استيفاءه، بدءًا من العنصر الأول، أو من العنصر الألف - فالسلسلة ستظل متقاربة.

اسمحوا لي أن أشير إلى أن معيار لايبنيز هو شرط كاف، ولكن ليس ضروريا لتقارب المتسلسلات المتناوبة. وبعبارة أخرى، فإن تحقيق شروط معيار لايبنتز يضمن تقارب المتسلسلة، ولكن عدم استيفاء هذه الشروط لا يضمن التقارب أو التباعد. وبطبيعة الحال، عدم تحقيق الشرط الأول، أي. الحالة $\lim_(n\to(\infty))u_n\neq(0)$، تعني اختلاف السلسلة $\sum\limits_(n=n_0)^(\infty)(-1)^(n+ 1)u_n $، ومع ذلك، يمكن أن يحدث الفشل في استيفاء الشرط الثاني لكل من المتسلسلات المتقاربة والمتباعدة.

نظرًا لأن سلسلة الإشارات المتناوبة غالبًا ما توجد في الحسابات القياسية القياسية، فقد قمت بتجميع مخطط يمكن من خلاله فحص سلسلة قياسية متناوبة من الإشارات للتأكد من تقاربها.

بالطبع، يمكنك تطبيق اختبار لايبنتز مباشرة، متجاوزًا التحقق من تقارب سلسلة من الوحدات. ومع ذلك، بالنسبة للأمثلة التعليمية القياسية، يعد التحقق من سلسلة من الوحدات أمرًا ضروريًا، نظرًا لأن معظم مؤلفي الحسابات القياسية لا يطلبون فقط معرفة ما إذا كانت السلسلة متقاربة أم لا، ولكن لتحديد طبيعة التقارب (المشروط أو المطلق). دعنا ننتقل إلى الأمثلة.

المثال رقم 1

افحص المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ لمعرفة التقارب.

أولاً، دعونا نكتشف ما إذا كانت هذه السلسلة متناوبة حقًا. منذ $n≥1$، ثم $4n-1≥3>0$ و $n^2+3n≥4>0$، أي. لجميع $n\in(N)$ لدينا $\frac(4n-1)(n^2+3n)>0$. وبالتالي، فإن المتسلسلة المعطاة لها الشكل $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)u_n$، حيث $u_n=\frac(4n-1)(n^ 2 +3n)>0$، أي السلسلة قيد النظر بالتناوب.

عادة ما يتم إجراء هذا الفحص شفهيا، ولكن من غير المرغوب فيه للغاية تخطيه: الأخطاء في الحسابات القياسية ليست غير شائعة. غالبًا ما يحدث أن علامات أعضاء سلسلة معينة تبدأ بالتناوب ليس من العضو الأول في السلسلة. في هذه الحالة، يمكنك تجاهل الحدود "المتداخلة" في المتسلسلة وفحص تقارب الباقي (انظر الملاحظة في بداية هذه الصفحة).

إذن، لدينا سلسلة متناوبة من الإشارات. وسوف نتبع ما سبق. في البداية، دعونا ننشئ سلسلة من الوحدات لأعضاء هذه السلسلة:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n) $$

دعونا نتحقق مما إذا كانت سلسلة الوحدات المجمعة متقاربة. دعونا نطبق معيار المقارنة. بما أن جميع $n\in(N)$ لدينا $4n-1=3n+n-1≥3n$ و $n^2+3n≤n^2+3n^2=4n^2$، إذن:

$$ \frac(4n-1)(n^2+3n)≥ \frac(3n)(4n^2)=\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n) $$

المتسلسلة التوافقية $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ تتباعد، وبالتالي فإن المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left سوف تتباعد تتباعد أيضًا (\frac(3)(4)\cdot\frac(1)(n)\right)$. لذلك، وفقًا لمعيار المقارنة، تتباعد المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n^2+3n)$. دعونا نشير إلى $u_n=\frac(4n-1)(n^2+3n)$ ونتحقق مما إذا كانت شروط اختبار لايبنتز مستوفاة للسلسلة الأصلية المتناوبة. لنجد $\lim_(n\to(\infty))u_n$:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(4n-1)(n^2+3n) =\lim_(n\to(\infty) ))\frac(\frac(4)(n)-\frac(1)(n^2))(1+\frac(3)(n)) =0. $$

استيفاء الشرط الأول من اختبار لايبنتز. نحتاج الآن إلى معرفة ما إذا كانت المتراجحة $u_n≥u_(n+1)$ صحيحة أم لا. يفضل عدد كبير من المؤلفين كتابة الحدود القليلة الأولى من السلسلة ثم يستنتجون أن المتباينة $u_n≥u_(n+1)$ قد تم استيفائها.

بمعنى آخر، سيبدو هذا "الدليل" لهذه المتسلسلة كما يلي: $\frac(2)(3)≥\frac(5)(8)≥\frac(8)(15)≥\ldots$. بعد مقارنة المصطلحات القليلة الأولى، يتم التوصل إلى الاستنتاج: بالنسبة للشروط المتبقية، ستبقى عدم المساواة، وكل واحد لاحق لن يكون أكثر من السابق. لا أعرف من أين جاء "أسلوب الإثبات" هذا، لكنه خطأ. على سبيل المثال، بالنسبة للتسلسل $v_n=\frac(10^n)(n$ получим такие первые члены: $v_1=10$, $v_2=50$, $v_3=\frac{500}{3}$, $v_4=\frac{1250}{3}$. Как видите, они возрастают, т.е., если ограничиться сравнением нескольких первых членов, то можно сделать вывод, что $v_{n+1}>v_n$ для всех $n\in{N}$. Однако такой вывод будет категорически неверным, так как начиная с $n=10$ элементы последовательности будут убывать.!}

كيف تثبت عدم المساواة $u_n≥u_(n+1)$؟ بشكل عام، هناك عدة طرق للقيام بذلك. أبسط شيء في حالتنا هو النظر في الفرق $u_n-u_(n+1)$ ومعرفة علامته. في المثال التالي، سننظر في طريقة مختلفة: عن طريق إثبات نقصان الدالة المقابلة.

$$ u_n-u_(n+1) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4(n+1)-1)((n+1)^2+3(n) +1)) =\frac(4n-1)(n^2+3n)-\frac(4n+3)(n^2+5n+4)=\\ =\frac((4n-1)\cdot \left(n^2+5n+4\right)-\left(n^2+3n\right)\cdot(4n+3))(\left(n^2+3n\right)\cdot\left( n^2+5n+4\right)) =\frac(4n^2+2n-4)(\left(n^2+3n\right)\cdot\left(n^2+5n+4\right) ). $$

منذ $n≥1$، ثم $4n^2-4≥0$، ومن هنا لدينا $4n^2+2n-4>0$، أي $u_n-u_(n+1)>0$, $u_n>u_(n+1)$. يحدث بالطبع أن المتباينة $u_n≥u_(n+1)$ غير محققة من الحد الأول في السلسلة، لكن هذا غير مهم (انظر في بداية الصفحة).

وبذلك يتم استيفاء شرطي معيار لايبنتز. نظرًا لأن المتسلسلة في هذه الحالة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)\right | $ يتباعد، ثم المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n)$ تتقارب بشكل مشروط.

إجابة: المتسلسلة متقاربة بشكل مشروط.

المثال رقم 2

افحص المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ لمعرفة التقارب.

أولاً، فكر في التعبير $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$. من المفيد إجراء القليل من التدقيق لمعرفة ما إذا كانت الحالة صحيحة. والحقيقة هي أنه في كثير من الأحيان في ظروف الحسابات القياسية القياسية يمكن للمرء أن يواجه أخطاء عندما يكون التعبير الجذري سالبًا، أو يظهر صفر في المقام لبعض قيم $n$.

ومن أجل تجنب مثل هذه المشاكل، دعونا نقوم بدراسة أولية بسيطة. نظرًا لأن $n≥1$ لدينا $2n^3≥2$، ثم $2n^3-1≥1$، أي لا يمكن أن يكون التعبير الموجود تحت الجذر سالبًا أو يساوي الصفر. ولذلك فإن الشرط صحيح تماما. يتم تعريف التعبير $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ لجميع $n≥1$.

اسمحوا لي أن أضيف أنه بالنسبة إلى $n≥1$ فإن عدم المساواة $\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))>0$ صحيح، أي لقد حصلنا على سلسلة بالتناوب الإشارة. وسوف نستكشفها وفقا لما سبق. في البداية، دعونا ننشئ سلسلة من الوحدات لأعضاء هذه السلسلة:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) $$

دعونا نتحقق مما إذا كانت المتسلسلة المكونة من وحدات من عناصر متسلسلة معينة متقاربة. دعونا نطبق علامة المقارنة. وفي حل المثال السابق استخدمنا معيار المقارنة الأول. هنا، من أجل التنوع فقط، نطبق علامة المقارنة الثانية (علامة المقارنة في الشكل المحدد). دعونا نقارن المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ مع المتسلسلة المتباعدة $\sum\limits_(n) =1)^ (\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$:

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)))(\frac(1)(\sqrt(n))) =\lim_ (n\to\infty)\frac(5n\sqrt(n)-4\sqrt(n))(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac) (5n\sqrt(n))(n\sqrt(n))-\frac(4\sqrt(n))(n\sqrt(n)))(\sqrt(\frac(2n^3-1)( n^3))) \lim_(n\to\infty)\frac(5-\frac(4)(n))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =\frac (5)(\sqrt(2)). $$

بما أن $\frac(5)(\sqrt(2))\neq(0)$ و $\frac(5)(\sqrt(2))\neq\infty$، ثم بالتزامن مع السلسلة $\sum\limits_ (n=1)^(\infty)\frac(1)(\sqrt(n))$ سوف تتباعد والمتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n-4) ( \sqrt(2n^3-1))$.

إذن، المتسلسلة المتناوبة المعطاة ليس لها تقارب مطلق. دعونا نشير إلى $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$ ونتحقق مما إذا كانت شروط اختبار Leibniz مستوفاة. لنجد $\lim_(n\to(\infty))u_n$:

$$ \lim_(n\to(\infty))u_n =\lim_(n\to(\infty))\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1)) =\lim_(n\ إلى(\infty))\frac(\frac(5n)(n^(\frac(3)(2)))-\frac(4)(n^(\frac(3)(2))))( \sqrt(\frac(2n^3-1)(n^3))) =\lim_(n\to(\infty))\frac(\frac(5)(\sqrt(n))-\frac( 4)(n^(\frac(3)(2))))(\sqrt(2-\frac(1)(n^3))) =0. $$

استيفاء الشرط الأول من اختبار لايبنتز. نحتاج الآن إلى معرفة ما إذا كانت المتراجحة $u_n≥u_(n+1)$ صحيحة أم لا. في المثال السابق، نظرنا إلى إحدى طرق إثبات هذه المتباينة: من خلال إيجاد علامة الفرق $u_n-u_(n+1)$. هذه المرة لنستخدم طريقة مختلفة: بدلاً من $u_n=\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1))$، فكر في الدالة $y(x)=\frac(5x-4)( \sqrt( 2x^3-1))$ تم توفير $x≥1$. ألاحظ أن سلوك هذه الوظيفة تحت الشرط $x<1$ нам совершенно безразлично.

هدفنا هو إثبات أن الدالة $y(x)$ غير متزايدة (أو متناقصة). إذا أثبتنا أن الدالة $y(x)$ غير متزايدة، فبالنسبة لجميع القيم $x_2>x_1$ سيكون لدينا $y(x_1)≥y(x_2)$. بافتراض $x_1=n$ و $x_2=n+1$، نحصل على أن المتباينة $n+1>n$ تشير إلى حقيقة المتباينة $y(n)≥y(n+1)$. بما أن $y(n)=u_n$، فإن عدم المساواة $y(n)≥y(n+1)$ هو نفس $u_(n)≥u_(n+1)$.

إذا أظهرنا أن $y(x)$ هي دالة تناقصية، فإن المتراجحة $n+1>n$ ستؤدي إلى حقيقة المتراجحة $y(n)>y(n+1)$، أي. $u_(n)>u_(n+1)$.

لنبحث عن المشتق $y"(x)$ ونكتشف علامته للقيم المقابلة لـ $x$.

$$ y"(x)=\frac((5x-4)"\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\left(\sqrt(2x^3-1)\right )")(\left(\sqrt(2x^3-1)\right)^2) =\frac(5\cdot\sqrt(2x^3-1)-(5x-4)\cdot\frac(1) )(2\sqrt(2x^3-1))\cdot(6x^2))(2x^3-1)=\\ =\frac(5\cdot\left(2x^3-1\right)- (5x-4)\cdot(3x^2))(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) =\frac(-5x^3+12x^2- 5)(\left(2x^3-1\right)^(\frac(3)(2))) $$

أعتقد أنه من الواضح أنه بالنسبة للقيم الإيجابية الكبيرة بما فيه الكفاية $x≥1$، فإن كثير الحدود في المقام سيكون أقل من الصفر، أي. $-5x^3+12x^2-5<0$. Эту "очевидность" несложно обосновать формально - если вспомнить курс алгебры. Дело в том, что согласно лемме о модуле старшего члена, при достаточно больших значениях $|x|$ знак многочлена совпадает с знаком его старшего члена. Адаптируясь к нашей задаче получаем, что существует такое число $c≥1$, то для всех $x≥c$ будет верным неравенство $-5x^3+12x^2-5<0$. В принципе, существования такого числа $c$ уже вполне достаточно для дальнейшего решения задачи.

ومع ذلك، دعونا نتعامل مع هذه القضية بشكل أقل رسمية. لكي لا نستخدم دروسًا غير ضرورية من الجبر، سنقوم ببساطة بتقدير قيمة التعبير $-5x^3+12x^2-5$ تقريبًا. لنأخذ في الاعتبار $-5x^3+12x^2-5=x^2(-5x+12)-5$. بالنسبة إلى $x≥3$، لدينا $-5x+12<0$, посему $x^2(-5x+12)-5<0$.

وبالتالي، بالنسبة لـ $x≥3$ لدينا $y"(x)<0$, т.е. функция $y(x)$ убывает. А это, в свою очередь, означает, что при $n≥3$ верно неравенство $u_n>u_(ن+1)$، أي استيفاء الشرط الثاني من اختبار لايبنتز. بالطبع، أظهرنا تحقيق الشرط الثاني ليس بـ $n=1$، بل بـ $n=3$، لكن هذا غير مهم (انظر في بداية الصفحة).

وبذلك يتم استيفاء شرطي معيار لايبنتز. نظرًا لأن المتسلسلة في هذه الحالة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(5n-4)(\sqrt(2n^3-1) ) )\right|$ تتباعد، ثم المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(4n-1)(n^2+3n) $ يتقارب بشكل مشروط.

إجابة: المتسلسلة متقاربة بشكل مشروط.

المثال رقم 3

افحص المتسلسلة $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)$ لمعرفة التقارب.

هذا المثال ليس ذا أهمية كبيرة، لذلك سأكتبه باختصار. لقد حصلنا على سلسلة متناوبة، والتي سوف نستكشفها مرة أخرى باستخدام . لنقم بعمل سلسلة من الوحدات لأعضاء هذه السلسلة:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\left|(-1)^(n+1)\frac(3n+4)(2^n)\right| =\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n+4)(2^n) $$

لنطبق علامة دالمبرت، بالإشارة إلى $u_n=\frac(3n+4)(2^n)$، نحصل على $u_(n+1)=\frac(3n+7)(2^(n+1) )$ .

$$ \lim_(n\to\infty)\frac(u_(n+1))(u_(n)) =\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n+7)(2^ (n+1)))(\frac(3n+4)(2^n)) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3n+7)(3n+4) ) =\frac(1)(2)\lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(7)(n))(3+\frac(4)(n)) =\frac(1) )(2)\cdot(1)=\frac(1)(2). $$

منذ $\frac(1)(2)<1$, то согласно признаку Д"Аламбера ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится. Из сходимости ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}\right|$, что ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{3n+4}{2^n}$ сходится, причём сходится абсолютно.

ألاحظ أنه لحل المثال المذكور لم نكن بحاجة إلى اختبار لايبنيز. هذا هو السبب في أنه من الملائم التحقق أولاً من تقارب سلسلة من الوحدات، ثم، إذا لزم الأمر، التحقق من تقارب السلسلة المتناوبة الأصلية.

إجابة: المتسلسلة متقاربة بشكل مطلق.